Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.


Ký hiệu

có nghĩa là a nhỏ hơn b và Ký hiệu

có nghĩa là a lớn hơn b.

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có


có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và

có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.

Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng
khác.


Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.

Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét
các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng
thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với
một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó
được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó


-

Tr: 1


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
+ m > n > 0 và A > 1  A m > A n
+ m > n > 0 và 0
b)Ta xột hiu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz 2yz
= ( x y + z) 2 0 ỳng vi mi x;y;z R
Vy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz ỳng vi mi x;y;z R
Du bng xy ra khi x+y=z
c) Ta xột hiu: x 2 + y 2 + z 2 +3 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
= (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 0. Du(=)xy ra khi x=y=z=1
Vớ d 2: chng minh rng :





a2 b2 a b
a)

;
2
2
Gii:
2

b)

a2 b2 c2 a b c


3
3





a2 b2 a b
Vy

.
2
2
b)Ta xột hiu



2

Du bng xy ra khi a=b





a2 b2 c2 a b c
a2 b2 c2 a b c 1
2
2
2



= a b b c c a 0 .Vy
3


2
2
Ví dụ 3: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m + n + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
Giải:
 m2
 m2
 m2
 m2

2
2
2







 mn  n   
 mp  p   
 mq  q   
 m  1  0
 4
  4
  4
  4

2

m
  p0
 m2
p 

Dấu bằng xảy ra khi  2


2
m
n  p  q  1

 q 0
m
q

2


 m  22
m

1

0

 2
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4  b 4  c 4  abc (a  b  c)

Giải: Ta có : a 4  b 4  c 4  abc (a  b  c) , a, b, c  0

  c
2



2



 2b 2 c 2  c 2  a 2



2

 2a 2 c 2

 2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0
2

 a2

 



2

 (a 2 b 2  b 2 c 2  2b 2 ac )  (b 2 c 2  c 2 a 2  2c 2 ab)
 (a 2 b 2  c 2 a 2  2a 2 ab)  0

 (ab-bc)2  (bc  ca)2  (ca  ab)2  0 lu«n lu«n ®óng.
VÝ dô 6: Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
víi mäi a, b, c, d, e.

(1)

(§H Y d­îc TP. HCM-1999)

Lêi gi¶i.

Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.

10/24/2011

-

Tr: 4


Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc
a2
a2
a2
a2
2
2
2
(1) ab b ac c ad d ae e 2 0
4
4

(2)
a) Ta có: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0
1 1 1
ab+bc+ca
Vì a+b+c> a+b+c>
a b c ab bc ca (vì abc=1)
a b c
abc
Vậy (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra hoặc cả ba số a, b, c đều lớn hơn 1 , hoặc trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1
Nếu a>1, b>1, c>1 abc>1, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1.
a
b
c
Ví dụ 8 : Chứng minh:


2. 3 4
3 3
3 3
3 3
3
3
3
b c
c a
a b
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tp chớ TH & TT: 2004)

2a
2b
2c
2a
2b
2c
mà






c; b+c>a; c+a>b) ; Từ (3) và (4) suy ra đpcm.
Bi tp:
x y
x 2 y2
Bài 1 : Cho x, y 0. Chứng minh: 2 2 4 3
y x
y x
a



b


 3

ab
bc
ca
 abc 

(Tạp chí TH & TT: 1995)

Bµi 4 : Cho x, y, z lµ c¸c sè d­¬ng. Chøng minh: x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3(x  y  z)
(HV QHQT-1997)

Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
(Đề 2 - BĐTTS)
...........................................................................................................................................................

Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.

10/24/2011

-

Tr: 6


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
2- Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Kiến thức:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng

c)
a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a b  c  d  e 
Giải:
b2
2
2
a) a 
 ab  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0  2a  b   0
4
b2
(BĐT này luôn đúng). Vậy a 2 
 ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
4
b) a 2  b 2  1  ab  a  b  2(a 2  b 2  1   2(ab  a  b)
 a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy a 2  b 2  1  ab  a  b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a b  c  d  e   4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4a b  c  d  e 
 a 2  4ab  4b 2  a 2  4ac  4c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  4ac  4c 2  0



 

 

 










Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.





10/24/2011

-

Tr: 7


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
x2  y2
Ví dụ 4: cho x.y =1 và x  y Chứng minh
2 2
x y
Giải:

x2  y2
 2 2 vì :x  y nên x- y  0  x2+y2  2 2 ( x-y)

Ví dụ 6: Chứng minh rằng : 1 


2
ab bc ac
Giải:
1
1
a
a
Ta có : a  b  a  b  c 



(1)
ab abc
ab abc
b
b
c
c
Tương tự ta có :

( 2) ,

(3)
bc abc
ac abc
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
a

a
b
c
Từ (*) và (**) , ta được : 1 


 2 (đpcm)
ab bc ac
........................................................................................................

Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.

10/24/2011

-

Tr: 8


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

3- Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ
Kiến thức:
a) x 2  y 2  2 xy
b) x 2  y 2  xy

dấu( = ) khi x = y = 0

c)  x  y   4 xy
a b

Kin thc:
a/ Vi hai s khụng õm : a, b 0 , ta cú: a b 2 ab . Du = xy ra khi a=b
b/ Bt ng thc m rng cho n s khụng õm :
a a ... an
a1 a2 ... an n a1a2 ..an a1a2 ..an 1 2

n


Du = xy ra khi a1 a 2 ... a n
Chỳ ý : ta dựng bt ng thc Cụsi khi cho bin s khụng õm.
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
a 2 b2 c2 a b c
Ví dụ 1 : Chứng minh: 2 2 2 , abc 0
b
c
a
c a b
n

n

(H Y dc Tp.HCM-1999)

Li gii.
á p dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương,

b 2 c2 2b
c2 a 2
2c

Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3) ta cú pcm.
2

2

2

2

x

x

x

12 15 20
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng với mọi x R, ta có: 3x 4 x 5x.
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
( thi H, C- 2005)

Li gii.
p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng, ta cú:
x

x

12 15
12
5 4 2 5

1 1
3 2 3
2 2 2.
3
2
2
x y
y z
z x
x
y
z
(H Nụng Nghip I KA - 2001)

Li gii.
Dễ dàng chứng minh được BĐT sau: a 2 b 2 c 2 ab bc ca

Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th.

(1)

10/24/2011

-

Tr: 10


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
¸ p dông (1), ta ®­îc:

2
3
2
3
2
x y
y z
z x
2 xy 2 yz
2 z 3x 2
=

1
1
1
1
1 1
 
 2  2  2 (®pcm).
xy yz zx x
y
z

VÝ dô 4 : Chøng minh r»ng víi a, b lµ hai sè kh«ng ©m bÊt k×, ta lu«n cã:
3a 3  17b 3  18ab 2
(ĐH KTQD - 1997)

Lời giải.
¸ p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè kh«ng ©m, ta cã:
3a 3  17b 3  3a 3  9b 3  8b 3  3 3 3a 3 .9b 3 .8b 3  18ab 2 (®pcm)


¸ p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d­¬ng, ta cã:
a
b
c
abc


 33
 3.
b+c-a c  a  b a  b  c
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
VÝ dô 6 : Cho a, b, c > 0. Chøng minh:
 1 1 1  3  b+c c+a a+b 
(a 3 +b 3 +c 3 )  3 + 3 + 3   
+
+
b
c 
a b c  2 a
(Tạp chí TH & TT 6/2003)

Lời giải.
Víi a, b, c > 0, ta cã:

a 3  b 3  ab(a  b); b 3  c3  bc(b  c); c 3  a 3  ca(c  a)
2(a 3  b 3  c3 )  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a);

1


b(a-b)2

Li gii.
á p dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương, ta có:

1
ab ab
1
ab ab
1
b


4 4 b.
.
.
2 2.
2
2
b(a-b)
2
2
b(a-b)
2
2 b(a-b)2
Ví dụ 8 : Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
a+

(H TLi 1997)
a 2 b2 c2 d 2 1 1 1 1

3c
5 2
3 3
5
d
d c
2
3d
5 2
3 3
5
a
a d
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2), (3) v (4) ta cú pcm.

(1)
(2)
(3)
(4)

Ví dụ 9 : Cho các số thực x, y, z dương. Chứng minh: 16xyz(x+y+z) 3 3 (x+y) 4 (y z) 4 (z x) 4
(Tp chớ TH & TT -1996)

Li gii.
Gi A = (x + y)(y + z)(z + x)
Ta cú: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2
á p dụng BĐT Cauchy cho tám số dương gồm ba số với mỗi số bằng
bằng

1

Li gii.
á p dụng BĐT Cauchy cho n số dương gồm một số bằng

(a+b)(n-1)
c
n

và (n-1) số với mỗi số bằng 1, ta có:1+1+...+1


(n-1) số

Hay

n

(a+b)(n-1)
(a+b)(n-1)
(a b)(n
(a b c)(n 1)
nn



c
c
nc
c



a
n n
a
n

n  1.
(3)
c+b n  1
abc
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm.
(n-1)(a+b)=c
3

§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (n-1)(b+c)=a  n   N
2
(n-1)(c+a)=b

T­¬ng tù, ta cã:

n

kh«ng x¶y ra.
Ví dụ 11: Giải phương trình :

2x
4x
2x
3



 1  
 1  
 1  3  


3
 b 1   a 1   a  b 
 b 1   a 1   a  b 
1
1 
1
1 
 1
 1
 a  b  c




  3   b  1   a  1   a  b   
3
 b 1 a 1 a  b 
 b 1 a 1 a  b 

1 3
3
3
3 a  1b  1a  b .
3
3 a  1b  1a  b 

  33
 a  b  c     9    
a b c
abc
a b c abc
a b c
9
9
9 3
1
1
1
Suy ra Q =
  -Q   nên P = 3 – Q  3- =


4
4 4
x 1 y 1 z 1 4
3
1
Vậy max P = .khi x = y = z = .
4
3
1
1
1
abc
Ví dụ 2: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 2
 2

1
1 1
1 
2
1
1 1
1 

    2

   
b   ac b ac 2  bc ab  c   ab c ab 2  ac bc 
2
2
2
abc
 2
 2
 2

a  bc b   ac c   ab
2abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
a
b
c
Ví dụ 3: CMR trong tam giác ABC :


 3 (*)

4ac
a b c
0  x, y, z
2
Giải: Đặt f ( x)  x  (a  c) x  ac  0 có 2 nghiệm a,c
2

Mà: a  b  c  f (b)  0  b 2  (a  c)b  ac  0
ac
y
b
 a  c  yb  ac  a  c  y
b
b
x
y
z

  xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c  y  (a  c) z
a
b
c

x y z
 xa  yb  zc  ac     a  c  x  y  z 
a b c
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
x y z
 2  xa  yb  zc ac     a  c  x  y  z 
a b c

-

Tr: 14


Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc
Lời giải.
á p dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:
x2 1 y
x2 1 y

2
.
x
1+y
4
1+y 4
y2 1 z
y2 1 z

2
.
y
1+z
4
1+z 4
z2 1 x
z2 1 x

2

3(x y z) 3


4
4
3
3 3
3 3
.3 3 x.y.z .3 (Do x.y.z=1)
4
4 4
4 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
Ví dụ 6 : Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz=1.

1+x 3 y 3
1 y3 z3
1+z 3 x 3


3 3.
xy
yz
zx

Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?
(ĐH, CĐ Khối D-2005)


3
yz



3
zx

33

3
xy

1+z 3 +x 3
3
; (3)

zx
zx
.

3
yz

.

3
zx




Tr: 15


Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc
á p dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3+4 x 1 1 1 4 x 4 4 4 x
3+4 x 2

4

4x 2 8 4x

Tương tự, ta có: 3+4 y 2 8 4 y
3+4 z 2 8 4 z
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta được:
3+4 x 3+4 y 3+4 z 2



8



4 x 8 4 y 8 4 z 2.3 3 8 4 x.4 y.4 z 6 24 4 x y z 6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì
18xyz
(H Tõy Nguyờn KA, B-2000)

1


1.
2x+y+z x 2y z x y 2z
(ĐH, CĐ K A - 2005)

Lời giải.
Cách 1 : Với a, b>0 ta có: 4ab (a+b)2

1
ab
1
11 1



a b 4ab
ab 4a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
á p dụng kết quả trên ta có:

Tương tự:

1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1



1.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= .
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x y z
4

Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th.

10/24/2011

-

Tr: 16


Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc

1 1
4

với a, b>0, ta được:
a b ab
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
8=2 4


;
x y z x y y z z x


.
2x y z x 2y z x y 2z

2

1

1
1
Từ (1) và (2) ta suy ra: 8 8


đpcm.
2x+y+z x 2y z x y 2z
Cách 3 : Với a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương ta có:
a 2 b 2 (a b)2


(*)
x y
xy
a 2 y(x+y)+b 2 x(x+y) (a+b)2 xy a 2 y 2 +b 2 x 2 2abxy (ay-bx)2 0.

BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b
.
x y


1 1
4 4
4 4



xy
xz

2

2

1
1
1
1
4
4
4
4
1 2 1 1
.
x
y
x
z
16 x y z
Tương tự ta có:
1

Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th.

10/24/2011

-

Tr: 17


Tng hp cỏc phng phỏp chng minh Bt ng thc
Tương tự:

1
1 1 2 1

x+2y+z 16 x y z
1
1 1 1 2
.
x+y+2z 16 x y z

1
1
1
11 1 1


1.
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
Ví dụ 10 : Cho x, y, z 0 và x+y+z 3. Chứng minh rằng:




0

2
2
2
2
2
2
1+x
2(1 x )
2(x 1)
1+x
y
1
z
1
Tương tự ta có:

;

2
2
2 1 z
2
1+y
Ta có:


3.
(Do x+y+z 3)
3 (1 x)(1 y)(1 z)
1 x 1 y 1 z 2
1+x 1 y 1 z
3
3
1
1
1



; (2) ; Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
2 1+x 1 y 1 z

K thut Cụ-Si ngc du
Bt ng thc Cụ-Si l mt trong nhng bt ng thc kinh in rt quen thuc vi hc sinh THPT
.Chuyờn ny mun gii thiu mt phng phỏp vn dng bt ng thc Cụ-Si ú l k thut Cụ-Si
ngc du.
Vớ d 1) Cho cỏc s dng a,b,c tha món iu kin a+b+c=3.Chng minh rng:

Bi gii: Ta luụn cú :

Theo bt ng thc Cụ-Si ta cú: nờn
Hon ton tng t ta cng cú:

(1)
(2) ;


(2) ;

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương
pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được , sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1) Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2) Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3) Cho 3 số

và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.

10/24/2011

-

Tr: 19


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si
Trong khi học về mảng kiến thức bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những

(dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi

)

Và mục đích của các tham số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có
suy ra:

(*)

Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kh ông ràng buộc.
Ta chọn các tham số phụ sao cho:
(dấu = xảy ra tại

)

(dấu = xảy ra tại

)

Sưu tầm và tổng hợp: Lộc Phú Đa - Việt Trì – Phú Thọ.


; b.
; c.
; d.
Giải:Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:
a.
1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được)
Ta có:
dấu = xảy ra khi:

Suy ra:

; Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó:

Như vậy ta được hệ phương trình sau:
abd=cef
a+b=1
c+d=1
e+f=2
Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài. Tuy
nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân
tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn ?
Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có
một phương pháp rất hay và mới:
Xét biểu thức:
Với
Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó
là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có
thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f.
Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của:
;


Ta d oỏn t bi rng P s nh nht khi a=3 v õy chớnh l "im ri" ca bi toỏn.Khi a=3 thỡ
v
Ta ỏp dng Cosi nh sau: ta cú
Khi ú kt hp vi k
D thy khi a=3 thỡ

ta cú
.Vy

khi a=3

Bi 2: Cho a,b,c dng v abc=1.CMR:
Gii: D oỏn du ng thc xyra khi a=b=c=1.Lỳc ny

v 1+b=2.Ta ỏp dng Cosi nh sau:

Tng t cho 2 BT cũn li.Khi ú ta cú
ỏp dng Cosi cho 3 s ta cú

.Tip tc
.Thay vo ta cú

Bi 4: Cho a,b,c dng v a+b+c=3.Tỡm Min: P=

+

+

...................................................................................................................


Bài 4 : Với a, b, c là ba số thực dương bất kì thỏa mãn điều kiện a+b+c=0.
8a 8 b 8 c 2 a 2 b 2 c .

Chứng minh rằng:

(ĐHQG Hà Nội K A - 2000)

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi x, y >0 ta có:
2

9
y
(1+x) 1+ 1
256. Đẳng thức xảy ra khi nào?
y
x
(Đề DB KA - 2005)

3
Bài 6 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c= . Chứng minh rằng :
4
3
3
3
a+3b b 3c c 3a 3
(Đề DB 1 K B- 2005)
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 7 : Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì x y y x


y

z

x

y

(Đề DB 2 K A- 2006)

..............................................................................................................................

Su tm v tng hp: Lc Phỳ a - Vit Trỡ Phỳ Th.

10/24/2011

-

Tr: 23


Tổng hợp các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

5- Phương pháp 5: Bất đẳng thức Bunhiacopski- Bất đẳng thức SVACXƠ
Kiến thức:
* BĐT Bunhiacôpxki
Cho 2n số thực ( n  2 ): a1 , a 2 ,...a n , b1 , b2 ,..., bn . Ta luôn có:
(a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  (a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 )

a

2
1
1
 1  1   2  2  ...   n  n  ( 12   22  ....   n2 )  (  12   22  ...   n2 )  1
2
2
Suy ra:
 a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a.b

Dấu “=” xảy ra khi 

Lại có: a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1b1  a 2 b2  ...  a n bn
Suy ra: (a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  (a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 )

  i   i i  1,2,..., n 
a
a
a
 1  2  ....  n
Dấu”=” xảy ra  
b1 b2
bn
 1  1 .... n  n cùng dáu
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi ,..., ci )(i  1,2,...., m)
Thế thì:
(a1 a 2 ...a m  b1b2 ...bm  ...  c1c 2 ...c m ) 2  (a1m  b1m  ...  c1m )(a 2m  b2m  ...  c 2m )(a mm  bmm  ...  c mm )
Dấu”=” xảy ra   bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  t i sao cho:
a  t i ai , b  t i bi ,..., c  t i ci , Hay a1 : b1 : ... : c1  a 2 : b2 : ... : c 2  a n : bn : ...c n
*

Giải: Ta có: sin 2 x  cos 2 x  1, x  R



1
8

 



1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12  12
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:







2
1
1
 sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x
2
4
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:
2
1
1

4 
2 
2
1
1
1
 2

1
1
k
k
k
2
2







1 1
1
1
1   1
1 
1
1  1
1


Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
a
a1 a 2
1
1
1
2

 ....  n  a12  a 22  ...  a n2
 2  ...  2  3
 2 (đpcm)
2
2
3
n 1
3
2
3
n
Ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:



(a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó
mà

a  c 2  b  d 2