Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%01/50%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%%
2x −1
(1) .%
Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
x −1
1. Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
2. Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
3. Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Câu%2(4,0%điểm)%Giải%các%phương%trình%%
1
2 tan x(1− cos x ) =
−1 .%
1.
cos x
2.

4 + ln(x +1) + x 3 − 2x 2 + x − 2 = 0 .%%%

Câu%3(1,5%điểm)%Gọi%S%là%hình%phẳng%giới%hạn%bởi%các%đường% y = x 2 −3x +1; y = −4x + 3 .%Tính%
thể%tích%khối%tròn%xoay%khi%quay%S%quanh%trục%hoành.%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%
A = z12 − z 22 .%%%

Câu%5(1,0%điểm)%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%

=
4
⎪
⎩
Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
%
kkkHẾTkkk%
ĐÁP%ÁN%–%THANG%ĐIỂM%–%BÌNH%LUẬN%ĐỀ%01/50%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%1/9%


Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Thang%điểm%tương%ứng:%%
%
Câu%1:%1.1(2,0%điểm);%1.2%và%1.3%mỗi%ý%1,0%điểm%
Câu%2:%2.1%và%2.2%mỗi%ý%2,0%điểm%
Câu%7:%7.1(2,0%điểm);%7.2(1,5%điểm)%

2x −1
(1) .%
x −1
Khảo%sát%sự%biến%thiên%và%vẽ%đồ%thị%hàm%số%(1).%
Cho%hai%điểm%A(1;2)%và%B(5;2).%Viết%phương%trình%tiếp%tuyến%của%(1)%cách%đều%A,B.%
Tìm%điểm%M%thuộc%(1)%có%tổng%khoảng%cách%đến%2%trục%toạ%độ%đạt%giá%trị%nhỏ%nhất.%
Học%sinh%tự%làm.%
Đường%thẳng%AB%có%pt%là% y = 2 ;%trung%điểm%của%AB%là%điểm%I(3;2).%

Câu%1(4,0%điểm)%Cho%hàm%số% y =
1.

Suy%ra%tiếp%tuyến%cần%tìm%là% y = −x + 5 .%%%%

+%Nếu%d%đi%qua%I%khi%đó% 2 = −

3. Giả%sử% M (m;

2m −1
2m −1
),m ≠1 .%Khi%đó% d(M ;Ox ) =
;d(M ;Oy) = m .%
m −1
m −1

Ta%cần%tìm%GTNN%của%biểu%thức% P =

2m −1
+ m .%
m −1

1
1
+%Nếu% m > ⇒ P > m > .%
2
2
2m −1
+%Nếu% m < 0 ⇒ P >
>1 .%
m −1
1
2m −1

+ k2π .%
2

Phương%trình%tương%đương%với:

2 sin x(1− cos x ) 1− cos x
.%
=
cos x
cos x

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%2/9%


Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
⎡
⎢ x = k2π
⎢
⎡ cos x =1
⎢
⎢
π
⎢
⎢
%
⇔ (1− cos x )( 2 sin x −1) = 0 ⇔ ⎢
1 ⇔ ⎢ x = + k2π .%%
4
⎢
⎢sin x =

⎡ x = −2
Phương%trình%hoành%độ%giao%điểm:% x 2 −3x +1 = −4x + 3 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ ⎢
.%
⎢ x =1
⎣
Vì%vậy%%
1

1

V = π ∫ (x −3x +1) −(−4x + 3) dx = π ∫ (x −1)(x + 2)(x 2 −7x + 4) dx
2

2

2

−2

−2

7− 33
2

=π

∫

.%%%



V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx .%
a

b

Nhiều%học%sinh%mắc%sai%lầm%khi%sử%dụng%công%thức%tự%chế%V = π ∫ ( f (x ) − g(x )) 2 dx .%Các%em%
a

cần%chú%ý.%%%%%
Câu%4(1,5%điểm)%Gọi% z1 , z 2 %là%hai%nghiệm%của%phương%trình% (1+ i)z 2 − 2iz − 21+ i = 0 .%Tính%
A = z12 − z 22 .%%%

Ta%có% Δ' = i 2 −(1+ i)(−21+ i) = 21+ 20i = (5 + 2i) 2 .%
Suy%ra% z = −3+ 2i; z = 4 −i .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%3/9%


Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Vì%vậy% A = (−3+ 2i) 2 −(4 −i) 2 = (5−12i) −(15−8i) = 10 + 4i = 2 29 .%%%%
Chú%ý.%Một%số%học%sinh%tính%toán%sai%giá%trị%của%A%nên%bước%tính%toán%các%em%đặc%biệt%lưu%ý.%
Câu%5(1,0%điểm)%Một%trò%chơi%quay%số%trúng%thưởng%với%mâm%quay%là%một%đĩa%tròn%được%chia%
đều%thành%10%ô%và%được%đánh%số%tương%ứng%từ%1%đến%10.%%Người%chơi%tham%gia%bằng%cách%quay%
liên%tiếp%mâm%quay%2%lần,%khi%mâm%quay%dừng%kim%quay%chỉ%tương%ứng%với%ô%đã%được%đánh%
số.%Người%chơi%trúng%thưởng%nếu%tổng%2%số%kim%quay%chỉ%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%
hết%cho%3.%Tính%xác%suất%để%người%chơi%trúng%thưởng.%%
+%)%Số%cách%xuất%hiện%kết%quả%của%trò%chơi%là% 10.10 =100 .%%
+%)%Ta%tìm%số%kết%quả%để%tổng%2%số%nhận%được%khi%mâm%quay%dừng%là%một%số%chia%hết%cho%3.%
Trước%tiên%phân%chia%10%số%ban%đầu%thành%3%loại:%Loại%I%gồm%các%số%chia%hết%cho%3%có%3%số%
(3,6,9);%loại%II%gồm%các%số%chia%3%dư%1%có%4%số%(1,4,7,10);%loại%III%gồm%các%số%chia%3%dư%2%số%có%3%số%

2

%
a 30 1
a 3 30
Vì%vậy%VABC .A' B 'C = A' H .S ABC =
(đvtt).%%%%
. .(a 2) 2 =
2 2
2
Kẻ%HK%vuông%góc%với%AA’%tại%K%có% AC ⊥ (ABB ' A') ⇒ AC ⊥ HK .%
Suy%ra% HK ⊥ (ACC ' A'),HK = d(H ;(ACC ' A')) .%
Ta%có%

1
1
1
2
2
a 30
=
+
= 2+
⇒ HK =
.%
2
2
2
2
8

(t ∈ !) .%
phương.%%Vì%vậy% d : ⎪
⎨ y = 2t
⎪⎪
⎪⎪⎩ z = −1−t
Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:%
%
2(1+ 2t ) + 2.2t −(−1−t ) −12 = 0 ⇔ 9t −9 = 0 ⇔ t =1 .%
Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vuông%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).%
2.%Gọi% C (t;−2t −5) .%Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là%
trung%điểm%của%AC%và%BD.%
⎛ t − 4 −2t + 3 ⎞⎟
⎟ .%Tam%giác%BDN%vuông%tại%N%có%I%là%trung%
Do%đó% I ⎜⎜
;
⎜⎝ 2
2 ⎟⎟⎠

BD
= IB = IA .%
2
2
2
2
2
⎛ 83 t − 4 ⎞⎟ ⎛ 1 −2t + 3 ⎞⎟ ⎛
t − 4 ⎞⎟ ⎛⎜ −2t + 3 ⎞⎟
⎜
⎜
⎜

⎟⎟
⎜⎝ 13
⎜⎝ 13
13 ⎟⎟⎠
13
⎠

Do%BN%vuông%góc%với%MN%nên:%
!!!" !!!!"
BN .MN = 0 ⇔ (83−13a)(44 + 26a) −(1+13b)(272 + 26b) = 0 (1) .%
2

2

125 ⎛⎜
3⎞ ⎛
1 ⎞ 125
Mặt%khác:% IB = IC =
⇔ ⎜a + ⎟⎟⎟ + ⎜⎜b − ⎟⎟⎟ =
(2) .%%%%%%%%
⎜⎝
2
2 ⎟⎠ ⎜⎝
2 ⎟⎠
2
2

2

Từ%(1)%và%(2)%ta%có:%

Điều%kiện:% x ≥ 0; y ≥1 .%
Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%5/9%


Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%Môn%Toán%–%Thầy%Đặng%Thành%Nam%–%Mathlinks.vn%%
Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:%

⎡ x + x + y −1 = 0
.%
( x + y −1 + x )(x 2 + y 2 − 4) = 0 ⇔ ⎢⎢
⎢⎣ x 2 + y 2 = 4
⎧x = 0
⎪
+%Với% x + x + y −1 = 0 ⇔ ⎪⎨
(thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).%
⎪
⎪
⎩ y =1
⎪⎧ x 2 + y 2 = 4
+%Với% x 2 + y 2 = 4 %ta%có%hệ%phương%trình% ⎪
(1) .%
⎨
⎪⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = 4
⎩
%
Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:%

%

( y 2 −1)x 3 −( y 3 −1)x 2 + y 3 − y 2 − 4 = 0

VT = ( y −1) ⎡⎢(xy + x + y)(x 2 − xy − x + y)⎤⎥
⎣
⎦
%

≤

4( y −1) 2 .(5−( y −1) 2 ) 4
( y −1)(x 2 + 2y) 2 ( y −1)(4 − y 2 + 2y) 2
.%
=
=
4
4
8
5

≤

⎛ 4( y −1) 2 + 4(5−( y −1) 2 ) ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝
5
8

=4

⎧


⎛ x − y + y −1⎞⎟
(x −1) 2
⎟⎟ =
.%
(x − y)( y −1) ≤ ⎜⎜
⎜⎝
⎟⎠
2
4

(x −1)3
(xy + x + y) .%
4
Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:%
1
(x − y) 2 + ( y −1) 2 ≥ (x −1) 2
2
3
⇒ (x −1) 2 ≤ (x −1) 2 + (x − y) 2 + ( y −1) 2 =10− 2(x + y + xy) .%
2
4
⇒ (x −1) 2 ≤ (5− xy − x − y)
3
2
2
Đặt% t = x + y + xy ≤ x + y +1 = 5 ⇒ t ∈ ⎡⎢⎣3;5⎤⎥⎦ .%
Suy%ra% P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤

(x −1)6

Lập%luận%tương%tự%trên%ta%có:%

( y − x )6
4t 2 (5−t )3
(xy + x + y) ≤
,t = xy + x + y ∈ ⎡⎢⎣1;3⎤⎥⎦ .%
16
27
4t 2 (5−t )3
; f max = f (2) =16 .%
Xét%hàm%trên%đoạn%[1;3]%ta%có% f (t ) =
27
⎧⎪t = xy + x + y = 2
⎪⎪
⎪⎧ x = 0
⇔ ⎪⎨
Tức%là% P 2 ≤16 ⇒ P ≤ 4 .%Dấu%bằng%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪⎨ y −1 =1− x
.%%%%%%%%
⎪⎪ 2
⎪⎪⎩ y = 2
2
⎪⎪⎩ x + y = 4
Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) .%%%%
%

P2 ≤

Câu%9(1,5%điểm)%Cho%a,b,c%là%các%số%thực%không%âm%thoả%mãn% a ≥ 7.max {b,c };a + b + c =1 .%
Tìm%giá%trị%nhỏ%nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)5 + b(c −a)5 + c(a −b)5 .%
Ta%có%%

3
2
1
≤ (a −b)(b − c)(c −a) . (a 3 + b 3 + c 3 ) +
3
3

.%

Bởi%vì%%
3

⎛ a + b + c ⎞⎟
1
⎟⎟ = ;
0 ≤ abc ≤ ⎜⎜
⎜⎝
⎟
3
27
⎠

.%
2 3
1
2
1
1
(a + b 3 + c 3 ) + −11abc ≥ .3abc + −11abc = −9abc ≥ 0
3

⎣
⎦
2
b(1−b)(1− 2b)(2b − 2b +1)
Xét%hàm%số% f (b) =
trên%đoạn%[0;1/8]%ta%có%
3
f '(b) = 20b 4 − 40b 3 + 30b 2 −10b +1;
⎡ 1 ⎤ .%
%
f ''(b) = 80b 3 −120b 2 + 60b −10 = 40b 2 (2b −3) +10(6b −1) < 0,∀b ∈ ⎢0; ⎥
⎢ 8⎥
⎣ ⎦
⎛ 1 ⎞⎟ 149
Suy%ra% f '(b) ≥ f ⎜⎜ ⎟⎟ =
> 0 .%Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%%
⎜⎝ 8 ⎟⎠ 1024
P ≤

⎛ 1 ⎞ 525
1
7
525
525
Suy%ra% P ≤ f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
.%Dấu%bằng%đạt%tại% b = ;c = 0;a = .%
⇔−
≤P≤
⎜⎝ 8 ⎟⎠ 8192
8

hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%không%xử%lý%được%vế%còn%lại(chiếm%
80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài%
toán.%Chú%ý%thêm%câu%8%là%điều%kiện%x>=0%và%y>=1%là%cần%thiết%để%hoàn%thiện%lời%giải%cho%hệ%
(1).%Riêng%câu%số%3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%công%thức%tính%thể%tích%khối%tròn%xoay%về%điểm%
này%các%em%cần%lưu%ý.%Câu%9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%toán%mới%tuy%nhiên%đòi%
hỏi%khéo%léo%trong%quá%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%%
Cấu%trúc%đề%cho%đề%số%01/50%
Nhận%biết,%thông%hiểu:%Câu%1.1;1.2;2.1;3;4(chiếm%8%điểm/20%điểm%=40%)%
Vận%dụng:%1.3;%2.2;%5;%6;%7.1%(7,5%điểm/20%điểm%=37,5%)%
Vận%dụng%cao:%7.2;8;9%(4,5%điểm/20%điểm%=22,5%)%
Thầy%dự%đoán%mức%độ%nhận%biết,%thông%hiểu%năm%nay%chiếm%50S60%.%Tuy%nhiên%vì%là%đề%luyện%nên%
thầy%sẽ%giữ%ở%mức%độ%cao%hơn%một%chút%khoảng%40S50%.%
Mức%điểm%trong%khoảng%14k16%điểm%sẽ%đạt%yêu%cầu.%
%
Qua%đây%có%một%kinh%nghiệm%là%các%loại%toán%quen%thuộc%các%em%cố%gắng%hoàn%thiện%
lời%giải%theo%hướng%tối%ưu%để%tiết%kiệm%thời%gian%làm%bài.%Để%làm%được%điều%này%đòi%hỏi%các%
em%cần%rèn%luyện%ngay%từ%bây%giờ%bằng%cách%giải%chi%tiết%+%suy%nghĩ%mở%rộng%các%hướng%có%
thể%tiếp%cận%bài%toán%+%theo%dõi%khoá%học%sát%sao%để%giải%đề%ngay%khi%đề%được%phát%hành%với%
việc%căn%thời%gian%làm%bài%đúng%180%phút.%Sau%đó%so%sánh%đáp%án%chi%tiết%kèm%Video%thầy%
phát%hành%sau%đó!%%%%
Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$
Thân$ái!$
Đông$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$
Đặng$Thành$Nam$

Hotline:%0976%266%202%%%%%%%%%%%%%%%%%%Đăng%ký%theo%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%Page%9/9%


Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn


4
Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC  và  tam  giác  
SBC  vuông.  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC.          
Câu  6(1,0  điểm).  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  mặt  phẳng   (P ) : x + y − z +1 = 0 và  
đường   thẳng   d :

x − 2 y −1 z −1
=
=
.   Tìm   toạ   độ   giao   điểm   I   của   d   và   (P).   Viết   phương   trình  
1
−1
−3

7 3
.d(H ;(P )) .          
9
Câu  7  (1,0  điểm).  Trong  mặt  phẳng  toạ  độ  Oxy  cho  tam  giác  ABC  có  phương  trình  đường  phân  
giác   trong   góc   A   là   y −3 = 0 .   Gọi   M (1;4), N (3;1) lần   lượt   là   các   điểm   thuộc   các   đường   thẳng  
⎛11 8 ⎞
AB,AC.  Tìm  toạ  độ  các  điểm  B,C  biết  trọng  tâm  tam  giác  ABC  là  điểm   G ⎜⎜ ; ⎟⎟⎟ .          
⎜⎝ 3 3 ⎠⎟
đường  thẳng  d’  vuông  góc  với  (P)  và  cắt  d  tại  H  sao  cho   IH =

⎧ x (3− y) + y − 2x =1
⎪
⎪
Câu  8  (1,0  điểm).  Giải  hệ  phương  trình   ⎨
.  
2



Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN
Thang  điểm  tương  ứng:    
Câu  1:  1.1(1,5  điểm);  1.2  (0,5  điểm)  
Câu  2:  2.1  và  2.2  mỗi  ý  0,5  điểm  
Câu  4:  4.1;  4.2  mỗi  ý  (0,5  điểm)  
Câu  1  (2,0  điểm).  Cho  hàm  số   y = 2x 3 −3x 2 +1 (1) .  
1. Khảo   sát   sự   biến   thiên   và   vẽ   đồ   thị   hàm   số   (1).   Gọi   A,B   là   2   điểm   cực   trị   của   (1).   Chứng  
minh  rằng  tam  giác  AOB  vuông  cân  (với  O  là  gốc  toạ  độ).  
2. Viết  phương  trình  đường  thẳng  d  tiếp  xúc  với  (1)  tại  điểm  có  hoành  độ   x1 > 0  và  cắt  (1)  tại  
điểm  có  hoành  độ   x 2 thoả  mãn   x1 x 2 = −1/ 2 .  
1. Bước  khảo  sát  vẽ  đồ  thị  học  sinh  tự  làm.  
+  Hai  điểm  cực  trị  của  hàm  số  là   A(0;1), B(1;0) ⇒ A ∈ Oy, B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB =1 .  
Vậy  tam  giác  AOB  vuông  cân  tại  O  (đpcm).  
2. Phương  trình  đường  thẳng  d  là  tiếp  tuyến  của  (1)  tại  điểm   x1 .  
Suy  ra   d : y = 6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 .  
Phương  trình  hoành  độ  giao  điểm  của  d  và  (1):  
6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 = 2x 3 −3x 2 +1
⇔ 2(x 3 − x13 ) −3(x 2 − x12 ) −6(x12 − x1 )(x − x1 )= 0
⇔ (x − x1 )(2x 2 + (2x1 −3)x − 4x12 + 3x1 ) = 0
.  
⎡x = x
1
⎢
⇔ (x − x1 ) 2 (2x + 4x1 −3) = 0 ⇔ ⎢
⎢ x = 3− 4x1
⎢

1. log 2 (x 2 −1) − log 2 (x +1) 2 = log 2 (x − 2) 2 .  
2
2. 2(1+ sin x ) + 3 cot x = 0 .  
⎧
⎪
x 2 −1> 0
⎪
⎡1< x ≠ 2
⎪
1. Điều  kiện:   ⎪
.  
⎨ x +1 ≠ 0 ⇔ ⎢⎢
⎪
x

⇔ ⎢x = 3
⎢
x +1
⎢⎪⎧⎪ x < 2
⎢ x =1+ 2
⎢⎪⎨
⎢⎪ x −1 = −x + 2 ⎢⎣
⎢⎪⎪
⎢⎣⎪⎩ x +1
Vậy  phương  trình  có  nghiệm  là   x = − 3; x = 3; x =1+ 2 .    
2. Điều  kiện:   sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ! .  
Phương  trình  tương  đương  với:  
cos x
2(1+ sin x ) + 3.
= 0 ⇔ 2sin x(1+ sin x ) = − 3 cos x
sin x
⇒ 4sin 2 x(1+ sin x ) 2 = 3cos2 x = 3(1−sin 2 x )
 

⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin 2 x + 3sin x + 3) = 0
⎡
⎢ x = − π + k2π
⎢
2
⎡sin x = −1 ⎢
⎢
⎢
π
⇔⎢
⇔ ⎢ x = + k2π


⎛
x
x⎛ x
x⎞
x
x⎞
4sin cos ⎜⎜sin + cos ⎟⎟⎟ + 3 ⎜⎜cos2 −sin 2 ⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
2
2 ⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
2
2 ⎟⎠
2

 

⎞
⎛
x⎛
x
x
x
x ⎞
⇔ 4 tan ⎜⎜tan +1⎟⎟⎟ + 3 ⎜⎜1+ tan 2 − tan 2 (1+ tan 2 )⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
⎟⎠
2 ⎜⎝
2

sin 3x
dx .  
1+ cos x

Đăng  ký  nhóm  3  học  sinh  nhận  ưu  đãi  học  phí    Page  3  


Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
π
2

Ta  có  :   I = ∫
0

π
2

3

2

3sin x − 4sin x
sin x(3− 4sin x )
sin x(4 cos2 x −1)
dx = ∫
dx = ∫
dx .  
1+ cos x
1+
cos

0

4(t 2 − 1) + 3
t+1

)

1
⎛
3 ⎞
dt = ∫ ⎜ 4(t − 1) +
⎟ dt
t + 1⎠
0⎝

1
= 2t − 4t + 3ln t + 1 = −2 + 3ln 2
0
2

.      

1. Cho  số  phức  z  thoả  mãn   (1+ i).z + i.z −1−3i = 0 .  Viết   z 3  dưới  dạng  lượng  giác.  

1
2. Tìm  giá  trị  lớn  nhất  và  nhỏ  nhất  của  hàm  số   y = − x 2 + ln(x +1) trên  [0;2].  
4
1.  Giả  sử   z = x + y.i(x, y ∈ !) theo  giả  thiết  ta  có:  
(1+ i)(x + yi) + i.(x − yi) −1−3i = 0
⎧⎪ x −1 = 0

⎢ x = −2 ∉ ⎡⎢0;2⎤⎥
⎣ ⎦
⎣
1
Tính  được:   y(0) = 0; y(1) = ln 2− ; y(2) = ln 3−1 .  
4
1
Vì  vậy   ymax = y(1) = ln 2− ; ymin = y(0) = 0 .  
4
Câu  5  (1,0  điểm).  Cho  hình  chóp  S.ABC  có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC  và  tam  giác  
SBC  vuông.  Tính  thể  tích  khối  chóp  S.ABC  và  khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  SA  và  BC.          
Ta  có   AB 2 + AC 2 = BC 2 = 4a 2 nên  tam  giác  ABC  vuông  tại  
A.  
Mặt  khác  do   SA = SB = SC nên  S  nằm  trên  đường  thẳng  
đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiếp  tam  giác  ABC  và  vuông  
góc  với  mặt  đáy  (ABC).  
Gọi  H  là  trung  điểm  cạnh  BC,  thì  H  là  tâm  đường  tròn  
ngoại  tiếp  tam  giác  ABC.  Suy  ra   SH ⊥ (ABC ) .  
Tam  giác  SBC  vuông  nên   SH =

BC
= a .  
2

1
1 1
a3 3
 Vì  vậy  V
=
SH

HT ⊥ (SAK )  .  Kẻ  AI  vuông  góc  với  BC  tại  I.  Ta  có   HK = AI =

Tam  giác  vuông  SHK  có  

1
1
1
4
1
a 21
=
+
= 2 + 2 ⇒ HT =
.  
2
2
2
7
HT
HK
SH
3a
a

a 21
.        
7
Câu   6   (1,0   điểm).   Trong   không   gian   với   trục   toạ   độ   Oxyz   cho   mặt   phẳng  
x − 2 y −1 z −1
=


Vậy  I(1;2;4).  

⎧⎪ x = 2 + t
⎪⎪
Chuyển  d  về  dạng  tham  số   d : ⎪⎨ y =1−t ⇒ H (2 + t;1−t;1−3t ) .  
⎪⎪
⎪⎪⎩ z =1−3t
Ta  có    
d(H ;(P )) =

(2 + t ) + (1−t ) −(1−3t ) +1
12 +12 + (−1) 2

=

3t + 3
3

;

.  

IH = (t +1) 2 + (t +1) 2 + (3t + 3) 2 = 11t 2 + 22t +11
Theo  giả  thiết  ta  có:  

3t + 3 7 3
.
= 11t 2 + 22t +11 ⇔ 49(t +1) 2 = 9(11t 2 + 22t +11) ⇔ t = −1 ⇒ H (1;2;4) .    
9

Đường  thẳng  AC  đi  qua  điểm  N,M’  có  phương  trình  là   x + 2y −5 = 0 .  
⎧ x − 2y + 7 = 0 ⎪
⎧ x = −1
⎪
Toạ  độ  điểm  A  là  nghiệm  của  hệ  phương  trình   ⎪⎨
⇔⎪
⇒ A(−1;3) .  
⎨
⎪
⎪
x
+
2y
−5
=
0
y
=
3
⎪
⎪
⎩
⎩
Gọi   B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c) ∈ AC .  
Do  G  là  trọng  tâm  tam  giác  ABC  nên:  
⎧
⎧
⎪
⎪b + c = 5 ⎧
⎪b = 6

2
⎪
x
−(
x
−
2y)x
=
5−
2y
+
3
⎪
⎪
⎩
5
Điều  kiện:   x ≥ 0; y ≤ .    
2
Nhân  thêm  2  vào  phương  trình  đầu  của  hệ  rồi  cộng  theo  vế  với  phương  trình  thứ  hai  của  hệ  ta  
được:    
x 2 −( x − 2y)x − 4x + 6 x −5− 2 x y + 2y − 5− 2y = 0
⇔ (x + 2y −5)(x − x +1) + x − 5− 2y = 0
⎛
⎞⎟
1
⎜⎜
⎟⎟ = 0
⇔ (x + 2y −5)⎜ x − x +1+
 
.  

2
2
⎢⎣ x =11+ 4 7
⎪
x(x
+1)
=
(5x
−3)
⎪
⎪
⎩

(

)

(

)

Vậy  hệ  phương  trình  có  2  nghiệm  là   (x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7 .    
⎡ x =1
Cách  2:  Phương  trình  đầu  của  hệ  ta  có: ( x −1)(2 x + y −1) = 0 ⇔ ⎢⎢
.    
⎢⎣ y =1− 2 x
+)  Với   x = 1 ⇒ y = 2 .    
!
+)  Với  !y = 1 − 2 x  thay  vào  phương  trình  thứ  hai  của  hệ  và  đặt  t=căn(x)  ta  được:  


⎪
Giải  hệ  phương  trình   ⎨
.  Đ/s:  (x;y)=(1;2).  
2
⎪
x
−
x
x
=
5−
2y
−1
⎪
⎪
⎩
Câu   9   (1,0   điểm).   Cho   a,b,c   là   các   số   thực   thoả   mãn   a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ;a + b + c = 3 .   Tìm   giá   trị   nhỏ  
nhất  của  biểu  thức   P =

2
a3 + b 3 + c 3
−
.  
11−a 2 −b 2 − c 2 ab + bc + ca + 5

Vì  ba  biến  đối  xứng  nên  không  mất  tính  tổng  quát  giả  sử   a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .  
Khi  đó      

a 3 + b 3 + c 3 ≤ a 3 + (b + c)3 = a 3 + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + 9 ≤ 9 ;  


20
Vì  vậy  f(t)  đồng  biến  trên  [2;3]  suy  ra   f (t ) ≥ f (2) = − .  
21
Đẳng  thức  xảy  ra  khi   a = 2;b =1;c = 0 hoặc  các  hoán  vị.  
Vậy  giá  trị  nhỏ  nhất  của  P  bằng  -­‐‑20/21.  
Chú  ý.  Nút  thắt  của  bài  toán  là  đánh  giá   a 3 + b 3 + c 3 ≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2 .  Nhiều  học  sinh  mắc  sai  
lầm  khi  chỉ  ra  f(t)  đạt  min  tại  t=1.  Bởi  vì  khi  đó  dấu  bằng  không  xảy  ra.  
4 + abc
≥ 2 .      
Ta  có  thể  chỉ  ra   (2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca =
2
!
Ngoài  ra  bằng  cách  tương  tự  chứng  minh  được  các  bất  đẳng  thức  khác:  
ab + bc + ca ≥ 2;a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 ;   a 4 + b 4 + c 4 ≤17 .  
Bài  tập  tương  tự  
Cho  a,b,c  là  các  số  thực  thoả  mãn   a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ,a + b + c = 3 .    
1) Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức   P =
Hotline:  0976  266  202    
Chi  tiết:  Mathlinks.vn    

2
ab + bc + ca
+ 3
.      
2
2
11−a −b − c
a + b3 + c 3
2


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lời  giải:  
Không  mất  tính  tổng  quát  giả  sử   a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ .  

Khi  đó      

⎜⎝
3 ⎟⎠
4 ⎟⎠
4

Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ x 2 −7x + 6 dx .!
0

Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1−i.z =1 !và! z 2 −3 là!số!thuần!ảo.!!!
n

⎛
2
nx 2 ⎞⎟
⎟⎟ = a0 + a1 x +...+ a 2 x n .!Tìm!số!hạng!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển! ⎜⎜⎜ x n −
n
⎜⎝
2 ⎟⎠

chứa! x 20 trong!khai!triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a, AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!
và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Câu)6)(1,0)điểm).!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng! (P ) : x + y + z −7 = 0 .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!

3

2

2

2(b + c)(b + c )

+

(c + a)3
3

2

2

2(c + a)(c + a )

−16.

ab + bc + ca
.!
ab + bc + ca +1

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

1!



⎡x = m
⇔ ⎢⎢ 2
2
⎣ x + 2mx + 3m − 2 = 0 (2)
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!
⎧⎪Δ' = m 2 −(3m 2 − 2) = 0 ⎡ m = −1
.!
⇔ ⎪⎨
⇔⎢
⎢ m =1
⎪⎪−m ≠ m
⎣
⎩
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là! d : y = 0 .!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)

3
a) Giải!phương!trình! log 2 (x 2 + 6x +1) − log 2 x 2 +1 = + log 2 (x +1) .!
2
⎛
⎞
⎛
π
π⎞
b) Giải!phương!trình! sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ cos2x = 2 2 cos⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ .!!
⎜⎝
⎜⎝
3 ⎟⎠
4 ⎟⎠
⎧⎪ x +1> 0


⎛ x +1 ⎞⎟
⎟⎟ − 2 2. x +1 − 2 = 0
⇔ 3.⎜⎜⎜
2
⎜⎝ x +1 ⎟⎟⎠
x 2 +1
x +1

Đặt! t =

x 2 +1

> 0 phương!trình!trở!thành:!

⎡t = 2(t / m)
⎢
3t 2 − 2 2t − 2 = 0 ⇔ ⎢⎢
.!
2
(l )
⎢t = −
⎢⎣
3

!

Vậy!

x +1

⇔ (cos x −sin x )⎜⎜⎜ 2 −sin ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟.sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝
⎜⎝
⎜⎝
4 ⎟⎠
3 ⎟⎠⎟⎠
π
+ kπ,k ∈ !
4
⎛
⎛
⎛
⎛
π⎞
π⎞
π⎞
π⎞
Bởi!vì! 2 −sin ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟.sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ ≥ 2 − sin ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟.sin ⎜⎜2x − ⎟⎟⎟ ≥ 2 −1> 0 .!
⎜⎝
⎜⎝
⎜⎝
⎜⎝
4 ⎟⎠
3 ⎟⎠
4 ⎟⎠
3 ⎟⎠
⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x =1 ⇔ x =

Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!! x =


⎜⎝ 3
2
2
6
2
3

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

.!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

3!


Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
49
Vậy! I =
.!!
3
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z −1−i.z =1 !và! z 2 −3 là!số!thuần!ảo.!!!
n

⎛
2
nx 2 ⎞⎟
⎟⎟ = a0 + a1 x +...+ a 2 x n .!Tìm!số!hạng!

⎨⎡⎢ x = y
⎨
⎪
⎪
y =1
⎪
⎪
⎩
⎢
⎪
⎪
⎩⎣ x − y −1 = 0
Vậy!số!phức!cần!tìm!là! z = 2 + i .!!!!!!!!
n

⎛
2
nx 2 ⎞⎟
⎟⎟ = a0 + a1 x +...+ a 2 x n (n > 2) .!Tìm!số!hạng!chứa! x 20 trong!khai!
b)!Cho!khai!triển! ⎜⎜⎜ x n −
n
⎜⎝
2 ⎟⎠

triển,!biết! 4an 2−2n+2 + an 2−3n+6 = 0 .!
n

n
⎛
nx 2 ⎞⎟

Suy!ra! an 2−2n+2 =

2

64 4 20
C 6 x =19200x 20 .!
4
2
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!
AB = 2a, AD = a .!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt!
Vậy!số!hạng!cần!tìm!là! (−1) 4 .

đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc! 600 .!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!
khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!

Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

4!


Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
Gọi!H!là!giao!điểm!của!AC!và!DM,!suy!ra!H!là!trọng!tâm!
tam!giác!ABD!và! SH ⊥ (ABCD) .!
2
2
2a 5
4a 2 + a 2 =

Tam!giác!CAN!có! AN = AD 2 + DN 2 = a 2 .!
2S
S
1
2a 2
a 2
Vì!vậy! HK = d C; AN = ACN = ABCD =
.!!!!!
=
3
3AN 6AN 6.a 2
6
!
Tam!giác!vuông!SHK!có!

(

)

1
1
1
3
18
2a 15
=
+
=
+ 2 ⇒ HT =
.!

⎪⎪
⎪⎪⎩ z = 2t
Gọi! M (t;7−3t;2t ) là!điểm!cần!tìm.!
!!!!"
!!!"
Ta!có! AM = (t −3;4 −3t;2t −1), BM = (t;5−3t;2t −1) .!
!!!!" !!!"
⎡
⎤
Suy!ra! ⎢ AM , BM ⎥ = (1− 2t;6t −3;10t −15) .!
⎣
⎦
2

⎛ 17 ⎞ 200
140⎜⎜t − ⎟⎟⎟ +
7
⎝⎜ 14 ⎟⎠

!!!!" !!!"
5(28t 2 −68t + 47)
⎡
⎤
AM
,
BM
=
=
⎢
⎥

⎛17 47 17 ⎞
Vậy!điểm!cần!tìm!là! M ⎜⎜ ; ; ⎟⎟⎟ .!!
⎜⎝14 14 7 ⎟⎠
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn! 7BF = 5FA ,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
⎛ 13 3 ⎞
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là! 11x −7y + 6 = 0 .!Biết! F ⎜⎜− ; ⎟⎟⎟ !và!đỉnh!B!có!tung!độ!
⎜⎝ 6 2 ⎟⎠
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
Gọi!a!là!độ!dài!cạnh!hình!vuông!ABCD.!
Ta!có!!
!!" !!!"
!!!" !!!" !!!" 1 !!" !!!" 1 !!!" 3BA + BD
GE = BE − BG = (BA + BD ) − BD =
;
2
3 !!"
6
.!
!!!"
!!!" !!!" !!!" 5 !!" 1 !!!" 5BA − 4BD
GF = BF − BG = BA − BD =
12
3
12
Suy!ra!
!!!" !!!"
!!" !!!" !!"
!!!"
72GE .GF = (3BA + BD )(5BA − 4BD )

7⎜ x + ⎟⎟ +11⎜⎜ y − ⎟⎟ = 0 ⎪
1
⎝ 3 3 ⎟⎠
⎪
⎪
⎜
⎜
⎟
⎟
y
=
6
2
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠
⎪
⎩
⎪
3
⎪
⎩
Tam!giác!BFG!có!
GF 2 = BF 2 + BG 2 − 2BF .BG cos450
!
.!
112 + 72

⎪
FB =
a =
⎪
⎪
⎢
6 ⎟⎠ ⎝
2 ⎟⎠
18
⎝
⎪
144
18
⎪
⎪
!
.!
⇔⎨
⇔⎢
⎨
2
2
2
⎢a = − 13 ,b = 169
⎪
⎪
2a
80
⎛
⎞⎟ ⎛

⎠
⎪
⎩
!!!" 5 !!"
Đối!chiếu!với!điều!kiện!suy!ra! B(−3;−1), BF = BA ⇒ A(−1;5) .!
12
!!" 3 !!!"
Gọi!I!là!tâm!hình!vuông!có! BI = BG ⇒ I (1;1) .!Do!I!là!trung!điểm!AC!nên! C (3;−3) .!
2
!!!" !!!"
Và! AD = BC ⇒ D(5;3) .!!!!!!
Vậy!toạ!độ!bốn!điểm!cần!tìm!là!A(â1;5),!B(â3;â1),!C(3;â3)!và!D(5;3).!!
Chú)ý.!Có!thể!chứng!minh!GE!vuông!góc!GF!bằng!pp!trục!trong!trục!hoặc!sử!dụng!định!Lý!
Pitago!(xem!thêm!video!lời!giải).!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

6!


Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
⎪⎧⎪(x − y + 2xy )( y − x )x 2 =1
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎪⎨
.!
⎪⎪ 2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎪⎩
Điều!kiện:! y ≥ x ≥ 0;2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) ≥ 0 .!!!
Nhận!thấy! x = 0 không!thoả!mãn!hệ!phương!trình.!

⎥⎦
⎣⎢
Bởi!vì!từ!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!có:!
⎡
⎤
1
1
⎢
⎥ + x .!
x − y + 2xy =
⇔
3x
+
2xy
=
+
(
y
−
x
)
+
x
+
x
⎢ ( y − x )x 2
⎥
( y − x )x 2
⎣
⎦

y−x + x

> 0 .!!!!

!Với! y = 2x !thay!vào!phương!trình!thứ!nhất!của!hệ!ta!được:!
⎡ x =1, y = 2(t / m)
!
.!
x 4 =1 ⇔ ⎢
⎢ x = −1, y = −2(l/)
⎣
Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = (1;2) .!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P=

(a + b)3
3

2

2

(2(a + b)(a + b )

Ta!chứng!minh:!

+

(b + c)3

≥ 4ab .!Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!

!
(a + b)9 ≥128(a + b)(a 2 + b 2 )a 3b 3 ⇔ (a + b)8 ≥128a 3b 3 (a 2 + b 2 ) .!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
(a + b) 4 = (a 2 + b 2 + 2ab) 2 ≥ 8ab(a 2 + b 2 ) .!
Suy!ra! (a + b)8 ≥ 64a 2b 2 (a 2 + b 2 ) 2 ≥ 64a 2b 2 (a 2 + b 2 ).2ab =128a 3b 3 (a 2 + b 2 ) .!
Bất!đẳng!thức!đúng,!đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! a = b .!
Tương!tự!ta!có:!
Hotline:)0976)266)202))
Chi)tiết:)Mathlinks.vn)!

Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)))

7!