BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015


LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu
2. PGS. TS. Trần Vui

Phản biện 1: PGS.TS Vương Dương Minh
Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Kim Thoa
Đại học Sư phạm Huế
Phản biện 3: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường, tại:


4.

Trương Thị Khánh Phương (2014), “Using open-ended problems to
enhance students’ abductive reasoning in mathematics classroom”, In
Bulletin: Multilingual education and philology of foreign languages.
Almaty (Kazakhstan), ISSN 2307-7891, No. 2(6), pp. 84-91.

5.

Trương Thị Khánh Phương (2014), “Creating open-ended problems to
improve students’ abductive reasoning in mathematics classroom”,
Journal of Sciences - Hue University, ISSN 1859-1388, Vol. 99,
No.11, pp. 49-59.

6.

Trương Thị Khánh Phương (2015), “Suy luận ngoại suy và quy nạp
trong khám phá quy luật dãy số - Những phân tích lý thuyết và thực
nghiệm”, Tạp chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí
Minh, ISSN 1859-3100, 9 (75), tr. 16-28.


1
Chương 1. GIỚI THIỆU
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Một mô tả chung nhất và đặc trưng nhất về toán được hầu hết các nhà
toán học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của các dạng mẫu.
Một trong những cách để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của
nó thông qua các mối quan hệ và hàm số. Đặc biệt, quá trình tìm
kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy luận có

diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh
mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán” làm đề tài
nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩa
tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở
Việt Nam. Cụ thể, các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung
phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan đến khái
niệm “dãy số”. Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã
được học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”,
“hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để khám
phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số
nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan
hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá
quy luật dãy số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội
dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại
suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quát
hóa quy luật của HS. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng
lực khám phá các quy luật toán của HS trong lĩnh vực Hình học. Với
đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến thức hình học
phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông


3
góc, đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình
Hình học ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát.
Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra
trong môi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần mềm hình
học động. Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong

Cañadas và Castro (2009, [24]) đưa ra mô hình bảy bước cho quá
trình suy luận quy nạp: (1) Quan sát các trường hợp đặc biệt; (2) Sắp
xếp các trường hợp đặc biệt một cách hệ thống; (3) Tìm kiếm và dự
đoán quy luật; (4) Hình thành giả thuyết; (5) Kiểm chứng giả thuyết;
(6) Tổng quát hóa giả thuyết ; (7) Xác minh giả thuyết tổng quát.
2.1.2. Suy luận ngoại suy
2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce
Nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders
Peirce là người đã phát triển khái niệm ngoại suy và đưa nó vào trong
hệ thống các loại suy luận. Mô hình ngoại suy của Peirce: Một sự thật
C được quan sát; Nếu A đúng, C hiển nhiên cũng sẽ đúng; Vì thế, là
hợp lí khi giả thuyết rằng A đúng. (Peirce, [65, 5.189])
2.1.2.2. Ngoại suy theo quan điểm của J. Josephson và S. Josephson
J. Josephson và S. Josephson (1996, [39]) kế thừa định nghĩa ngoại suy
của Peirce và bổ sung vào mô hình ngoại suy của ông thêm một giai
đoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất. Mô hình mới như sau:
D là một tập các dữ liệu (sự kiện, quan sát, cái đã cho);
H giải thích D (nếu H đúng, sẽ giải thích D);
Không có giả thuyết khác có thể giải thích D tốt hơn H;
Như vậy, H có lẽ là đúng.
2.1.2.3. Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli
2.1.2.4. Các cách phân loại ngoại suy
•

Phân loại theo Eco


5
•


tưởng mới và mở rộng tri thức của chúng ta.


6
2.2. Biểu diễn toán
2.2.1. Phân loại biểu diễn toán
2.2.2. Biểu diễn trực quan
2.2.2.1. Trực quan hóa
2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số
2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động
2.3. Khám phá quy luật dãy số
2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số
2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số
2.3.3. Các phương án khám phá quy luật dãy số
2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số
Khi đề cập đến những suy luận xảy ra dựa trên việc quan sát một số
trường hợp cụ thể tương tự nhau đến một kết quả tổng quát, người ta
thường nghĩ đến suy luận quy nạp. Khái niệm ngoại suy cũng không
hề được nhắc đến trong những phân tích của các tác giả Reid (2002,
[72]), Canadas & Castro (2007, [23]; 2009, [24]) về quá trình suy
luận của HS khi thực hiện các nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số.
Tuy nhiên, việc đồng nhất nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số với
hành động kiểm chứng và tổng quát hóa một quy luật từ các trường
hợp cho sẵn của dãy số dường như đã phớt lờ đi yếu tố sáng tạo trong
quá trình này, yếu tố mà Peirce đã chỉ ra như một đặc trưng của ngoại
suy. Trong khi đó, Canadas và Castro ([23]) đã khẳng định rằng giai
đoạn hình thành giả thuyết (Bước 4) là quan trọng và xuất hiện
thường xuyên nhất trong bài làm của HS. Đây rõ ràng là một nhiệm
vụ của suy luận ngoại suy. Một số câu hỏi được chúng tôi đặt ra:
Liệu ngoại suy có tham gia vào quá trình khám phá các quy luật dãy

đó có còn đúng hay không và tiến hành tổng quát hóa.
2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1


8
Trên cơ sở quy trình khám phá các quy luật hàm số bậc nhất bằng
suy luận ngoại suy-quy nạp được đề xuất bởi Becker và Rivera
(2007, [19]) và mô hình suy luận quy nạp gồm bảy bước của Canãdas
& Castro (2007, [24]), cùng với các kết quả nghiên cứu trong nước
liên quan đến thực tế của học sinh mười lăm tuổi (Phương, 2009,
[4]), chúng tôi xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy
số gồm năm bước ở Hình 2.13.

Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại
suy-quy nạp
2.4. Khám phá bài toán hình học kết thúc mở
2.4.1. Bài toán kết thúc mở
2.4.2. Bài toán hình học kết thúc mở
2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm”
2.4.4. Các phương thức kéo rê trong môi trường hình học động
Arzarello và nnk (1998, [14]) chỉ ra sự phát triển của bảy phương
thức kéo rê trong quá trình HS thiết lập các dự đoán và phát triển các
chứng minh khi giải quyết các bài toán hình học kết thúc mở trong
môi trường hình học động với sự hỗ trợ của phần mềm Cabri. Dựa
trên sự tương tự về mặt bản chất của hai phần mềm hình học động


9
Cabri và GSP, chúng tôi tập trung vào bốn phương thức kéo rê cơ
bản (được xây dựng từ bảy phương thức kéo rê đã có) được dùng để

Thiết kế nghiên cứu trường hợp cụ thể được sử dụng cho Nghiên cứu
2 vì nó phù hợp cho câu hỏi nghiên cứu “cái gì?” và “như thế nào?”,
kết hợp với phương pháp phỏng vấn điều trị.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một nghiên cứu thử nghiệm được tiến hành trên
78 HS thuộc hai lớp 10 của trường THPT Lê Lợi, tỉnh Gia Lai và
trường THPT Phong Điền, thành phố Huế. Thực nghiệm chính thức
được được tiến hành trên 326 HS thuộc tám lớp 10 của năm trường
THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế.
Nghiên cứu 2: Chúng tôi chọn tám HS lớp 10 T2 trường THPT Quốc
Học cùng với hai GV đang giảng dạy môn Toán cho lớp này làm đối
tượng thực nghiệm. Các HS sẽ được chia thành từng cặp cùng làm
việc trên một máy tính. Hai GV sẽ theo dõi quá trình làm việc của hai
nhóm HS đồng thời tiến hành phỏng vấn khi cần thiết.
3.3. Công cụ nghiên cứu
Với Nghiên cứu 1: Một công cụ nghiên cứu đặc biệt dành riêng cho
nghiên cứu này là Bộ câu hỏi gồm các nhiệm vụ liên quan đến khám
phá quy luật dãy số được chúng tôi thiết kế với một số tiêu chí sau:
(1) Số lượng các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi: Bộ câu hỏi sẽ có
sáu nhiệm vụ được chia thành hai Tập câu hỏi, mỗi Tập câu hỏi
có ba nhiệm vụ và được hoàn thành trong thời gian 30 phút.
(2) Loại quy luật: Bộ câu hỏi sẽ có hai nhiệm vụ liên quan đến dãy
số theo quy luật hàm số bậc nhất và bốn nhiệm vụ còn lại liên
quan đến các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai.


11
(3) BDTQ mô tả dãy số: Để có sự thống nhất trong các nhiệm vụ
của Bộ câu hỏi, chúng tôi sử dụng một dạng BDTQ duy nhất là
các hình vuông tượng trưng cho các tấm bìa (hay các viên gạch).

tổng quát, có nhận xét gì về tứ giác MNPQ?
Bài toán 2. Cho ba điểm A, M, K tùy ý. B là điểm đối xứng với A qua
M, C là điểm đối xứng với A qua K. D là điểm đối xứng với B qua K.
Kéo rê điểm M và đưa ra dự đoán về các hình dạng có thể của tứ giác
ABCD. Trong điều kiện nào thì ABCD là một hình chữ nhật?
3.4. Thu thập dữ liệu
3.5. Phân tích dữ liệu
Với Nghiên cứu 1: Để thống kê các phương án ngoại suy mà HS sử
dụng, chúng tôi tiến hành lập bảng mã.
Bảng 3.3. Bảng mã các phương án ngoại suy
Phạm

Mã

Mô tả

Trù
Số học

Hình
học

11

So sánh

12

Cộng dồn


xác định

31

Ghép hình rời-Sắp xếp hình
Các quy tắc hàm số đúng nhưng sử dụng phương
án không xác định được.


13
90

Các quy tắc hàm số sai

99

Bỏ trống

Chúng tôi cũng đưa ra một Thang đánh các mức độ ngoại suy-quy
nạp dựa trên tính “có lí” và tính “tốt nhất” của giả thuyết:
• Mức độ 1: Các giả thuyết cho thấy HS hoàn toàn chưa nhận ra
được đặc điểm nào tương tự nhau giữa các BDTQ hay trong các
dữ liệu thu thập được.
• Mức độ 2: Các giả thuyết chưa thể hiện sự liên kết giữa số tấm
bìa (số ghế) của mỗi hình với kích cỡ (độ rộng) tương ứng mà
chỉ cho thấy có một số yếu tố của các số hạng cho sẵn có sự phát
triển theo quy luật, nhưng các yếu tố này chưa đủ để mô tả một
cách trọn vẹn quy luật của dãy số.
• Mức độ 3: Các giả thuyết mới chỉ lý giải cho quy luật được tìm
thấy giữa các trường hợp cụ thể cho sẵn nhưng chưa thể hiện

• Vấn đề thứ nhất: HS chưa thật sự hiểu ý nghĩa của biến số n (đại
diện cho vị trí của số hạng trong dãy số), dẫn đến các quy tắc sai
mặc dù chúng có thể trích xuất ra đúng dãy số của bài toán. Đặc
biệt, hầu hết những hiểu nhầm về ý nghĩa của biến n đều xuất
hiện trong các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học.
Trong khi đó, những nhầm lẫn về việc sử dụng các biến số đối
với các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học thường là
việc chọn biến số không đúng với yêu cầu của bài toán hoặc sử
dụng nhiều hơn một biến số mà bài toán yêu cầu, tuy nhiên ý
nghĩa của các biến số trong công thức vẫn được đảm bảo.
• Vấn đề thứ hai: Khi chuyển từ việc khám phá dãy số theo quy
luật hàm số bậc nhất sang quy luật hàm số bậc hai, HS có xu
hướng tiếp tục sử dụng phương án đệ quy nếu trước đó phương


15
án này đã giúp khám phá thành công dãy số theo quy luật hàm
số bậc nhất. Tuy nhiên, gần như tất cả HS đều không thể sử
dụng phương án đệ quy để đi đến một quy tắc tổng quát cho dãy
số theo quy luật hàm số bậc hai. Có vẻ như chính tiếp cận này đã
cản trở HS nghĩ đến các phương án khác.
• Vấn đề thứ ba: Khi sử dụng các phương án thuộc phạm trù Số
học như Giải phương trình, Đoán và Thử, HS không đưa ra lí
giải tại sao lựa chọn quy tắc tổng quát mô tả quy luật dãy số là
hàm số bậc nhất hay hàm số bậc hai.
• Vấn đề thứ tư: Nhiều HS không nhận được những lợi ích đầy đủ
từ các BDTQ. Phần lớn HS gặp các trở ngại sau:
- Khi chỉ quan tâm đến dãy dữ liệu bằng số, HS có xu hướng
nghĩ đến phương án ngoại suy theo quy tắc đệ quy hơn là
quy tắc hàm số. Điều này đặc biệt gây bất lợi cho HS khi

 Giai đoạn 2. Phát hiện bất biến
Phát hiện thấy một tính chất T nào đó. Trong thực nghiệm của luận
án này có hai trường hợp xảy ra:
a) T luôn thỏa mãn với những tất cả các hình dạng khác nhau của
hình. T được phát hiện nhờ kéo rê ngẫu nhiên, nhưng đôi khi HS
phát hiện ra T trước tiên nhờ kéo rê về các trường hợp đặc biệt.
b) T chỉ xuất hiện trong một số trường hợp nào đó chưa được xác
định, trong trường hợp này T thường được gợi ý từ yêu cầu bài
toán hoặc là một kết quả gây ngạc nhiên mà HS quan sát được và
muốn khám phá xa hơn. HS sử dụng các phương thức kéo rê ngẫu
nhiên, kéo rê về các trường hợp đặc biệt để nhận thấy có một số
trường hợp cụ thể nào đó thì tính chất T sẽ được duy trì.
 Giai đoạn 3. Đề xuất giả thuyết bằng suy luận ngoại suy
- Với trường hợp a): Giả thuyết được phát biểu dưới dạng: “Trong
điều kiện của bài toán thì tính chất T luôn xảy ra”.
- Với trường hợp b): HS sử dụng kéo rê duy trì để khẳng định có
một tập hợp các điểm D sao cho khi kéo rê một điểm trên BDTQ
động trùng với một trong các điểm của tập hợp này thì tính chất T


17
được duy trì. Sử dụng kết hợp kéo rê duy trì với việc kích hoạt
chức năng tạo vết để đánh dấu tập D. Tập hợp này có thể được
nhận ra dưới dạng một quỹ tích hình học Q. HS phát biểu giả
thuyết: “Nếu điểm D nằm trên quỹ tích Q thì tính chất T thỏa
mãn”.
 Giai đoạn 4. Kiểm chứng/bác bỏ giả thuyết bằng thực nghiệm
nhờ suy luận quy nạp
- Với trường hợp a): HS sử dụng kéo rê ngẫu nhiên kết hợp với việc
sử dụng các công cụ đo đạc, tính toán của GSP để kiểm chứng lại

quan tâm đến cấu trúc mang tính quy luật của các BDTQ có thể giúp
HS tránh được bốn vấn đề đã nêu, từ đó giảm bớt sai lầm trong các
kết quả. Ngoài ra, sự chênh lệch về số lượng các quy tắc hàm số
tương đương được tạo ra từ các phương án thuộc phạm trù Số học và
Hình học trong cả sáu nhiệm vụ của Bộ câu hỏi còn là một bằng
chứng rõ ràng cho thấy việc quan tâm đến các BDTQ trong quá trình
khám phá giúp HS có nhiều cách nhìn khác nhau về quy luật hơn, đặc
biệt là các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai. Một khía cạnh quan
trọng nữa mà chúng tôi nhận thấy qua thực nghiệm là những HS sử
dụng các BDTQ trong quá trình khám phá thường thể hiện rằng các
em có một cơ sở về tính có lí của giả thuyết được ngoại suy thông
qua các lý giải rõ ràng trên cấu trúc của các BDTQ. HS cũng có cơ sở
để kiểm chứng giả thuyết bằng suy luận quy nạp dựa trên việc mô tả
được các số hạng tiếp theo của dãy số hay thậm chí là số hạng tổng
quát của dãy số thông qua việc xây dựng các BDTQ tương ứng. Do
đó, chúng tôi cho rằng việc quan tâm đến các BDTQ là một trong
những cách để giảm bớt các câu trả lời đang ở mức độ thấp (mức độ
1, 2) và đưa chúng lên các mức độ cao hơn trong thang mức đánh giá
các mức độ ngoại suy-quy nạp mà chúng tôi đã thiết lập.
4.3.2.

Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3


19
Kết quả thực nghiệm từ hai nhóm HS trong nghiên cứu này cho thấy
có mối liên hệ giữa các phương thức kéo rê mà HS thao tác lên
BDTQ của bài toán với hình thức suy luận tương ứng.
Chương 5. PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY
LUẬT TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP

quy nạp, hay lựa chọn một câu trả lời tốt nhất dựa trên nền tảng
kiến thức có sẵn và sự lí giải của của riêng mỗi cá nhân.
• Một số bài toán KTM không cung cấp đủ các dữ liệu cần thiết.
Điều này gây khó khăn cho HS khi muốn sử dụng diễn dịch để
áp dụng những công thức hay quy trình đã biết. Ngược lại, HS
được đòi hỏi mở rộng những kiến thức có sẵn của mình bằng
cách đưa ra giả thuyết dựa trên nền tảng dữ liệu không hoàn
chỉnh, hoặc bổ sung thêm dữ liệu để tạo ra các bài toán mới.
• Các bài toán KTM khi có sự hỗ trợ của các phần mềm hình học
động (như GSP, Cabri…) sẽ tạo ra môi trường thực nghiệm trực
quan động giúp việc khám phá, đặt giả thuyết và kiểm chứng
hay bác bỏ giả thuyết trở nên thuận lợi hơn.
5.3. Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng
khám phá toán bằng suy luận ngoại suy và quy nạp
5.3.1. Đặt vấn đề
5.3.2. Khảo sát vấn đề
5.3.3. Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới
5.3.4. Dự đoán một định lý hay tính chất toán học từ hình vẽ
5.3.5. Các bài toán chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật
5.3.6. Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK
5.3.7. Các vấn đề thực tế
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
1. Kết quả đạt được của luận án
Về mặt lý luận


21
• Phân biệt ba loại suy luận: diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong
bối cảnh toán học, từ đó lập luận để cho thấy hai loại suy luận
được sử dụng phối hợp trong quá trình khám phá quy luật dãy số

Từ kết quả thực nghiệm của Nghiên cứu 1, chúng tôi đưa ra một số
lưu ý về mặt sư phạm dành cho GV khi có điều kiện thực hành các
nhiệm vụ này trong lớp học:
• Cùng một quy luật cho một dãy số, có thể có nhiều phương án
ngoại suy khác nhau để giải thích. GV nên giới thiệu đến HS các
phương án khác ngoài những phương án mà HS đã sử dụng.
• GV cần chỉ ra cho HS thấy rằng ngay cả khi các em đưa ra được
một giả thuyết để giải thích cho các trường hợp cho sẵn thì cũng
cần kiểm chứng giả thuyết này cho các trường hợp khác trước
khi tổng quát hóa giả thuyết bằng suy luận quy nạp.
• Nghiên cứu đưa ra những bằng chứng thuyết phục cho thấy
những lợi thế của các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình
học so với các phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học trong
việc thiết lập quy tắc tổng quát cho các dãy số theo quy luật hàm
số bậc hai. Do đó, việc giới thiệu đến HS các phương án ngoại
suy thuộc phạm trù Hình học là cần thiết. Đồng thời, GV cần
cung cấp các bài toán để khuyến khích HS sử dụng các BDTQ
như một công cụ để khám phá quy luật dãy số và nhận ra ý
nghĩa hình học của biến số trong quy tắc được tìm thấy.
Quá trình thực nghiệm Nghiên cứu 2 cũng có một số lưu ý đối với GV:
• Khi sử dụng hoặc thiết kế các tình huống hình học kết thúc mở
để tạo cho HS cơ hội được khám phá toán, GV nên chọn các tình
huống đòi hỏi HS phải phối hợp cả ngoại suy trực quan và
ngoại suy thao tác để đưa ra giả thuyết.