Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU.........................................................................................................................................2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:..............................................................................................................................2
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu......................................................................................2
2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài ................................................................................................3
3. Phạm vi nghiên cứu..............................................................................................................3
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH ......................................................................................................3
1. Cơ sở lí luận và thực tiển.....................................................................................................3
2. Các biện pháp tiến hành .........................................................................................................4
B. NỘI DUNG......................................................................................................................................5
I. MỤC TIÊU......................................................................................................................................5
II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI..................................................................................................5
1. Thuyết minh tính mới.................................................................................................................5
2. Khả năng áp dụng.......................................................................................................................16
3. Lợi ích kinh tế xã hội ................................................................................................................16
C. KẾT LUẬN....................................................................................................................................17
1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp..................................................17
2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp.............................................17
3. Đề xuất, kiến nghị.................................................................................................................17
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG......................................................20

Sáng kiến kinh nghiệm

1


Trường THCS Nhơn Hải

Trong q trình cơng tác, bản thân tơi khơng ngừng học tập, nghiên cứu và vận dụng
lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua q trình tập huấn, được sự cộng tác
của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tơi đã tiến hành nghiên cứu và
vận dụng quan điểm trên vào cơng tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả.
Xuất phát từ những lý do trên tơi đã chọn đề tài “Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo
của học sinh khá, giỏi thơng qua việc xây dựng, khái qt và mở rộng các bài tốn số học
”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn theo tinh thần đổi mới.
Sáng kiến kinh nghiệm

2


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài
Hình thành cho học sinh phương pháp suy luận khoa học, rèn luyện các thao tác tư
duy quan trọng của tốn học như: phân tích, tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hố, tương
tự hố, lật ngược vấn đề, quy lạ về quen, … có thói quen dự đốn, tìm tòi, nhìn nhận một
vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề,
đánh giá cách giải quyết vấn đề đó, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục.
Ngồi mục đích trên, đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong
q trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy bồi dưỡng mơn tốn.
3. Phạm vi nghiên cứu
Khảo sát, đề xuất và mở rộng các bài tốn số học dạng tính tổng trong chương trình
tốn THCS và trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THCS
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 7, 8 và 9

II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH


– Học sinh còn thụ động, làm việc rập khn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
– Học khơng đi đơi với hành làm cho các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn
luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân khơng được
phát huy hết.
– Khơng ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,
chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
– Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng
khai thác phát triển bài tốn, sáng tạo bài tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập,
sáng tạo của bản thân.
– Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài
tốn trong các các giờ luyện tập, tự chọn...
– Việc chun sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài tốn với nhau, phát triển
một bài tốn sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được
tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học tốn.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao
cho phù hợp.
2. Các biện pháp tiến hành
Để hồn thành đề tài tơi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
+ Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
+ Phương pháp trò chuyện.
+ Phương pháp điều tra, trắc nghiệm.
Ngồi ra, tơi còn sử dụng một số phương pháp khác.

Sáng kiến kinh nghiệm

4

= 5050
2

Từ bài tốn trên ta có một nhận xét:
2S = (100 + 1) + (100 + 1) + (100 + 1) + ... + (100 + 1) + (100 + 1)
⇒S =

(có100 số hạng)

100.(100 + 1)
2

Như vậy: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 =

100.(100 + 1)
2

Nếu mở rộng tổng trên với n số hạng ta có bài tốn sau:
Bài tốn 1a. Tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n

(n∈¥ )

Dựa vào cách tính tổng như bài tốn mở đầu ta dễ dàng có được:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n =
Sáng kiến kinh nghiệm

n(n + 1)
2
5



n(n + 1)
2
Ta có thể chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp:
Phải chăng S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + n =

Kiểm tra với n = 1 ta có:
S(1) = 1 (đúng)
n(n + 1)
k(k + 1)
đúng với n = k, (k > 1) nghĩa là: S(k) =
2
2
Ta cần chứng minh mệnh đề này đúng với n = k + 1 tức:
Giả sử S(n) =

S(k + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k + k + 1 =

(k + 1)(k + 2)
2

Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + k =

k(k + 1)
2

k(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1) =

2

B =  n(2n + 1) − n(n + 1) =  n 2

* Tổng B có thể tính được bằng cách khác dựa vào cách phân tích sau:
2

1 + 3           

1+ 3 
=   4   =   2 = 
÷
 2 

1 + 3 + 5       

=  9  =   3

2

2

2

 1+ 5 
= 
÷ 
 2 
2


a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
…………………………
an = an-1 + d = a1 + (n – 1)d
Suy ra:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an = na1 + d + 2d + 3d + 4d +…+ (n – 1)d

n(a1 + an )
(n − 1)n
d=
2
2
* Tới đây lại xuất hiện vấn đề tiếp theo là liệu có thể tính tổng của một dãy số với
khoảng cách d thay đổi giữa các số hạng hay khơng ?
Xuất phát từ việc phân tích của bài tốn 1a, ta có:
= na1 + [1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n − 1)]d = na1 +

1 + 3 + 6 + 10 + ... +

Sáng kiến kinh nghiệm

n(n + 1) 1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
=
+
+
+ ..... +
2

P(n)
S(n)
P (n)
s(n)

1
1
1
1
1

2
2
4
5
3

3
3
9
14
6

4
4
16
30
10

5

P ( n)
2.n + 1
n(n + 1)
=
; với S(n) =
( kết quả bài tốn 1), suy ra:
S ( n)
3
2

P(n) =

2.n + 1
n( n + 1) 2.n + 1 n(n + 1)(2n + 1)
.S(n) hay P(n) =
.
=
3
2
3
6

Có được kết quả này ta đã dựa vào bài tốn số 1a, sử dụng kết quả của nó và mối
quan hệ giữa S(n) và P(n) để tính P(n). Cũng từ đây ta phát triển và mở rộng để được các
bài tốn mới sau đây :
Bài tốn 2a. Tính tổng :
A = 22 + 42 + 62 + .............+ (2n)2
B = 12 + 32 + 52 ……….. + (2n – 1)2
Bằng cách làm tương tự như bài tốn 1b, ta thu được các kết quả sau đây :
2n(n + 1)(2n + 1)

Có thể phát triển bài tốn 2a ở dạng tổng qt sau đây:
Và: B =

Bài tốn 2b. Tính tổng: C = a1 2 + a2 2 + a3 2 + ... + an 2
Với an = an −1 + d ( a1 ≠ 0, d ngun dương tùy ý)
Ta có thể dựa vào quy luật sau:
a12 = a12
a2 2 = ( a1 + d )

2

a32 = ( a2 + d ) = ( a1 + 2d )
2

2

.........................................
an 2 = ( an −1 + d ) = a1 + (n − 1)d 
2

2

Suy ra:
C = a12 + a2 2 + a32 + ... + a n 2 = na12 + 2da1[1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)] + d 2 [12 + 2 2 + 32 + ... + (n − 1)2 ]
(n − 1)n
(n − 1)n(2 n − 1)
+ d2 .
2
6
Áp dụng kết quả này ta có thể tính các tổng sau nhanh chóng:

13 + 23 + 33 + 43 = 100 = (1 + 2 + 3 + 4)2
........................................................
2

1 + 2 + 3 + ... + n
3

3

3

Sáng kiến kinh nghiệm

3

 n(n + 1) 
= (1 + 2 + 3 + ... + n) = 
÷
 2 
2

9


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

Qua việc khảo sát 3 bài tốn trên, một nhu cầu tất yếu đặt ra là có thể tính được tổng
trong trường hợp tổng qt hay khơng ? Ta hãy xuất phát từ bài tốn sau đây :

n(n + 1)(n + 2)
3

Nhận xét :
Đặt :
S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n +1)
S1(n) = 1 + 2 + 3 + ............... + n
Ta có thể liên hệ nó với bài tốn 1bằng cách nhân S1(n) với 2, thu được:
2. S1(n) = 1.2 + 2.2 + 3.2 + ............... + n.2
Do đó:
S2(n) – 2.S1(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n – 1)
Vế phải của đẳng thức này chính là : S2(n) – n(n+1)
Vì vậy : S2(n) – 2.S1(n) = S2(n) – n(n+1)
n(n + 1)
2
Nhận xét: Trong cách làm trên mặc dù ta chưa tính được S2(n) nhưng lại tính được
tổng S1(n). Điều quan trọng là nó gợi cho ta ý nghĩ rằng muốn tính S 2(n) lại phải liên hệ
với một tổng tương tự khác nữa.
Xét tổng S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ….. + n(n +1)(n +2)
Nhân S2(n) với 3, ta có:
Suy ra : S1 (n) =

Sáng kiến kinh nghiệm

10


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1)
= (12 + 22 + 33 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n)
=

T2(n)

+

Suy ra : T2 (n) = S2 (n)  −  S1 (n) =

S1(n)
n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)
−
3
2

n(n + 1)(2n + 1)
6
3
3
3
Tương tự để tính T3(n) =1 + 2 + 3 + .......... + n3 , ta xét S2(n) với chú ý rằng:
(n – 1)n(n + 1) = n3 – n, Ta thấy:
S3(n – 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n – 1)n(n +1)
= (13 + 23 + 33 + .......... + n3) – ( 1 + 2 + 3 + ............... + n )
Hay : 12 + 22 + 33 + ... + n 2 =

Suy ra: T3 (n) = S3 (n − 1) +   S1 (n) =
Sáng kiến kinh nghiệm


4

=

Bài tốn 9: Tính tổng sau:

–

n(n + 1)(n + 2)
3

=

n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)
12

F(n) = 12.2 + 2 2.3 + 3 2.4 + ... + n 2 (n + 1)

Ta có: F(n) = 1.1.2 + (1+1).2.3 + (1+2).3.4 +…+ [1+(n – 1)].n.(n+1)
= [1.2 + 2.3 + 3.4 +…. + n.(n+1) ] + [ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ (n – 1).n(n+1)]
n(n + 1)(n + 2)
3

=

+

(n − 1) n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)(3n + 1)
=

1
1
1
= −
n.(n + 1) n n + 1
Vậy: B(n) =

1
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
= 1−
=
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n +1 n +1

Có thể mở rộng dần bài tốn như sau :
Bài tốn 11: Tính tổng sau : C(n) =

1
1
1
1
+

1
1 1
1 
= 
−
÷
3.4.5 2  3.4 4.5 
..................................................................
..................................................................

1
1 1
1
= 
−
÷
n(n + 1)(n + 2) 2  n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 
C(n) =


1
1
1
1
11
1
n(n + 3)
+
+
+ ... +

÷
2.3.4.5 3  2.3.4 3.4.5 
1
1 1
1 
= 
−
÷
3.4.5.6 3  3.4.5 4.5.6 
..................................................................
..................................................................

1
1
1
1
= 
−
÷
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3  n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 
D(n) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6


Năm học: 2013-2014

1 1 1
= 1 − ÷
1.3 2  3 
1
11 1
=  − ÷
3.5 2  3 5 
1
11 1
=  − ÷
5.7 2  5 7 
...................................
...................................
1
1 1
1 
= 
−
÷
(2n − 1)(2 n + 1) 2  2n − 1 2n + 1 
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được kết quả:
L(n) =

1
1
1
1

5.9
45 9
1
11 1 
=  − ÷
9.13 4  9 13 
.......................................
.......................................
1
1 1
1 
= 
−
÷
(4n − 3)(4n + 1) 4  4n − 3 4n + 1 
Cộng vế theo các đẳng thức trên ta được:
M(n) =

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1) 4n + 1


+
+ ... +
=
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a n a n +1 a n +1
Cũng có thể chứng minh kết quả này theo Phương pháp quy nạp:
1
1
1
=
=
Với n = 1 ta có: Q(n) =
(đúng)
a1a 2 1.a 2 a 2
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, (k > 1) tức là:
1
1
1
1
k
Q(n) =
+
+
+ ... +
=
(đúng)
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a k a k +1 a k +1
Ta có: Q(n) =


Thay ka k + 2 + 1 = a k +1 (k + 1) vào (1) ta được:
Q(n) =

1
1
1
1
1
ka + 1 k + 1
+
+
+ ... +
+
= k+2
=
a1a 2 a 2a 3 a 3a 4
a k a k +1 a k +1a k + 2 a k +1a k + 2
a k+2

Hay mệnh đề đúng n = k + 1
Vậy theo quy nạp ta có: Q(n) =

1
1
1
1
n
+
+
+ ... +

– Học sinh dần dần hình thành những kỹ năng dự đốn và suy luận có lý, dự đốn
thơng qua quan sát, so sánh, khái qt, quy nạp và phương pháp học tập mới khoa học, hiệu
quả. Tự mình có thể chính lĩnh một kiến khác khoa học ở nhiều khía cạnh khác nhau và phát
triển kiến thức đó thành những vấn đề mới.
b. Đối với giáo viên
– Với đề tài này giúp cho giáo viên phần nào đổi mới phương pháp dạy học tốn, có
nhiều ý tưởng sáng tạo hơn trong việc khai thác và phát triển một vấn đề tốn học khi dạy
học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
– Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài này tơi nhận thấy bước đầu có những kết quả
khả quan. Tơi đã nhận thức được cần phải đổi mới hơn nữa trong việc dạy học và bồi dưỡng
mơn tốn, cần phải phát huy hơn nữa tính tích cực và chủ động sáng tạo của học sinh.
– Qua việc nghiên cứu đề tài đã góp phần nâng cao trình độ chun mơn và hiệu quả
trong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn tốn ở trường THCS.

Sáng kiến kinh nghiệm

16


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

C. KẾT LUẬN
1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp
– Trong đề tài này tơi đã chọn lọc một số bài tốn số học điển hình với nhiều cách
giải, nhiều hướng phát triển và mở rộng với mục đích giúp cho các em học sinh tiếp cận một
bài tốn, một vấn đề tốn học khơng chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải mà phải biết
khai thác, mở rộng và phát triển nó theo những khía cạnh khác nhau, tạo nên những kết quả
mới hay hơn, đẹp hơn. Các khả năng này khơng phải tự nhiên xuất hiện, mà phải trải qua



Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

– Việc rèn luyện cho học sinh những kỹ năng dự đốn và suy luận logic, khoa học, dự
đốn, quan sát, so sánh, khái qt, quy nạp và phương pháp học tập mới khoa học cần phải
được áp thường xun với tất cả các đối tượng học sinh và trong tất cả các tiết học để đạt
hiệu quả giáo dục ngày càng tốt hơn.
Trong q trình nghiên cứu đề tài này, do thời gian thực hiện ngắn nên tơi khơng
tránh được những sai sót, rất mong được sự góp ý của hội đồng khoa học để đề tài ngày càng
hồn thiện hơn
Tơi xin cảm ơn Thạc sĩ Trần sỹ Hồng – Giảng viên trường Cao Đẳng Bình Định đã
giúp đỡ tơi hồn thành đề tài này.

Giáo viên thực hiện

Trần Đình Hồng

Sáng kiến kinh nghiệm

18


Trường THCS Nhơn Hải

Năm học: 2013-2014

TÀI LIỆU THAM KHẢO


20