GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan


10 PHẢN
XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Phản xạ 1:

Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi

Hƣớng 1 “Ghép bộ cùng tên” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích.



ab
a b
;
cos
2
2
ab
a b
;
sin a  sin b  2sin
cos

Hướng dẫn giải:
1. (D – 2013): sin 3x  cos 2 x  sin x  0
 (sin 3x  sin x)  cos 2 x  0
 2cos 2 x sin x  cos 2 x  0  cos 2 x(2sin x  1)  0...
2. (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x

 (sin 3x  sin x)  (cos3x  cos x)  2 cos 2 x

 2cos 2 x sin x  2cos 2 xcos x  2 cos 2 x
 2 cos 2 x  2(sin x  cos x) 1   0...
3. (B – 2007): 2sin 2 2 x  sin 7 x 1  sin x.
 (sin 7 x  sin x)  2 sin 2 2 x  1  0
 2cos 4 x sin 3x  cos 4 x  0  cos 4 x(2sin 3x 1)  0...
4. (D – 2006): cos3x  cos 2 x  cos x 1  0
 (cos3x  cos x) (1  cos 2 x)  0
 2sin 2 x sin x  2sin 2 x  0  4sin 2 x cos x  2sin 2 x  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0...

5. (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
 (cos 3x  cos x)  4(1  cos 2 x)  2cos x  0
 2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0

 2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0  4cos 2 x(cos x  2)  0...

6. (B – 2002) sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x 

1  cos 6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x



2



Cách đổi tên hàm: sin u  cos   u  ; cos u  sin   u  ; tan u  cot   u  ; cot u  tan   u  .
2

2

2

2


Giải các phương trình sau:
1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1
3.

2.

3 sin 6 x  2sin 5x  1  2cos 2 3x .



3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  4sin 2  x  
4

Hướng dẫn giải:



1. (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  1  sin 5x  1  cos 2 x  1  cos 2 x   sin 5 x  sin   2 x   sin(5 x)...

 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2 1  cos  2 x   
2 


 3 cos 4 x  4sin 2 x sin 2 x  2(1  sin 2 x)

 3 cos 4 x  2sin 2 x(1  2sin 2 x)  2

 3 cos 4 x  2sin 2 x cos 2 x  2 

3 cos 4 x  sin 4 x  2

3
1

 k

cos 4 x  sin 4 x  1  cos  4 x    1  x   
.
2
2
3
12 2

Hƣớng 3
Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc “sử dụng công thức cộng hoặc tạo tích thành tổng” hoặc “đánh giá”.


Giải các phương trình sau:
1. cos 4 x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin 4 x 1)

3
2

2




 


2sin  2 x    2 (*) sin  2 x    1
Do 
  
3
3  ...

sin 7 x  3  2
sin 7 x  1



CHÚ Ý: Chương trình học chính khóa không có cthức sin 3x  3sin x  4sin 3 x ; cos3x  4cos3 x  3cos x vì vậy
nếu xuất hiện trong đề thi thì “ý đồ” của người ra đề không phải sử dụng chúng (nếu các bạn dùng thì phải chứng
minh) nghĩa là các bạn nên đi theo 3 hướng tư duy trên.

Phản xạ 2: Khi xuất hiện

3 thƣờng chuyển về dạng a sin x  b cos x  c hoặc dạng mở rộng .



Chú ý 1:
 Điều kiện phương trình có nghiệm là a 2  b2  c2
 Ta có thể đưa phương trình về dạng công thức nghiệm với cos .
 Thường

a 2  b2  2 (để số liệu bài toán “đẹp”).

Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, chúng ta có thể gặp 3 dạng mở rộng sau


a sin u  b cos u  a 2  b2 sin v



a sin u  b cos u  a 2  b2 cos v



a sin u  b cos u  a 'sin v  b 'cos v

Cách giải cũng tương tự, khi ta chia cả hai vế phương trình cho

a 2  b2 .

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng







10. 2sin 3x sin x  3 cos x  1  2cos 2 x  0

3 sin x  cos x(4sin x  1)  0

Hướng dẫn giải:
1. (A,A1 – 2012). 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1
 2 3 sin x cos x  2cos 2 x 1  2cos x 1
cos x  0
...
 2cos x( 3 sin x  cos x  1)  0  
 3 sin x  cos x  1

2. (B – 2012): 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1
 2cos2 x  1  2 3 sin x cos x  cos x  3 sin x
 cos 2 x  3 sin 2 x  cos x  3 sin x



1
3
1
3


 cos 2 x 

 cos x  3 sin x  3 cos 2 x  sin 2 x



1
3
3
1


 cos x 
sin x 
cos 2 x  sin 2 x  cos  x    cos  2 x   …
3
6
2
2
2
2


4. (B – 2009): sin x  cos x sin 2 x  3 cos3x  2(cos 4 x  sin 3 x)
 sin x (1 2sin2 x )  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x

 sin x cos 2x  cos x sin 2x  3 cos 3x  2cos 4x

1
3




2

x
x
x
x
x
x

6. (D – 2007):  sin  cos   3 cos x  2  sin 2  cos 2  2sin cos  3 cos x  2
2
2
2
2
2
2

1
3
1



cos x   sin  x    sin …
 1  sin x  3 cos x  2  sin x  3 cos x  1  sin x 
2
2
2
3

1
3
1

2

 cos 4 x 
sin 4 x 
 cos  4 x    cos
…
2
2
2
3
3

9.

3 sin x  cos x(4sin x  1)  0  3 sin x  cos x  2sin 2 x




3
1



sin x  cos x  sin 2 x  sin x cos  cos x sin  sin 2 x  sin  x    sin 2 x...
6

...
 sin x  3 cos x 2sin 3x  sin x  3 cos x  0  
sin x  3 cos x  2sin 3x







Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích thành tích.
( 2sin 2 x  sin x  1  (sin x  1)(2sin x  1) ; cos3 x  3cos2 x  4cos x  2  (cos x  1)(cos2 x  2cos x  2)…)
( hoặc nhẩm nghiệm hoặc các em dùng máy tính để trợ giúp và có thể sử dụng thêm lược đồ Horner – nếu phương
trình từ dạng bậc 3 trở lên trong đó có ít nhất một nghiệm “đẹp” để tạo tích).
Giải các phương trình sau:
1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0
3. (2sin x  1)(cos x  1)  cos 2 x  2cos x  7sin x  5

2. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
4. 2cos3 x  3cos 2 x  2sin 2 x  4cos x  4sin x  5

5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
Hướng dẫn giải:
1.(D – 2010): sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0
 sin 2 x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng


Giải (1)  x    k2 . Giải (2)  cos 2 x 2 2 sin  x   4 . Ta có:
4




cos 2 x  2 2 sin  x    1  2 2  4 , suy ra (2) vô nghiệm.
4

Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 (k ) .
5. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11 .

3
Ta có: sin 6 x  cos6 x  (sin 2 x  cos2 x)3  3sin 2 x cos2 x(sin 2 x  cos2 x)  1  sin 2 2 x
4
Khi đó phương trình tương đương:
 3

8 1  sin 2 2 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4

 ( 3 sin 4 x  3 cos 2 x)  (2sin 2 3x  3sin 2 x  1)  0

 3 cos 2 x(2sin 2 x 1)  (2sin 2 x 1)(sin 2 x 1)  0  (2sin 2 x  1)( 3 cos 2 x  sin 2 x  1)  0...

CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 còn có một cách tiếp cận khác. Các em xem tiếp ở các phản xạ sau !

Phản xạ 4:


5

1  cos x

6
7

1  2sin x
1  2cos x

Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung
tan x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; sin 3x …
cot x ; sin 2x ; tan 2x ; 1  cos 2x ; cos3x …





cos 2x ; 1  tan x ; 1  cot x ; 1  tan 2 x ; 1  cot 2 x ; sin3 x  cos3 x ; sin  x   ; cos  x  
4
4


x 
x 
x 
x 
cos2 x ; cot 2 x ; sin 2    ; cos 2    ; tan 2    ; cot 2    ; 2cos x  sin 2 x …
2 4
2 4

1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
5. (A – 2011):
6. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0
1  cot 2 x
sin 2 x  2cos x  sin x  1
7. (D – 2011) :
8. (D – 2010) : sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0.
 0.
tan x  3


9.(A – 2007): (1  sin 2 x) cos x  (1  cos2 x)sin x  1  sin 2 x. 10. (A,A1 – 2013): 1  tan x  2 2 sin  x  
4

11. (B – 2011): sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x. 12. (A,A1 – 2014): sin x  4cos x  2  sin 2 x
Hướng dẫn giải:
1. (D – 2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin 2x  sin x
 (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x(2 cos x 1)  (2cos x 1)(sin x  cos x)  0...
2. (B – 2004): 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x.
Điều kiện: cos x  0  x 


2

 n (n )

sin 2 x
Khi đó phương trình đương đương: 5sin x  2  3(1  sin x).
(1  sin x)(1  sin x)

 cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...
sin x
x
x 
4. (D – 2003): sin 2    tan 2 x  cos 2  0.
2
2 4

Điều kiện: cos x  0  x   n (n )
2



1  cos  x  
2
2  sin x 1  cos x

Khi đó phương trình tương đương:
.

0
2
cos 2 x
2
1  sin x (1  cos x)(1  cos x) 1  cos x

.

0
2

7. (D – 2011) :

sin 2 x  2cos x  sin x  1
 0.
tan x  3


cos x  0
Điều kiện: 
(*)

 tan x   3
Khi đó phương trình tương đương: sin 2 x  2cos x  (sin x  1)  0
 2cos x(sin x  1)  (sin x  1)  0  (sin x  1)(2cos x 1)  0...

8. (D – 2010) : sin 2 x  cos2 x 3sin x cos x 1 0.
sin 2 x  cos x  cos x(2sin x  1)
Ta có 
2
 cos 2 x  3sin x  1  2sin x  3sin x  2  (2sin x  1)(sin x  2)
Khi đó phương trình tương đương:
cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  2)  0
 (2sin x  1)(sin x  cos x  2)  0...
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
2
2


Phản xạ 5: Khi phƣơng trình có mặt

cos 2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi:

cos2x = cos2 x  sin 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) : Nếu có yếu tố sin x  cos x
= 2cos2 x 1: Nếu việc tạo ra “ –1” giúp ta khử số tự do.
= 1 2sin 2 x : Nếu việc tạo ra “ +1” giúp ta khử số tự do.
= cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 2cos3 x  cos x ; sin x  2sin3 x ; sin 2x cos x  sin x ; cos x  sin x sin 2x
Giải các phương trình sau:
1. (ĐHY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x
2. (A,A1 – 2012) : 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1
3. (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x  1  0
4. (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  2 cos 2x  sin x  0
5. 2cos3 x  3 sin x cos 2x  4sin 2 x  cos x 2

6. (A – 2003): cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x.
1  t anx
2

Hướng dẫn giải:
1. (ĐHY – 2000). sin3 x  cos3 x  cos 2x
 (sin x  cos x) (1  sin x cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x)




 sin 2 x  sin 2 x.
1  tan x
2

sin 2 x  0
Điều kiện: 
, khi đó phương trình tương đương:
 tan x  1
cos x
(cos x  sin x)(cos x  sin x)
1 
 sin 2 x  sin x cos x
sin x
sin x
1
cos x
cos x  sin x

 cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin 2 x)  0...
sin x

Phản xạ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và

gặp phƣơng trình

chứa sin 2 x; cos2 x; 1  sin 2x ; cos 2x hãy nghĩ tới các dạng tích của chúng :
+) sin 2 x  (1  cos x)(1  cos x)
+) cos2 x  (1  sin x)(1  sin x) ; 1  sin 2 x  (sin x  cos x)2
+) cos 2 x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)
( Xem thêm Phản xạ 3 )

 (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2   0
 (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  0 …

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan



2. sin 2 x  4 cos 2 x  3  4 2 sin  x  
4

1  cos 2 x


 sin 2x  4.
 3  4 2 sin x  
2
4

 2 cos 2x  (1  sin 2x )  4



2 sin  x  

4



Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x  b cos 2x  c sin x  d cos x  e  0 ta nghĩ tới việc biến đổi
phƣơng trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:
I. Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6)
II. Đưa phương trình về dạng: A sin 2 x  B sin x  C  0 hoặc A cos2 x  B cos x  C  0 ( A, B, C có thể chứa hàm
lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên)

Giải các phương trình sau:

1.(D – 2010) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2. 8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
3. (B – 2005): 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
Hướng dẫn giải:
1.(D – 2010) sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  1 0
 2sin x cos x  (1  2sin 2 x)  3sin x  cos x 1  0

 2 sin 2 x (2cos x  3) sin x  cos x  2  0
sin x  (2cos x  3)2  8(cos x  2)  (2cos x  5)2
Suy ra: sin x 

(2cos x  3)  2cos x  5 1
(2cos x  3)  2cos x  5
 hoặc sin x 
  cos x  2
4
2
4


8  sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11

 3

 8 1  sin 2 2 x   6 3 sin 2 x cos 2 x  3 3 cos 2 x  9sin 2 x  11
 4


 2 sin 2 2x (2 3 cos 2 x  3) sin 2x  3 cos 2 x  1  0
sin 2 x  (2 3 cos 2 x  3)2  8( 3 cos 2 x  1)  (2 3 cos 2 x  1)2
sin 2 x 

2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1
2 3 cos 2 x  3  2 3 cos 2 x  1 1
 3 cos 2 x  1 (1) hoặc sin 2 x 

4
4
2

Giải (1) 

(2)

3
1
1

2


(1) hoặc cos x 
4
2
4
2
2
Giải (1)  cos x  cos
x
 k 2
3
3



Giải (2)  sin x  cos x  0  sin  x    0  x    k
4
4

Suy ra: cos x 

 2


Vậy phương trình có nghiệm x  
 k 2 ;   k k    .
4
 3

4. 9sin x  6cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8



facebook.com/ThayTungToan

k
k k
; ; k với k  Z ) thì khử nó bằng cách
( gồm cả
4
3 2
“dùng bảng công thức chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc” .

Phản xạ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k6

;

Giải các phương trình sau:
1
1
 7


 4sin 
 x .
1. (A – 2008):
3 
sin x

 4

sin  x 


sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x

 

tan   x  tan   x 
4
 4


Hướng dẫn giải:

 7

 4sin 
 x .
3 

 4

sin  x 

2 



3 



4
4
2



 4

sin x  0
 n
Khi đó ta có điều kiện: 
(n ) .
 sin 2 x  0  x  
2 2
cos x  0
Phương trình được viết lại:
1
1
sin x  cos x

 2 2(sin x  cos x) 
 2 2(sin x  cos x )
sin x cos x
sin x cos x
 sin x  cos x   2 sin 2 x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2 sin 2 x)  0

3
7
và
như trong bài trên các bạn có thể khử bằng việc sử dụng công thức tổng:

2
2
 4


Chú ý: Ngoài cách khử lượng

 
 3
1 

 3

2. cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0.  1  2sin 2 x cos2 x  sin  4 x    sin 2 x    0
4 
4 2
2 
2

 2
Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
2
2
 2  sin 2x  cos 4 x  sin 2 x 3  0   sin 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x 1  0
 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0  sin 2 x  1 hoặc sin 2 x  2 (vô nghiệm)  x 


2
2
(1  sin x)(1  sin x)
2
2
cos x
2
 1  cos x 
 (1  cos x) 
 1  0  (1  cos x)(sin x  cos x)  0...
 1  sin x 

4. (ĐHXD – 1997):

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x



 

tan   x  tan   x 
4
 4








4

2  4

1


 


sin   x  sin   x    cos  cos 2 x 
2
4
 4
  2
  cos 2 x  1
Cách 3:
1





 cos 2 x
cos   x  cos   x 
 cos  cos 2 x 
2
2
4

5. 2sin  2 x    4sin x  1  0  2 sin 2 x cos  cos 2 x sin   4sin x  1  0
6
6
6


 3 sin 2 x  cos 2 x  4sin x  1  0  2 3 sin x cos x  4sin x  2sin 2 x  0  2sin x





3 cos x  sin x  2  0...

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !


GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ThayTungToan
2


 

1  cos  2 x   
2
2

2


2
2
2

...
 1  cos 2 x   1  sin 2 x   1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x   
4 2


Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện nếu phƣơng trình chứa ẩn
dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện. Vì vậy ta cần nắm đƣợc
phƣơng pháp loại nghiệm để giải quyết tốt 2 dạng toán sau
 Dạng 1: Phương trình chứa ẩn dưới mẫu
Phương pháp giải:
2l
(l , m) .
m
2k
 Bước 2: Giải phương trình được nghiệm x   
(k , n ) .
n
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện bằng 2 cách sau:
+) Cách 1 (Phương pháp hình học):
2l
Biểu diễn x   
trên đường tròn đơn vị gồm m điểm
m


m
(m) (1)
2
sin 2 x  cos 2 x
1
cos 2 x
1  cos 2 x



Khi đó phương trình tương đương: 1 
sin 2 x (1  cos 2 x)(1  cos 2 x)
sin 2 x
1  cos 2 x
 sin 2 x  cos 2 x  (sin 2 x  cos 2 x)cos 2 x  sin 2 x
Điều kiện: sin 2 x  0  x 

cos 2 x  0
cos 2 x  0
 cos 2 x(sin 2 x  cos 2 x  1)  0  
 
  1
sin 2 x  cos 2 x  1 sin  2 x   
4
2
 

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !



5


2
2 x  
 x   k
 k 2


4
4
2


x≠

mπ
2

=

m2π
4

π kπ π k2π
x= +
= +
;
4

2k
(k , n ) .
n

2k 
2k
k ,n
 D 

(k0 , n0 )  nghiệm x0    0 .
n
n0
l
(l , m)
+) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị nếu các đầu mút của D có dạng
m

+) Cách 1 (Chặn điều kiện): x  D   

Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
Giải:
Phương trình tương đương: cos3x  cos x  4(2cos 2 x 1)  2cos x  4  0

 2cos 2 x cos x  8cos2 x  2cos x  0  2cos x(cos 2 x  4cos x  1)  0  2cos x(2cos2 x  4cos x)  0
 4cos2 x(cos x  2)  0  cos x  0 hoặc cos x  2 (loại)  x 


2

 k ( k  )


Giải:
1

7
Điều kiện: sin 2 x    x    m và x 
 l (m, l )
2
12
12
Khi đó phương trình tương đương:

5sin x.(1  2sin 2 x)  cos3x  sin 3x  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5(sin x  cos x  cos 3x  cos3x  sin 3x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5(2sin 2 x cos x  cos x)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
 5cos x(2sin 2 x  1)  (1  2sin 2 x)(cos 2 x  3)
1
 5cos x  cos 2 x  3 (vì sin 2 x   )  2cos2 x  5cos x  2  0
2
1

 cos x  2 (loại) hoặc cos x   x    k 2 (k )
2
3
Cách 1



1
5

2π

0
5π
3

Vì x  (0;2 ) nên ta được x 


3

và x 

5
3

Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi
Đại Học – Cao Đẳng “Hãy

ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên”

(chi tiết xem lại các phản xạ trước)

Phản xạ 1: Khi gặp các góc lớn (từ 3x trở lên) thì thƣờng có 3 hƣớng đi……………………
Phản xạ 2: Khi xuất hiện 3 thƣờng chuyển về dạng a sin x  b cos x  c
hoặc dạng mở rộng của nó ……………………………………………………….....

Phản xạ 3: Khi nhóm đƣợc các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc
phân tích nó thành tích………………………………………………………………


Phản xạ 9: Nhớ cho điều kiện khi phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu…………………………...
Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi
Đại Học – Cao Đẳng “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” ……………

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM !

GV: Nguyễn Thanh Tùng

Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !