LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, bằng trái tim chân thành nhất với lòng biết ơn sâu sắc, em xin
được cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan – người đã hướng dẫn và chỉ bảo
tận tình cho em trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp một cách tốt nhất.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lý
– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu trong suốt thời gian em học tại trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên đã luôn động viên,
khích lệ, giúp em hoàn thành khóa luận đúng thời hạn
Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Út Trang

Đặng Thị Út Trang
Lý

Lớp K35D – Vật


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài: “Sự gần đúng của SU(3)
trong nghiên cứu hạt cơ bản” là trung thực và không trùng lặp với các đề tài
khác.
Xuân Hòa, ngày tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đặng Thị Út Trang

Đặng Thị Út Trang
Lý



Lớp K35D – Vật


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hạt cơ bản là những thực thể vi mô tồn tại như 1 hạt nguyên vẹn, đồng nhất,
không thể tách thành các phần nhỏ hơn; ví dụ như các hạt proton, e, positron,…
Đó chính là thành phần cấu tạo nên thế giới vật chất vô cùng phong phú của
chúng ta.
Hạt cơ bản có thể tìm hiểu thông qua các tương tác mà chúng tham gia; đó là:
-Tương tác mạnh
-Tương tác yếu
-Tương tác điện từ
-Tương tác hấp dẫn
Hằng số tương tác ở mỗi loại tương tác rất khác nhau. Chính sự khác nhau này
đòi hỏi phải có hướng tiếp cận, nghiên cứu hạt cơ bản cho phù hợp. Đối với
tương tác mạnh thì hằng số tương tác lớn nên khi nghiên cứu người ta không áp
dụng lý thuyết nhiễu loạn mà sử dụng phương pháp có hiệu quả cao hơn –
phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng. Phương pháp này đã cho kết quả chính
xác về các số lượng tử như siêu tích, bảo toàn điện tích, số lepton, số barion,…
nhưng lại không chính xác khi xét tới khối lượng các hạt, đối xứng SU(3) bị vi
phạm.
Để hiểu rõ hơn sự vi phạm đối xứng SU(3) và cũng để nâng cao trình độ hiểu
biết tôi đã quyết định chọn đề tài: “Sự gần đúng của SU(3) trong nghiên cứu hạt
cơ bản” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sự gần đúng của SU(3) trong nghiên cứu hạt cơ bản.
3. Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) để nghiên cứu các hạt cơ bản.

g.g+ = g+.g = I

Det g = 1
• Nhóm đối xứng SU(n) phụ thuộc vào bao nhiêu tham số thực?

(

Ký hiệu mỗi phần tử của nhóm đối xứng SU(n) là U ξ1,ξ 2 ,...,ξ m

)

với

ξ ,ξ ,...,ξ m là các tham số thực.
1 2

)

(

iξi χi
U ξ ,ξ ,...,ξ m = e
1 2

(

(i = 1, m)

)


)

U .U + = I + iξi χi + ... I − iξi χi+ + ... = I − iξi χi+ + iξi χi + ξi2 χi χi+ + ...
Ta chỉ xét đến gần đúng bậc một

Đặng Thị Út Trang

3

Lớp K35D – Vật Lý


(

)

⇒ U .U + = I + iξi χi − χ i+ = I
⇒ χ i = χ i+

(1)

)

(

Mặt khác : Det U ξ1,ξ 2 ,...,ξ m = 1
Ta có : Det A = e sp ln A
Spur (sp) là vết của ma trận, là tổng các phần tử trên đường chéo chính .
Mà :


+
Từ điều kiện (1) : χ i = χ i ta thấy có n2 phương trình ràng buộc. Ngoài ra, điều
kiện (2): spχi = 0 cho ta một phương trình ràng buộc .
Như vậy trong 2n2 tham số chỉ có (n2 + 1) tham số thực độc lập.
Do đó nhóm SU(n) phụ thuộc vào (n2 + 1) tham số thực độc lập.
Vậy có thể viết :
g(w)= exp{iωa χ a }

( a = 1, m )

Trong đó ωa (a = 1, m) là các tham số thực, χ a (a = 1, m) là các ma trận n × n phải
thỏa mãn :

χa = χa+
spχ a = 0

Đặng Thị Út Trang

4

Lớp K35D – Vật Lý


1.2. Nhóm biến đổi SU(n)

(

)

Giả sử có p hạt được mô tả bởi các hàm trường ψ i i = 1, p biến đổi như sau dưới

5

Lớp K35D – Vật Lý


CHƯƠNG 2: ĐỐI XỨNG SU(3)
2.1. Định nghĩa đối xứng SU(3)
Tập hợp tất cả các ma trận 3 × 3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãn
tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kỳ 1 phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng:
∀g ∈ SU (3) :
g .g + = I

(2.1)

det g = 1

(2.2)

λ
iωa a
2
g =e

Nếu ωa là vô cùng bé thì

( a = 1,8 )

Các ma trận λa phải thỏa mãn điều kiện :
λa+ = λa

λa+
+
g = I − iω a
2
λa 
λa+ 
λa+
λ
λ

+
 I − iω a
g.g =  I + iωa
= I − iω a
+ iωa a + ωa2 a

2 
2 
2
2
2


Đặng Thị Út Trang

6

λa+
2


Vì det g = 1

iωa λa
2
sp ln e

=e



λ  

sp ln  I +iωa a  

2  





λ
iωa sp a
2
=e

λ
λ
iωasp a
⇒ sp a = 0 ⇒ spλa = 0
2 =1

0

0

0

λ = 0
4

0
0

0
;

λ =
2

0

0
1

0 ; λ5 = 0

Đặng Thị Út Trang

i

-i

0

0

0
0

0

0
0

1

Lớp K35D – Vật Lý


1

0

0

i

0

0

0

-2

0

0

0

1

0

Các ma trận λa phải thỏa mãn điều kiện giao hoán :
λ λ 
λc
 a , b  = if
abc 2
 2 2 

(a, b, c = 1,8)

(2.5)

 λ λ 
λc 1
a , b=d
+ δ

abc
2


 Hằng số cấu trúc nhóm f abc , d abc và cách xác định.

)

(

Dùng tính chất : sp λa λb = 2δ ab ta tính được f abc , d abc .
Công thức tổng quát :

] )
1
d
= sp({λa , λ }λc )
abc 4
b
f

abc

=

Đặng Thị Út Trang

([

−i
sp λa , λ λc
b
4



⇔



1   λa λb   i
sp
,
λc  = f
3
2
2

 2 abc


2




([

] )



i
⇔ − sp λa , λ λc = f

Tương tự, ta tính d abc . Nhân (2.6) với c rồi sp lên ta có :
2
 λ λ  λ
λ λ 1
λ
a ; b . c = d
. c. c + δ . c

abc 2 2 2 ab 2
 2 2  2
 λ λ  λ 
λ λ 
λ 

1
sp  a ; b . c  = sp d
. c . c  + sp δ . c 
 2 2  2 
 abc 2 2 
 2 ab 2 






 λ λ  λ 
λ
λ λ  1
sp  a ; b . c  = d

({

} )

1
= sp λa , λ λc
abc 4
b

Tính toán cuối cùng ta được các giá trị cụ thể :
1
d
=d
=d
= −d
=
118
228
338
888
3
1
d
=d
=d
=d
=−
448
558
668

= sp ([λ , λ ]λ )
123 4
1 2 3
abc

−i
sp λa , λ λc
b
4

=

Với

λ =
1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

[λ1, λ2 ] = λ1λ2 − λ2λ1

=

0

1

0

0

-i


0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

i

0

Đặng Thị Út Trang

0



i

0 = 0

0

0

0

0

0

0

-2i

0

0

0

0

] )

⇒ sp λ , λ λ = 2i + 2i = 4i


0

0

0

; λ4 =

0

0

1

0

0

0

0

0

0

; λ7 = 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0


0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 - 0

0

0

= 0

0

1


11

0

0

0

0

0

0

0

Lớp K35D – Vật Lý


([λ1, λ4 ]λ7 ) =

([

0

0

1

0


; λ3 = 0

-1

0

0

0

0

0

i

0

0

i

] )

⇒ sp λ , λ λ = i + i = 2i
1 4 7
i
1
⇒f

0

0
0

{λ1, λ2 } = 1
0

0
0

; λ2 = i

0
1

0
0

0

0

0

-i

0

0


0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Đặng Thị Út Trang

12

0

Lớp K35D – Vật Lý



=0
123
Ví dụ 4 : Tính d888

} )

({

1

Ta có : d888 = sp λ8 , λ8 λ8
4

{λ8, λ8 } = 2λ8λ8 = 2. 13

0

1

0

0

1

0

0

0

0
3

1

0 =

0

0

-2

0

({

0

4

1

0

0

0 =

1


0

1

0

0

0

-8

} )

2
(1 + 1 − 8) = 2 ( − 6) = − 4
sp λ , λ λ =
8 8 8 3 3
3 3
3
1 −4
1
⇒d
= .  = −
888 4  3 
3
2.2. Nhóm biến đổi SU(3)
Đó là nhóm các toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số:
iω M

ψ ( x) 

Trong đó τ a là các ma trận n × n

[τ a ,τ b ] = if abcτ c

(2.9)

i

thỏa mãn hệ thức giao hoán :

(a, b, c = 1,8)
τ a+ = τ a
spτ a = 0

Khi đó ta nói n hạt này lập thành 1 đa tuyến n chiều của SU(3).
Hay nói ψ i

(i = 1, n) là các hàm trường mô tả trạng thái của n hạt lập thành 1 đa

tuyến n chiều của SU(3).
Khi ωa vô cùng bé, khai triển Furier và lấy đến số hạng gần đúng bậc 1 ta được:
U (ω ) = exp{iωa M a } = I + iωa M a
U −1(ω ) = exp{− iωa M a } = I − iωa M a+
exp{− iωaτ a } = I − iωaτ a
Thế vào biểu thức (2.9) ta được:
U (ω ).ψ i .U −1(ω ) = ( exp{− iωaτ a }ψ ( x) ) i
⇒ ( I + iωa M a )ψ i I − iωa M a+ = ψ i − iωaτ a


⇒ M a ,ψ i = −τ aψ i

[
]
⇒ [M a ,ψ i ] = −(τ a ,ψ ) i
⇒ [M a ,ψ i ] = −(τ a ) ijψ i
⇒ [M a ,ψ i+ ] = ψ + j (τ a ) ij
 Lưu ý:

a) Các vi tử M1; M 2 ; M 3 liên hệ với nhau bởi hệ thức:
 M , M  = iε M
 i
j 
ijk k


= ε 
 i, j , k = 1,2,3; f
ijk
ijk 


M ; M ; M là các vi tử của nhóm đối xứng SU(3), vì thế M ; M ; M được
1 2 3
1 2 3
đồng nhất với toán tử spin đồng vị.
b) M 8 giao hoán với M1; M 2 ; M 3 (thấy được từ giá trị của hằng số cấu trúc nhóm)
, từ đó cho phép ta đồng nhất M 8 với siêu tích Υ . ( Trong 1 đa tuyến SU(3) thì
giá trị siêu tích không đổi ⇔ toán tử siêu tích giao hoán với toán tử spin đồng
vị).

2
cơ sở của nhóm SU(3). Đó chính là 3 hạt quark: u; d ; s
 M ,ψ +  = ψ +
 a i 

j  λa 
 2 



i
j

Hàm trường qu = q1; qd = q2 ; qs = q3 biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm
biến đổi SU(3):

λ
(τ a = a )
2

qi → qi′ = U .qi .U −1 = ( exp{− iωaτ a }.q ) i

[

]

λ
M a ; qi =  a
 2



]

1

1

1

λ 
λ 
λ 
= q +1 3  + q + 2  3  + q + 3  3 
 2 1
 2 2
 2 3

1
1
1
1
= q + 1 λ  + q + 2  λ  + q + 3  λ  
 3 1
 3 2
 3 3 
2 

1
= q + .1 + q + .0 + q + .0
2

3

Với

1

0

0

λ = 1 0
8
3

1

0

0

0

-2

1
j  λ8 
 2 

j


[

]



=



1  + 1 1 + 2  1
+ 3  λ 1 
q
λ
+
q
λ
+
q






 8 1
 8 2
 8 3 
3 



Lớp K35D – Vật Lý


λ =
3

[

1

0

0

0

-1

0

0

0

0

λ
M , q + = q + j  3
3 2



=q   +q   +q  
 2 1
 2 2
 2 3
1
= q + .0 + q + .(−1) + q + .0
2
3 
2 1
1
= − q+
2 2
1
Hình chiếu spin đồng vị của hạt quark d là − .
2
 Tính siêu tích

[

1

0

0

λ = 1 0
8
3


2
2
2

λ 
λ 
λ  
2

+ 1 8  + q + 2  8  + q + 3  8 
Υ, q + =
q 

 2 
 2  
2
3
 2 1

2

3 



[

]


1
3

 Tính số lạ
Số lạ của hạt quark d là 0
 Số Barion:
1
1
B = Υ −S − L = −0−0 =
3
3
 Điện tích:
Υ
1 1
1
Q=I + =− + =−
3 2
2 6
3
 Hạt quark s
 Tính I 3 :

[

λ 
M , q + = q + j  3 
3 3
 2 

]


2 
2 +
Υ; q + =
M ; q +  =
.q

3
3 8 3
3

Đặng Thị Út Trang

j  λ8 
 2 



3
j

19

Lớp K35D – Vật Lý


3
3
3



 1
 8 2
 8 3 
3 

2 +
1  +
+
+

q1 .0 + q2 .1 + q3 .(−2) = − q3

3
3

=

2
Siêu tích của hạt quark s là −
3
 Tính số lạ
Số lạ của hạt quark s là (-1)
 Số Barion:
1
1
B = Υ − S − L = − − (−1) − 0 =
3
3
 Điện tích:

Q

B

S

1
3
1
3

2
3

1
2
1
3
1
3

0

1
3
s
2
1
−
−

Nếu:

( Fa )bc

[M a ;ψ i+ ] =ψ + j (Fa )ij

là phần tử ma trận ở dòng b cột c .

Từ thực nghiệm, ta thu được đa tuyến sau:
•

8 Barion:

Jp=
p

I

I

3

Υ
S

1
2
1
2
1

0
−1

0
−1

π+
1

π0
1

π−
1

1

0

−1

0
0

0
0

0
0


1
2
1
−
2
−1
−1

η

0
0
−1

• 8 Messon với J p = 0 −
I
I

3

Υ
S

K+
1
2
1
2
1
1