Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC
VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9

Họ và tên : 1) Nguyễn Anh Tuấn
2) Nguyễn Thị Cẩm Linh
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm
Môn đào tạo :
Toán
Krông Ana, tháng 1 năm 2016
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

1


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài :
- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao.
Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát
triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp
cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài

chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy
không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Toán nói
chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác
nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở phần Hình học mới có,
làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo
viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của
học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy
của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự
nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm
chất của con người mới.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

2


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
I.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1,2).
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh khối
9 và ôn luyện thi vào 10, thi vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học.
Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2016.
I.5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường.
Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng.
Thực nghiệm, đối chiếu so sánh.
Nhận xét.
II. PHẦN NỘI DUNG

Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản là không
nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên, mặc
dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra
những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên giáo
viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có
kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ
phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh
giỏi.
d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
*) Học sinh không giải được:
- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh
hoạt.
*) Học sinh giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức
chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều.
Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận
dụng …
Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các
bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng
thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều
khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học
cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền
thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững
đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến
thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó

- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến
thức cơ bản đã học.
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải.
- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác
- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp
cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra.
Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán
có tính tư duy.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra 4 bài toán trong Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1&
tập 2):
Bài 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H
và K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh CH = DK
(Gợi ý kẻ OM ⊥ CD ).
Giải:
AB
Cho (O,

), dây CD không cắt AB
2
GT AH ⊥ CD tại H; BK ⊥ CD tại K
KL

C/m: CH = DK

= 90 0 + BCD
> 90 0
0
·
Mà ACH'
= 90 0 (theo giả sử) ⇒ Tổng các góc trong của ∆ACH lớn hơn 180 là điều vô
lí.
Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm ngoài đường tròn (O).
Chứng minh tương tự đối với điểm K.
* Nhận xét: Từ việc vẽ OM ⊥ CD ta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng
S∆OMH = S∆OMA = S∆OMK = S ∆OMB ⇒ S∆OHK = S∆AMB ⇒ HK.OM = AB.MM’(với MM ' ⊥ AB tại M’)
Bài 1.2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 1 câu b:
Chứng minh S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB .
Vẽ thêm CC ' ⊥ AB, DD ' ⊥ AB ( C ', D ' ∈ AB )
Ta có

CC '+ DD '
= MM ' (MM’ là đường trung bình của hình
2

thang CDD’C’)
⇒ HK.OM = AB.

CC '+ DD ' 1
= AB ( CC '+ DD ' ) = S∆ACB + S ∆ADB
2
2

Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK, nên
AH + KB

AC
BC
) và (I’,
) ⇒ H ∈ ( I ) , K ∈ ( I ')
2
2
·
c) Chứng minh AEB
= 900 ⇒ AE ⊥ BK ⇒ AE // HK ⇒ đpc/m

BKCC’ lần lượt nội tiếp đường tròn (I,

+) Nhận xét : Từ bài toán 1 nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK
có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán
(*) một chút như sau:
Bài 1.4: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường
kính AB tại G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên
CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung
trung điểm.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

7

B


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

2

Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :
Bài 1.8 : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai
điểm H và K sao cho AH = KB. Qua H và K kẻ hai đường thẳng
song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D
cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng HC ⊥ CD ,
KD ⊥ CD .
Bài 1.9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA ở I. Kẻ AE,
BH cùng vuông góc với CD. Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt EB ở
M. Chứng minh:
a) M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH.
b) EC = HD
Hướng dẫn tìm lời giải:
a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường
trung bình của tam giác EHB.
b) Áp dụng định lý về đường kính và dây cung và lưu ý G là trung điểm của EH
(theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh.
Cách giải
D
a) Xét ∆AEB , có:
OM // AE( ⊥ CD) 
 ⇒ OM là đường trung bình của ∆AEB
AO = OB ( gt ) 
⇒ M là trung điểm của EB (đpc/m)
Xét ∆EHB , có:

H
G
I

Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng:
c) AE. IG = IE .OG;
b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh)
Bài toán 2 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB
( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phảng bờ AB). Qua điểm M thuộc
nửa đường tròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo
thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
·
a) COD
= 900
b) CD = AC + BD
c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.
AB
), Ax ⊥ AB tại A;
2
By ⊥ AB tại B; M ∈ ( O ) .
CD ⊥ OM tại M ( C ∈ Ax ; D ∈ By )
Cho (O,
GT

KL

C/mr:

·
a) COD
= 90 0
b) CD = AC + BD
c) AC.BD không đổi

¶ = 90 0 hay COD
·
Mà O
= 90 0 (đpc/m)
1
2
3
4
1
4
2
3
b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM
Mà M ∈ CD ⇒ CD = CM + MD ⇒ CD = CA + BD
Vậy CD = CA + BD (đpc/m)
c) Xét ∆COD vuông tại O (c/mt), có: OM ⊥ CD (gt) ⇒ OM 2 = CM .DM ( đ/l)
Mà CA = CM và DB = DM ⇒ OM 2 = AC.BD mà OM = R (gt)
⇒ AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m)
Từ bài toán trên ta khai thác bài toán như sau:
1) Đối với học sinh trung bình:
Bài 2.1: OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của
đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F.
Bài 2.2: Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ
nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó.
Tìm hiểu đề bài:

y
D

t

Bài ra cho nủa đường tròn tâm O và ba tiếp tuyến theo thứ tự tạ A, B và M bất kì
trên (O). Yêu cầu chứng minh một đẳng thức, bốn điểm thuốc đường tròn và diện tích
nhỏ nhất của một tứ giác tạo thành.
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường
chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật
2) Tứ giác ACDB là hình thang ⇒ S ACDB =

1
( AC + BD ) AB . AB không đổi ⇒
2

chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.
Cách giải:
·
·
·
1) Tứ giác EMFO có OEM
= EMF
= OFM
= 900 ⇒ Tứ giác EMFO là hình chữ nhật.



Mà OM ∩ EF tại P ⇒ OP = OE =OM = OF . Vậy 4 điểm O, E, M, F ∈  P ;

OM
2



Từ (1) và (2) ⇒

KD MD
=
⇒ MK / / AC ( theo định lí
KA MC

K

H

talet đảo)
Vậy MK // AC // BD (đpc/m)
 Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh:
CD.MK = CM.DB.
Chứng minh: Theo chứng minh trên MK //AC ⇒ ∆CKM ∆CBD
CD DB
⇒
⇒ đpc/m.
=
CM

MK

Bài 2.6: Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn
(O).
1) Tìm quỹ tích của N;
2) Tìm quỹ tích của P;
Cách giải như sau:
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

b) Tính số đo OIO
c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.
Giải

GT

KL

Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A
OB ⊥ BC tại B; CO’ ⊥ BC tại C;
B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ')
AI ⊥ OO’ tại A ( I ∈ BC )
OA = 9cm; O’A= 4cm
C/mr:
·
a) BAC
= 900
·
b) Tính OIO
'?
c) Tính BC ?

B
I
C

O'

A


Bài 3.1: Chứng minh rằng: OO’ là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính BC.
Vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.

B
I
C

O

A

O'

D

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

11


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
IA ⊥ OO ' tai A ( t/c ) 
 ⇒ OO’ là tiếp tuyến của đường tròn
IA = IB = IC (t / c ) 

 BC 
 I;
÷tại A. (đpc/m)

O'
A
O
d. Gọi H là giao điểm của OO’ và BC. Tính
độ dài OH, O’H theo R, r.
Lời giải:
·
·
a) Ta có : BAC
= 900 và OIO
' = 900 .Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông, ta có: IA2 = OA. AO’ = R.r ⇒ IA = R.r
B

Mà BC = 2.IA = 2 R.r
2
2
2
2
b) Ta có : OI = IA + OA = R.r + R = R ( R + r )

I
C
R
r

⇒ OI = R ( R + r )

O


AB
BD
BC
4R
2R r
2r R
⇒ AB =
Tương tự AC =
R+r
R+r
2R r
2r R
Vậy các cạnh của ∆ABC là : AB =
; AC =
; BC = 2 R.r .
R+r
R+r
d) Xét ∆HO ' C và ∆HOB có :
·

OHB
chung
B
 ⇒ ∆HO ' C ∆HOB (g.g)
·
·
OBH
= O'CH
= 900 ( gt ) 
C

Sách giáo khoa Toán 9
Bài 3.4: ( Bài toán đảo) Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua
A và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C.
Chứng minh rằng:
a) (O) và (O’) tiếp xúc với nhau.
b) Trung tuyến AI của ∆ABC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.
Giải :
a) Vì các ∆AOB và ∆AO ' C là các tam giác cân.
B
·
· ' AC = O
· ' CA
I
Nên ·AOB = OBA
và O
C
·
· ' CA + ·ACB = 900
Ta có OBA
+ ·ABC = 900 & O
· ' AC + BAO
·
⇒O
= 900

O'

O
· ' AC + CAB
·

D
E
O'
A
d) IA ⊥ OO ' .
Chứng minh:
a) Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
A

1

1·
- Xét (O) có : ·ABC = BOD
( t/c)

2
1·
' E ( t/c)
- Xét (O’) có : ·ACB = CO
2
·
· ' E = 1800 ( vì OB // O’C)
Mà BOD
+ CO
·
Nên ·ABC + ·ACB = 900 ⇒ BAC
= 900 .(đpc/m)
b) Ta có: ·ABC = ·ACO ' ( phụ với ·ACB )
·ACO ' = CEO
·

13


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
⇒ ∆ABI cân tại I
·
(t/c)
⇒ ·ABI = BAI
·
⇒ ·AED + IAC
= 900 ⇒ IA ⊥ OO ' (đpc/m).

+) Nhận xét : Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau, thì ta có bài toán sau:
Bài 3.6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm M,N. Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') , đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và
(O’) tại các điểm D và E. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại A.
Chứng minh rằng:
B
·
a) BAC
= 900 .
C
M
b) Tứ giác BCED nội tiếp.
A
c) AD.AB = AE.AC
E
D O'
O

 ⇒ ∆ABC


∆AED (g.g)

AE AD
=
⇒ AE. AC = AB. AD (đpc/m).
AB AC

Bài toán 4(Bài tập 95/105( SGK hình học 9 tập 2)
Các đường cao hạ từ đỉnh A và B của ∆ABC cắt nhau tại H (C ≠ 900) và cắt
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) CD = CE
;
b) ∆BHD cân
;
c) CD = CH
A

Cho ∆ABC nội tiếp (O)
BN ⊥ AC tại N; AM ⊥ BC tại M
GT AM ∩ ( O ) tại D; BN ∩ ( O ) tại E;
AM ∩ BN tại H

E
N
H

KL

·
Mà ·AHN = BHM
(đđ)

» = DC
» ( các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
·
·
⇒ EC
⇒ DAC
= CBE
⇒ CD = CE ( liên hệ giữa cung và dây) (đpc/m).

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

14


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
» = DC
» (cmt) ⇒ EBC
·
·
b)Ta có EC
( hệ quả góc nội tiếp) ⇒ ∆BHD cân ( Vì có BM
= CBD
vừa là đường cao vừa là đường phân giác) (đpc/m).
c) Vì ∆BHD cân tại B ⇒ BC là đường trung trực của HD.
⇒ CD = CH (t/c) (đpc/m).

= 900 ( gt ) 
CA CM
⇒
=
⇒ CA.CN = CB.CM (đpc/m).
CB CN

Bài 4.2: Các đường cao AM và BN cắt (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng:
a) MN // DE.
A
b) OC ⊥ DE.
E
Chứng minh:
·
·
a) Vì tứ giác ABMN nội tiếp (cmt) ⇒ BAM
N
= BNM
F
Q
¼ )
(cùng chắn BM
H
»
·
·
Mà BAD
(cùng
chắn
)


Bài 4.3: Kẻ đường cao CQ cắt (O) tại F.Chứng minh rằng:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp ∆QMN
b) H là tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF
Chứng minh:
a) - Xét tứ giác AQHN có:
·ANH = ·AQH = 900 ( gt ) ⇒ ·ANH + ·AQH = 1800
Mà ·ANH & ·AQH là hai góc đối nhau của tứ giác.

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

15


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
» )
·
·
Vậy tứ giác AQHN nội tiếp ⇒ BAD
(cùng chắn QH
= QNH
·
·
¼ )
Vì tứ giác CMHN nội tiếp (cmt) ⇒ BCQ
(cùng chắn MH
= MNH
·
·

·
· EF .
hay EH là tia phân giác của D
⇒B
Chứng minh tương tự:
·
- FH là tia phân giác của DFE
·
- DH là tia phân giác của EDF
⇒ H là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DEF (đpc/m).
A
Nhận xét: Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQHN và đường tròn
ngoại tiếp tứ giác CMHN cắt nhau tại 2 điểm H và N. Nếu gọi
I, K lần lượt là trung điểm của AH, CH ⇒ IK là đoạn nối
I
N
F
tâm. Ta có bài toán sau:
Q
H
O
1)
Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường
tròn (O), các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H (
K
( M ∈ BC; N ∈ AC; Q ∈ AB ) và lần lượt cắt đường tròn ngoại B
M
tiếp ∆ABC tại D, E, F. Gọi I là trung điểm của HC. Chứng
D
minh rằng: IK ⊥ NH.

⇒
BC ∩ HT = { P} ( gt ) 
⇒ BH // CT (t/c)
Mà BH ⊥ AC tại N (gt) ⇒ CT ⊥ AC tại C hay ·ACT = 900
Tương tự ·ABT = 900 ⇒ Tứ giác ABTC nội tiếp đường tròn (đpc/m).
b) Xét (O) có ·ACT = 900 (cmt) ⇒ AT là đường kính của (O).

HP = PT ( gt )
BP = PC ( gt )

E

H

M

O

C

P

D

T

HP = HT ( gt ) 
 ⇒ OP là đường trung bình của ∆TAH
AO = OT (cmt ) 


( AB + BC + AC ) .r

Ta có : S ABC = a.ha = b.hb = c.hc =
⇒ CQ =

AB

; BN =

;

AM =

( AB + BC + AC ) .r

AC
BC
1
1
1


⇒ AM + BN + CQ = ( AB + BC + AC ) 
+
+
÷.r (1)
 AB BC AC 
1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức: ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9 . Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = b = c.
a b c

2) MB2 = MA.MD.
·
·
3) BFC
.
;
4) BF // AM.
= MOC
Bài 3 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn.
M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax,
by lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng : tứ giác APMQ nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.
3) Chứng minh rằng: AP. BQ = AO2.
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

17


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
4) Khi điểm M di động trên đường tròn (O), tìm các vị trí của điểm M sao
cho diện tích tứ giác APQB nhỏ nhất.
Bài 4 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M
không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P
và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác APMQ.

Trong mỗi chuyên đề toán học giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến
thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp
giải, kịp thời lưu ý cho các em những sai lầm khi giải, dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi
dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán. Việc phân dạng, chọn
các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú
nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh
phân biệt dạng và tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ
nắm vững vấn đề, phát hiện ra cách giải và tìm ra phương pháp phù hợp nhất, khoa
học nhất.
d) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải
có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình.
Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

18


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9
những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa
tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các emm. Nhận thức rõ điều
đó, mỗi giáo viên cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động
viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công
việc học tập của mình. Đồng thời giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu
hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết
sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần.
Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách
giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng
toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.

42

40

95,2%

2

4,8%

9A6

40

35

87,5%

5

12,5%

+/ Năm học 2010 - 2011:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.



5

12,5%

9A6

40

34

85%

6

15%

+/ Năm học 2011 - 2012:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng


+/ Năm học 2012 - 2013:
Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

19


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

42

triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

42

25

59,5%

17

40,5%

9A2

40

26

65%



19

47,5%

9A2

40

26

65%

15

37,5%

- Giá trị khoa học: Đề tài giúp giáo viên và học sinh biết cách khai thác và phát
triển một số bài toán Hình học 9 một cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày.
I.4. Kết quả
1/ Nhận xét:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt
những bài tập này. Sau đó giáo viên phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài
toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học
sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế
đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều
này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo
viên mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ
không tạo ra những dạng mà thầy, cô đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất

của học sinh.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
III.1.Kết luận
Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên
khi làm bài tập Hình học, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ
hiểu sâu sắc bài tập Hình học và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán. Cái nhìn ở các
phương diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng
cũng có thể thành bài toán khó hơn. Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh
sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được
sự tự tin khi làm bài tập.
Để làm được như vậy thì giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ
dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ
bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay
đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy
một số bài toán Hình học cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó
thành những bài toán khác nhau. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp
bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng
nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
- Mặc dù bản thân tôi đã có cố gắng nhiều trong quá trình viết nhưng vì thời gian
nghiên cứu chưa nhiều, năng lực có hạn, quá trình công tác và kinh nghiệm còn ít nên
không thể tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu
của quý thầy cô và đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn và có
thể triển khai áp dụng vào thực tiễn.
III.2. Kiến nghị
Căn cứ vào nhiệm vụ đã đề cập và kết quả nghiên cứu sau nhiều năm của đề tài, tôi
mạnh dạn đề xuất một số ý kiến chủ quan của bản thân về phương pháp “Hướng dẫn

học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa
Toán 9” nói riêng và của bộ môn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm được

- Đổi mới cách ra đề bài tập, giải bài tập, chú trọng vào phương pháp lấy học sinh
làm trung tâm, gây hứng thú học tập cho học sinh học môn Toán. Khuyến khích các em
nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó tìm ra cách giải mới, hay chứ không
nên bắt buộc các em cứ phải giải theo cách của mình.
- Tự học để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, sử dụng tốt công nghệ
thông tin phục vụ cho các hoạt dộng dạy học để tạo hứng thú học tập cho học sinh.
- Tận tâm hơn với nghề dạy học, tôn trọng những kết quả đạt được của học sinh
dù là nhỏ nhất…
Xin chân thành cảm ơn!
Buôn Trấp, Ngày 01 tháng 01 năm 2016
Người viết

Nguyễn Anh Tuấn

Nguyễn Thị Cẩm Linh

Nguyễn Anh Tuấn & Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

22


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 9

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………