Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC
VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 9

Họ và tên : Nguyễn Anh Tuấn
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm
Môn đào tạo :
Toán

Krông Ana, tháng 1 năm 2015
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

1


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọn đề tài :
- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng
cao. Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc
và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ
cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm
càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy
nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS Buôn Trấp tôi

yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu
gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất
trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học
sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin
qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.
I.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh cấp học THCS chủ yếu là học sinh khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi
vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp.
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana
2


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp qua nhiều năm học.
Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2015.
I.5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà
trường.
Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng.
Thực nghiệm, đối chiếu so sánh.
Nhận xét.
II. PHẦN NỘI DUNG
II.1.Cơ sở lí luận
Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh
sợ học môn Hình học. Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa thực
sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ
môn, sự hứng thú với môn Hình học là hầu như ít có. Có nhiều nguyên nhân, trong đó
có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:
- Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng


3


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển. Từ đó sự quan tâm của các bậc
phụ huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ cho
con em mình các thiết bị và đồ dùng học tập.
*) Khó khăn:
Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phong
phú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau. Học sinh khi
học toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để làm bài toán Hình học
thì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất ..., mà mình đã được học
một cách linh hoạt. Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì học sinh
phải nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới.
Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình có điều kiện còn mải lo
làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình, phó
mặc cho con cái, chỉ biết cho con em mình tiền dẫn đến các em hư hỏng.
Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đua
đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơi
game, bi da, đánh bài ...
b) Thành công, hạn chế
*) Thành công:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm
tốt những bài tập này.
*) Hạn chế:
Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển
óc tư duy. Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho
phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng.

*) Học sinh không giải được:
- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh
hoạt.
*) Học sinh giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến
thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng
đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và
vận dụng …
Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các
bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn
hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ
bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá
thú vị. Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học
sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như
khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho
học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không
kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các
hoạt động toán học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó
dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của
người giáo viên đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai
thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến
nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với
người giáo viên. Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không
dừng ở việc giải toán. Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bản

- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường
hợp cụ thể. Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra.
Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài
toán có tính tư duy.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số bài toán có liên quan đến: ĐƯỜNG
TRÒN VÀ TIẾP TUYẾN
I. Dạng toán về đường tròn
Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Trên a lấy điểm A và trên b lấy
điểm B. Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm O, A, B?
Tìm hiểu đề bài
Bài này liên quan đến sự xác định một đường tròn qua ba điểm O, A, B trong
đó O là giao điểm của hai đường thẳng a, b và A và B là hai điểm bất kì thuộc a và b.
Hướng dẫn cách tìm lời giải
Lưu ý A và B có thể nằm về hai phía của O, ngoài ra A và B cũng có thể trùng
với O hoặc khác O. Do đó hãy xét các trường hợp sau:
- O khác A và B;
- A trùng với O nhưng B khác O hoặc ngược lại;
- Ba điểm O, B, A trùng nhau.
Cách giải:
`- Trường hợp O khác A và B, như thế ba điểm O,
a
B
A, B không thẳng hàng nên bao giờ cũng có và chỉ
có một đường tròn đi qua ba điểm A, O, B.
O
- Trường hợp A trùng với O nhưng B khác O (hoặc
A


2
2

3) Nếu ∆OAB đều cạnh q thì tâm đường tròn là giao điểm G của ba đường trung tuyến
của tam giác OBA và bán kính OG bằng 2/3 đường cao của tam giác đều tức là bằng
q

3 2
3
.
. =q
2 3
3

Bài 2: Cho đường tròn tâm O và một điểm A bên trong đương tròn. Qua A hãy dựng
dây BC sao cho
a) BC có độ dài nhỏ nhất
b) BC nhận A làm trung điểm
Tìm hiểu đề bài:
Đây là bài toán dựng hình trong đương tròn (O). Yêu cầu
phải dựng qua điểm A cho trước bên trong (O) một dây BC
sao cho BC có độ dài nhỏ nhất, BC nhận A làm trung điểm.
(Hình 2a)
Hướng dẫn cách tìm lời giải
a) Hãy thay “Dây BC có độ dài nhỏ nhất” bằng “ Khoảng cách OM từ tâm O đến
dây là lớn nhất”, rồi nhận xét OM ≤ OA, từ đó OM lớn nhất khi bằng OA suy ra cách
dựng BC (hình 2a)
b) Do AB phải bằng AC nên nếu nối OA thì OA ⊥ BC . Từ đó suy ra cách dựng BC
(hình 2b)


B

O

Hình 7b

OA ⊥ BC

Suy ra cách dựng sau đây: Nối A với tâm O và dựng đường thẳng vuông góc với
OA tại A cắt (O) tại B và C. Dây BC là dây cần dựng.
Bài toán có một nghiệm hình.
Khai thác bài toán:
S1
S
Có thể đặt thêm câu hỏi sau:
A
·
Tìm trên đường tròn (O) một điểm S sao cho OSA
lớn nhất
T

T1

O

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

7
Hình 7C

còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán
(*) một chút như sau:
Bài 3.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H
và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có
chung trung điểm.
Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD
tại I, cắt AK tại F.
Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI
là đường trung bình của tam giác AHK ⇒ I là trung điểm của
HK ⇒ đpc/m.
Cũng bài toán 1 nhưng chúng ta có thể phát triển dưới một dạng khác phức tạp
hơn như sau:
Bài 3.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính
AB. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối
diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau. ( Cách giải
hoàn toàn tương tự như bài 1)
Bài 3.3: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng
với A và B). Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các
đường tròn tâm O, O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn
(O) tại C và D, cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng minh CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Lập luận để có AH ⊥ CD và BK ⊥ CD ⇒ Cách giải hoàn toàn tương tự như
bài 1)
+ Hướng thứ hai:
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

8


Bài 3.5: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 3 câu c:
Chứng minh S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB .
Vẽ thêm CC ' ⊥ AB, DD ' ⊥ AB ( C ', D ' ∈ AB )
Ta có

CC '+ DD '
= MM ' (MM’ là đường trung bình của hình
2

thang CDD’C’)
⇒ HK.OM = AB.

CC '+ DD ' 1
= AB ( CC '+ DD ') = S∆ACB + S ∆ADB
2
2

Mặt khác HK.OM = SAHKB ( Vì OM là đường trung bình của hình thang AHBK,
AH + KB
)
2
Từ đó S AHKB = S ∆ACB + S ∆ADB (đpc/m)

nên OM =

Bài 3.6: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở
thành tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có S ∆AMB = S ∆HOK
và HK .OM = AB.MM ' ( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên
AB = 2OM.
Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’ ⇒ MM ' =

hai điểm C và D ( C, D cùng thuộc nửa đường tròn tâm O). Chứng minh rằng
HC ⊥ CD , KD ⊥ CD .
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn
đó ( M ≠ A, B ) . Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H và K là chân đường vuông góc hạ từ A, B
xuống xy. Chứng minh rằng : Đường tròn (M) đường kính HK tiếp xúc với AB. ( Xác
định vị trí tương đối của (M) với đường thẳng AB khi M chạy trên (O))
Bài 5: Cho đoạn thẳng HK, qua H, K vẽ các đường thẳng d và d’ vuông góc với HK.
Một góc vuông với đỉnh là trung điểm M của HK có một cạnh cắt
d tại A, một cạnh cắt d’ tại B. Chứng minh rằng Ab là tiếp tuyến
của đường tròn đường kính HK.
Giải :
Vẽ MD ⊥ AB ( D ∈ AB ) (1)
Gọi C = AM ∩ d ' . Ta có ∆AMH = ∆CMK ( g .c.g ) ⇒ MA = MC
⇒ ∆ABC có BM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ∆ABC
cân tại B
⇒ BM là phân giác của ABC
⇒ ∆MDB = ∆MKB ( cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ MD = MK mà MH = MK =

1
HK (2)
2

Từ (1) và (2) suy ra Ab là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
HK.
Bài 6: Cho tứ giác AHKB có đường tròn đường kính AB tiếp xúc
với đường thẳng HK. Chứng minh rằng đường tròn đường kính
HK tiếp xúc với đường thẳng AB khi và chỉ khi AH // BK.
Giải : Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và HK.
Vẽ O ' D ⊥ AB , nối OO’ ta có O ' O ⊥ HK ( OO’là đường trung bình

⇔ O'D =
4
8
2
2
⇔ O ' D = O ' H = O ' K ⇒ D ∈ (O ') đường kính HK.
⇔ Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB tại D.

Như vậy BK // AH ⇔

Bài 7: Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây bằng nhau EF và GH cắt nhau
tại M.
a) Tứ giác EGFH là hình gì?

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

10


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
2
3

b) Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây biết rằng EF = GH = R

E

H
1


 ⇒ ∆OMI = ∆OMJ(ch − cgv)

OM chung



⇒ MJ = MI (cạnh tương ứng).

µ =F
µ
Hai tam giác cân đỉnh M là MEH và MGF có các góc ở đỉnh M bằng nhau nên E
1
1
(so le trong) suy ra EH // GH.
Tứ giác EGFH là hình thang có hai đường chéo EF = GH nên EGFH là hình thang cân.
b)Xét tam giác vuông OEI theo định lí Pitago ta có:
2

R 2 8R 2
 2R 
2
OI 2 = OE 2 − EI 2 = R 2 − 
=
÷ =R −
9
9
 3.2 

. Vậy OI = OJ =



 R 6  6R 2 2R 2
= 
÷
÷ = 9 = 3
 3 

K

Đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIMJ có đường kính là OM, ta có:
OM = OI 2 =

H
Hình 3

R 6
2R 3
R 3
. Vậy bán kính đường tròn này là:
2=
3
3
3

d) Kẻ đường kính FK ta có KEF vuông tại E (vì trung tuyến OE của KEF bằng
» = KH
¼ suy ra EG = KH
1/2 cạnh KF). Do đó KE // HG ( ⊥ EF) nên EG
Xét hai tam giác vuông EMG và HMF, theo định lý Pytago ta có:
ME2 + MG2 = EG2 (1) và

có hai góc ở đáy bằng nhau ( B
2
1
D
giác vuông AOB và tam giác cân OAD (hình 4).
O
b) Trục đối xứng của AD là đường trung trực của nó, còn
trung tuyến CM là trung trực của BD. Từ đó ta suy ra được điều
phải chứng minh.
Hình 4
Cách giải
0
µ
µ
a) Trong tam giác vuông AOB ta có: A + B1 = 90 vì CD là tiếp tuyến của (O) tại D,
¶ +D
¶ = 900 . Nhưng µA = D
¶ vì tam giác ODA cân.
D
1
2
1
µ
¶
µ
¶
¶ =D
¶
Từ đó B = D ; B = B (đối đỉnh), suy ra B
1

a) OH ⊥ MG
b) OH.MG = MN.HI
Tìm hiểu đề bài
Q
E
Bài ra cho nửa đường tròn đường kính MON và dây
D
H
DE với H là trung điểm. Hình chiếu của đường kính MN
G
P
trên đường thẳng DE là PQ. Hình chiếu của H trên MN là I.
Yêu cầu phải chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc và một
1
1
hệ thức (hình 5).
M
M'
I
O E'
Hình 5
Hướng dẫn tìm lời giải
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

12

N


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9

Thật vậy: Hình thang vuông MPQN có OH là đường trung bình nên HP = HQ,
ngoài ra HD = HE. Do đó HP – HD = HQ – HE hay PD = EQ.
Kẻ DD’ và EE’ vuông góc với MN ta có:
S∆MDN + S ∆MEN =

1
1
DD'+EE'
MN .DD'+ MN .EE' =MN
2
2
2

mà

DD'+EE'
= HI
2

trong

hình thang vuông DD’E’E nên tổng diện tích này bằng MN.HI.
Theo câu b thì MN.HI = OH.MG chính là diện tích tứ giác MPQN vì hình thang này
có diện tích

MP + NQ
.MG = OH .MG .
2
= SMDN + S ∆MEN .


I

A

O

E

M

C

Hình 6

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

13

B


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Trừ từng vế (1) cho (2) ta được EC = HD.
Khai thác bài toán:
Bài này có thể thêm câu hỏi sau đây: Chứng minh rằng:
c) AE. IG = IE .OG;
b) OG.IH = IG.BH ( cho học sinh tự chứng minh)
II. Dạng toán về tiếp tuyến của đường tròn
Bài toán 1 ( bài 30 – trang 116 SGk – toán 9, tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với

2
3
µ +O
¶ +O
¶ +O
¶ = 180 0 ⇒ O
µ +O
¶ =O
¶ +O
¶ = 90 0 hay COD
·
Mà O
= 90 0 (đpc/m)
1
2
3
4
1
4
2
3
b) Theo t/c tiếp tuyến , ta có: CA = CM và DB = DM
Mà M ∈ CD ⇒ CD = CM + MD ⇒ CD = CA + BD
Vậy CD = CA + BD (đpc/m)
c) Xét ∆COD vuông tại O (c/mt), có: OM ⊥ CD (gt) ⇒ OM 2 = CM .DM ( đ/l)
Mà CA = CM và DB = DM ⇒ OM 2 = AC.BD mà OM = R (gt)
⇒ AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. (đpc/m)

y
D


A

b) Tứ giác ACDB là hình thang, diện tích của nó là

F

O

B

Hình 11

1
( AC + BD ) .AB . Hãy chứng
2

minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

14


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Cách giải:
b) Tứ giác EMFO là hình bình hành có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Tâm P
của hình chữ nhật này cách đều 4 đỉnh, do vậy P là tâm đường tròn đi qua 4 điểm O, E,
M, F.
c) Tứ giác ACBD là hình thang vuông có diện tích bằng


CM = CA, DB = DM (t/c) (2)
KD MD
=
⇒ MK / / AC ( theo định lí
Từ (1) và (2) ⇒
KA MC

K

H

talet đảo)
Vậy MK // AC // BD (đpc/m)
 Sau khi chứng minh được MK // AC ta có thể có thêm yêu học sinh chứng minh:
CD.MK = CM.DB.
Chứng minh: Theo chứng minh trên MK //AC ⇒ ∆CKM ∆CBD
CD DB
⇒
⇒ đpc/m.
=
CM

MK

Khai thác bài toán
Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn (O).
c) Tìm quỹ tích của N;
d) Tìm quỹ tích của P;
e) Chứng minh tích AC.BD không đổi.
Cách giải như sau:

Tìm hiểu đề bài:
Đặc điểm của bài này là cho đường tròn (O; R), khoảng
cách OA = R 2 và hai tiếp tuyến AM, AN. Yêu cầu đầu tiên là A
H
O
chứng minh AMON là hình vuông (câu a) rồi chứng minh ba
điểm A, H, O thẳng hàng trong đó H là trung điểm của dây MN
N
(câu b).
Hướng dẫn tìm lời giải:
Hình 8
a) Hãy chứng minh cho tam giác AMO là vuông cân để
suy ra MO = AM = R, từ đó chứng minh AMON có bốn cạnh bằng nhau và một góc
vuông (hình 8)
b) Chứng minh cho OH là tia phân giác của góc MON và OA là phân giác của
góc MAN. Suy ra hai tia OH và OA trùng nhau.
Cách giải:
a) Tam giác AMO vuông tại M do OM ⊥ MA (bán kính vuông góc với tiếp tuyến
tại tiếp điểm), có cạnh huyền OA = R 2 = OM 2 nên nó vuông cân.
Suy ra MO = MA = R.
Tương tự tam giác ANO cũng vuông cân tại N và AN = NO = R. Mặt khác do
tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau nên AN = AM. Suy ra AN =AM = OM = ON = R.
Tứ giác AMON có bốn cạnh bằng nhau lại có góc vuông nên nó là hình vuông.
b) Do H là trung điểm của MN và tam giác MON cân tại O nên OH là phân giác
của góc MON, mặt khác theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì OA cũng là phân
giác của góc MON. Suy ra OH trùng OA vậy A, O, H là ba điểm thẳng hàng.
Khai thác bài toán:
Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau:
c) Một đường thẳng (m) quay xung quanh A cắt (O) tại P và Q. Goi S là trung
điểm của dây PQ, tìm quỹ tích của điểm S


Q'


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Vì AO > AS nên từ (1) và (2) suy ra 2AO > 2AS. Tức là AP’+ AQ’ >AP + AQ.
Vậy tổng AP + AQ lớn nhất khi đường thẳng (m) trùng với AO.
e) Điểm I chính là điểm P (theo câu d), do đó để tính HI ta tính HP’
HP’ = OP’ – OH = R -

R 2 R(2 − 2)
=
2
2

Bài 3: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M với OM = 2R ta vẽ hai tiếp tuyến MP và
MQ.
a) Chứng minh tam giác MPQ đều và tính cạnh của nó.
b) Đường thẳng qua M và O cắt (O) tại S và E. Tứ giác DPOQ là hình gì? Tính
diện tích của nó.
Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho (O; R) và điểm M ở ngoài (O) với OM = 2R và hai tiếp tuyến MP,
MQ. Yêu cầu chứng minh tam giác MPQ đều và tính cạnh của nó theo (câu a), xác
định dạng và tính diện tích của tứ giác DPOQ trong đó DE là đường kính qua M (câu
b).
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
a)Tam giác MPQ là tam giác cân (MP = MQ), chứng
minh thêm góc PMQ bằng 600 (hình 10)
Để tính cạnh của tam giác đều MPQ thì lưu ý MPO là
nửa tam giác đều có cạnh huyền MO = 2R.

¶ ( do
MO = R (cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền) nên M
1
1
2
2
·
MO là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau tại M). Suy ra PMQ
= 600 .
OP =

Tam giác MPQ cân có một góc bằng 600 nên MPQ là tam giác đều.
Trong tam giác vuông MPO ta có: MP

=

OP
R
R
=
=
=R 3
0
1
tgM 1 tg 30
. Vậy cạnh
3

của tam giác đều MP = R 3
¶ = 300 nên trong tam giác vuông MPO góc O

S


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
d) Tứ giác MPEQ có các đường chéo ME và PQ vuông góc với nhau vì ME là
đường trx,ung trực của PQ. Mặt khác tam giác DPO đều nên đường cao PN là trung
tuyến, do đó ND = NO = R/2
⇒ MN = MO − NO = 2R -

R 3R
R
3R
=
và NE = NO + OE = + R =
.
2
2
2
2

Do đó N là trung điểm của ME. Vậy tứ giác MPEQ có hai đường chéo vuông góc và
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.
1
ME.PQ = MN .PQ mà MN là đường cao của
2
PQ 3
PQ 2 3 ( R 3) 2 3 3R 2 3
tam giác đều MPQ nên MN =
, do đó MN.PQ =
=

= 1200. M là giao điểm của hai
tiếp tuyến tại P và Q. Yêu cầu tính các cạnh của ∆MPQ
(câu a) và chứng minh chu vi ∆MKN không đổi với K, N
là giao điểm của tiếp tuyến tại I với MP, MQ (câu b)
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
a) Trước hết chứng minh ∆MPQ đều do đó ta chỉ cần tính độ dài một
cạnh
b) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ K và từ N để tìm được chu vi tam giác
MKN bằng hai lần độ dài của MP (hoặc MQ)
Cách Giải (hình 12).
µ +Q
µ = 1800 nên M
¶ +O
µ = 1800 .
a) Do tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 mà P
P

K

I

M

1

O

E

1


18


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
Hướng dẫn:
· ON = 1 POQ
·
·
·
= 600 không đổi
c)Vì KO và NO là tia phân giác của POIv
nên K
à QOI
2

d) Nếu I là trung điểm của cung nhỏ PQ thì KN // PQ vì cùng vuông góc với MO, suy
· ON = 600 , nên
ra ∆MKN đều nên MO là trung trực của KN. Do đó ∆OKN cân, lại có K
là tam giác đều.
Vậy hai tam giác đều MKN và OKN có chung cạnh KN nên chúng bằng nhau.
Suy ra tứ giác MKON là hình thoi.
Bài 5: Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại M từ điểm P bất kì trên d kẻ
tiếp tuyến PN với (O).
a) Tìm quỹ tích trung điểm K của PO
b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác PMN.
Tìm hiểu đề bài:
Bài ra cho đường trong (O) hai tiếp tuyến PM, PN xuất phát từ một điểm P bất
kì trên PM. Yêu cầu tìm quỹ tích của trung điểm PO và quỹ tích của trực tâm tam giác
PMN khi P chạy trên tiếp tuyến PM.

Suy ra PM có độ dài nhỏ nhất khi bằng HI. Lúc đó P trùng với I và M trùng với H
 Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2011 – 2012)
d

k

M

L

D

O

H

K

P

Hình 13

N

d

I

H

3) BFC
.
;
4) BF // AM.
= MOC
Bài 3 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2013 – 2014)

Bài 4 ( Đề thi vào 10 tỉnh Đăklăk 2014 – 2015)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn HC ( M
không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt là P
và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
2) Chứng minh rằng : BP. BA = BH. BM.
3) Chứng minh rằng : OH vuông góc PQ.
4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP + MQ không đổi.
c) Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp
Để gặt hái được những thành tích cao trong học tập. Học sinh là nhân vật trung
tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành
công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy. Vì chính các em mới là
người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó.
Người giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn
toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường
xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức
của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán. Cần phải lên được kế
hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cập nhật thường xuyên những kiến
thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các
em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em
để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao.
Trong mỗi chuyên đề toán học giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến

chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi
kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường.
Với đối tượng là học sinh khối 9 trường trung học cơ sở Buôn Trấp, khi áp
dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: Phương pháp tư
duy, kỹ năng giải bài tập và năng lực sáng tạo của học sinh tốt hơn. Trong các bài
kiểm tra đạt được những kết quả nhất định như sau:
+/ Năm học 2009 - 2010:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng

%

9A5

42

40

Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

40

32

80%

8

20%

9A3

40

35

87,5%

5



Số lượng

%

Số lượng

%

9A1

40

30

75%

10

25%

9A2

40

32

80%

8

14

33,3%

9A2

40

29

72,5%

11

27,5%

+/ Năm học 2013 - 2014:
Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

triển một số bài toán Hình học 9 một cách đơn giản, dễ hiểu, dễ trình bày.
I.4. Kết quả
1/ Nhận xét:
Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáo
khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là HS trung bình cần phải làm tốt
những bài tập này. Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài toán
phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV cần giúp cho học sinh hiểu
được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được
mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều này
không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù
vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra
những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV
cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến
thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù
hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh
giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài toán dưới nhiều
góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan
trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học
sinh tốt hơn.
.
2/ Kết quả sau khi áp dụng :
Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

22


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9

Trên đây là đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài
toán hình học 9” mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường

- Mặc dù bản thân tôi đã có cố gắng nhiều trong quá trình viết SKKN nhưng vì
thời gian nghiên cứu chưa nhiều, năng lực có hạn, quá trình công tác và kinh nghiệm
còn ít nên không thể tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng
góp quý báu của quý thầy cô và đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài của tôi được hoàn
thiện hơn và có thể triển khai áp dụng vào thực tiễn.
III.2. Kiến nghị
Căn cứ vào nhiệm vụ đã đề cập và kết quả nghiên cứu sau nhiều năm của đề tài,
tôi mạnh dạn đề xuất một số ý kiến chủ quan của bản thân về phương pháp “Hướng
dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9” nói riêng và của bộ
môn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm được cách giải, từ đó khiến các em
yêu thích bộ môn hơn và góp phần nâng cao chất lượng của bộ môn:
*/ Đối với lãnh đạo Phòng giáo dục:

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

23


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
- Tăng cường tổ chức các chuyên đề về phương pháp dạy của từng dạng toán
phù hợp với các đối tượng học sinh của từng trường. Tổ chức nhiều buổi chuyên đề về
từng mảng kiến thức khó để giáo viên có thể chia sẻ, học tập lẫn nhau và không ngừng
nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. Nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm
hay cấp huyện, cấp tỉnh thành các chuyên đề để giáo viên chúng tôi được học tập, góp
phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
*/ Đối với lãnh đạo các trường:
- Chỉ đạo đổi mới cách sinh hoạt của tổ bộ môn theo hướng tích cực, chú trọng
hơn đến phương pháp nâng cao chất lượng học tập của học sinh chứ không nên mang
nặng tính hình thức.
- Nếu có thể cho áp dụng SKKN trong toàn khối 9 để kiểm tra tính thực tế.


24


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học 9
( Ký tên, đóng dấu )

VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9
2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán trung học cơ sở.
3) Sách Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Tác
giả: Trần Thị Vân Anh). Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
4) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 ( Nhóm tác giả: Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Anh
Hoàng, Nguyễn Đoàn Vũ, Phan Bá Trình, Nguyễn Văn Danh, Đỗ Quang
Thanh…). Nhã xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
5) Sách 50 bộ đề toán thi vào lớp 10 chuyên chọn ( Tác giả: Minh Tân ). Nhà xuất
bản Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.
6) Sách Bài tập thực hành toán 9, tập hai ( Tác giả: Quách Tú Chương, Nguyễn
Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
7) Các tài liệu tham khảo trên Internet,...

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

25