Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC
VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG
SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 7

Họ và tên : Nguyễn Thị Cẩm Linh
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm
Môn đào tạo :

Toán

1
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

1


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7

Krông Ana, tháng 2 năm 2018
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao.

phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳ
thi. Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy,
những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do
chưa nắm phương pháp giải dạng toán này. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy
2
2
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7
không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Toán nói
chung và phần Hình học nói riêng. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác
nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở phần Hình học mới có,
làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn. Đó là mục đích của bất kì giáo
viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của
học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy
của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự
nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm
chất của con người mới.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 7 (tập 1,2).
4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu.
Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh khối 7
và tài liệu bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học.
Thời gian thực hiện trong các năm học 2015 - 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin lý luận để xây dựng cơ sở lý
luận của đề tài. Thuộc nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận, có các phương pháp

học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình
bày suy luận một cách logic. Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là
học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học. Các em đang bắt
đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoàn chỉnh. Đứng
trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng
minh như thế nào.
- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc
nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh
vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ
bài toán cơ bản.
- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế.
- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu
được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về
phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề.
- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với phân môn Hình học do thiếu
sự tự tin và niềm đam mê.
2. Thực trạng
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình
học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới
nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. Ta
biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất
là việc dạy các hoạt động toán học cho họ. Cụ thể như khi truyền thụ
cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận,
nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan
trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán
học. Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh
phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên
đứng lớp . Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học
4

- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh
hoạt.
*) Học sinh giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.
- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức.
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức
chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều. Bên
5
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

5


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7
cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận dụng
…
Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các
bài toán hình. Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp:
- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến
thức cơ bản đã học.
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài.
- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải.
- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác
- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp


6

µ

Cho ABC cân tại A( A < 90 )
BH ⊥ AC (H ∈ AC) , CK ⊥ AB (K ∈ AB)
0

BH ∩ CK tại I

C/m: 1.1. AH = AK
·
·
= IAC
1.2. IAB

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

6


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7

Phân tích bài toán 1:

- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hay hai góc bằng nhau, thông thường ta phải
ghép vào hai tam giác chứa hai đoạn thẳng hoặc hai goác đó bằng nhau (Tuy nhiên còn
nhiều cách khác). Vậy để chứng minh AH = AK ta phải chứng minh hai tam giác nào

Sơ đồ 1

Sơ đồ 2

AI là tia phân giác của góc A

AI là tia phân giác của góc A

µ 1= A
¶
A
2

µ 1= A
¶
A
2

∆AKI = ∆AHI

∆ABI = ∆ACI

7
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

7


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7

-

·
1800 − BAC
·
·
ABC
= ACB
=
2
Vì ∆ABC cân tại A, nên học sinh chứng minh được :
(2)

·
·
- Từ (1) và (2) suy ra: AKH = ABC , mà hai góc này ở vị trí đồng vị, điều này giúp

học sinh chứng minh được: KH // BC.

- Nhận xét gì về vị trí tương đối của hai cạnh AI và BC? Ta có bài toán sau:
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng: AI vuông góc với BC.
Ở bài toán A (hình 2), ∆ABC cân tại A AB = AC
µ ¶
Học sinh đã chứng minh được A1 = A 2 , có thêm AN là cạnh chung, nên suy ra:
0
µ 1= N
¶
µ ¶
∆ABN = ∆ACN (c.gc
.) N

Bài toán khác tương tự:
Bài toán 1.7. Chứng minh rằng: AI đi qua trung điểm của KH.

Tổng hợp các bài toán trên (hình 3), học sinh chứng minh được các bài
toán tương tự sau:
Bài toán 1.7. Chứng minh rằng: AI vừa là đường

phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến,
đường trung trực của ∆ABC.
- Với giả thiết của bài toán (hình 4), học sinh đã chứng
minh được AI ⊥ KH tại D.

Mà

¶ =H
¶
A
2
1

¶ ¶
¶ ¶
·
(cùng phụ AHD ), Mà A1 = A 2 ⇒ A1 = H1 hay

· = KHB
·
BAI

 Đến đây học sinh sẽ định hướng cần phải làm gì khi bắt gặp bài toán sau:

đường cao BH (H ∈ AC) Chứng minh rằng
.

Ta có:

·
BAC
·
HBC
=
2

.


¶ =A
¶ = 1 BAC(
·
A
cmt) ·
1·
1
2
2
 ⇒ HBC = BAC
2

·
·
BAI


(Bài 40- trang 48 – Sách nâng cao và phát triển toán 7 – NXB Giáo dục 2003)

- Chứng minh câu a tương tự bài toán 2.
- Để chứng minh CK ⊥ AB ta làm thế nào?

0
·
·
+ Chứng minh AKB = 90 ; dự đoán xem AKB có thể bằng góc nào trong hình

vẽ?
+ Chứng minh:

0
0
·
·
∆AHB = ∆AKC ; AHC = 90 (gt) ⇒ AKB = 90

(đpcm)

µ < 90
Bài toán 1.12: Cho ∆ABC cân tại A ( A
), Một
điểm I nằm trong tam giác sao cho IB = IC. Chứng minh
rằng:
0

·

0
µ
+) Đối với bài toán 7 thì có ảnh hưởng. Vì khi A > 90 thì BAI ; KHB bù nhau

- Từ đó ta có bài toán sau:

I

H

10

K
A

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông
Ana
B

N

10
C


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7
µ < 90
Bài toán 1.13. Cho ∆ABC cân tại A ( A
), có các đường cao BH, CK

B

1
HK = BC
2
C/m:

D

C

Hướng dẫn giải:
1
+Để chứng minh KH = 2 BC ⇔ BC = 2KH, ta tạo ra 1 đoạn thẳng = 2 MN, rồi chứng

minh đoạn thẳng đó bằng BC.
+ GV đặt câu hỏi: làm thế nào để tạo ra được đoạn thẳng bằng 2HK?

- Ta vẽ trên tia đối của HK điểm D sao cho HD = HK;
- Ta cần c/m: ∆ BKC = ∆ DCK
Chứng minh:
+ Lấy D ∈ tia đối của tia HK, sao cho HD = KH ⇒ KD = 2KH
+ ∆ AKH = ∆ CDH (c.g.c) ⇒ AK = DC (2 cạnh tương ứng)
µ = HCD
·
⇒ A
µ ·
+ Vì A = HCD và hai góc ở vị trí so le trong ⇒ AB // CD.
·
·

luôn đặt ra các tình huống khác nhau và tìm hướng giải quyết.
Bài toán 2.1: Chứng minh rằng: đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam
giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ 3.
Hướng dẫn giải:
Cách vẽ đường phụ trong bài này tương tự như bài toán 2.
* Chú ý: Bài toán 2 và 2.1 chính là nội dung tính chất đường trung bình của tam giác
trong chương trình toán 8. Nhưng muốn sử dụng nó để giải quyết các bài tập trong
chương trình toán 7 thì giáo viên cần đưa dưới dạng 2 bài toán phụ sau đây:
1.“ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác thì song song và bằng
nửa cạnh thứ ba”
2. “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh
thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba”
Bài toán 2.2: Cho ∆ ABC , trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Tia CI
cắt cạnh AB ở D. Chứng minh rằng:
1
a) AD = 2 BD

;

1
b) ID = 4 CD

Hướng dẫn giải:
A

1
+ Để chứng minh AD = 2 BD ta tạo ra 1 đoạn thẳng

D


Bài toán 2.3: Cho ∆ ABC cân tại đỉnh A, trung tuyến AM và phân giác BD. Tính
các góc của ∆ ABC nếu biết rằng BD = 2AM.
Hướng dẫn giải:
Vì ∆ ABC cân tại đỉnh A, trung tuyến AM ⇒ M là trung điểm của BC.

A
D
E

C

Mà BD = 2AM, nên ta nghĩ đến việc vẽ điểm E là trung điểm của DC để có thể áp dụng
I
được bài toán 2 ⇒ BD = 2 ME ⇒ AM = ME
TừM đó tìm được Bmối quan hệ giữa các góc trong ∆ ABC.
+ Gọi E là trung điểm của DC
1
-Xét ∆ BDC có ME = 2 BD (bài toán 2)
⇒ AM = ME ⇒ ∆ AME cân tại M

·
·
µ + CME
·
µ + MBD
·
⇒ MAE
= MEA
=C
=C

Cho ABC vuông tại A
BM = MC (M ∈ BC)
1
AM = BC
2
C/m:

Hướng dẫn giải:

M

A

B

+ Với bài toán này, việc vẽ thêm hình cũng tương tự như bài toán 2, tức là tạo ra 1
đoạn thẳng gấp 2 lần đoạn AM, sau đó đi chứng minh nó bằng BC.
+ Do đó ta phải lấy D thuộc tia đối của MA: MD = MA.
+ C/m: ∆ ABC = ∆ BAD (c.g.c) ⇒ BC = AD.
13
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

13


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7
Đây cũng là nội dung 1 bài toán phụ nữa mà học sinh thường dùng để giải các
bài toán hình học.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần cho học sinh học thuộc nội dung các bài

2
a) Ta Chứng minh:
1

PM = AC(cmt)

2
 ⇒ PM = HN (dpcm)
1
HN = AN = AC(cmt)

2
b)

c. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải
có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập hết khả năng của bản thân mình.
Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và
những giáo viên là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 7, đặc điểm tâm lí lứa
tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các emm. Nhận thức rõ điều
đó, mỗi giáo viên cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động
viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công
việc học tập của mình. Đồng thời giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu
hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết
sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần.
Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách
giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng
toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.
d. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu.
Qua nhiều năm tham gia giảng dạy và thử nghiệm về sáng kiến của mình tôi thấy

Số lượng

%

7A1

42

28

66,7%

14

33,3%

7A2

40

27

72,5%

11

27,5%

+/ Năm học 2013 - 2014:


7A5

40

26

65%

14

35%

+/ Năm học 2014 - 2015:

Lớp

Sĩ số

Số h/s chưa biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số h/s biết cách khai thác và phát
triển bài toán Hình học.

Số lượng

%

Số lượng


khoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làm tốt
những bài tập này. Sau đó giáo viên phải giúp cho số học sinh đó hiểu được một số bài
toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học
15
15
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7
sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế
đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều
này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo
viên mặc dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ
không tạo ra những dạng mà thầy, cô đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất
hạn chế nên giáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không
những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán
học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá
trình dạy học sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn một bài
toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố
đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy
cho học sinh tốt hơn.
.
2/ Kết quả sau khi áp dụng :

Trên đây là đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài
tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 7” mà chúng tôi đã áp dụng giảng dạy
trên thực tế hiện nay ở trường THCS Buôn trấp, tôi thấy chất lượng kiểm tra đã
được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh trung bình, cũng như trong
quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp được nâng lên rõ rệt. Tôi cùng

đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu nên cách dạy
một số bài toán Hình học cơ bản trong sách giáo khoa, thay đổi, phát triển bài toán đó
thành những bài toán khác nhau. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp
bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng
nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
- Mặc dù bản thân tôi đã có cố gắng nhiều trong quá trình viết nhưng vì thời gian
nghiên cứu chưa nhiều, năng lực có hạn, quá trình công tác và kinh nghiệm còn ít nên
không thể tránh được những thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu
của quý thầy cô và đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn và có
thể triển khai áp dụng vào thực tiễn.
2. Kiến nghị
Căn cứ vào nhiệm vụ đã đề cập và kết quả nghiên cứu sau nhiều năm của đề tài, tôi
mạnh dạn đề xuất một số ý kiến chủ quan của bản thân về phương pháp “Hướng dẫn

học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa
Toán 7” nói riêng và của bộ môn nói chung nhằm góp phần giúp học sinh nắm được
cách giải, từ đó khiến các em yêu thích bộ môn hơn và góp phần nâng cao chất lượng
của bộ môn.
*/ Đối với lãnh đạo Phòng giáo dục:
- Tăng cường tổ chức các chuyên đề về phương pháp dạy của từng dạng toán phù
hợp với các đối tượng học sinh của từng trường. Tổ chức nhiều buổi chuyên đề về từng
mảng kiến thức khó để giáo viên có thể chia sẻ, học tập lẫn nhau và không ngừng nâng
cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ. Nên phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay cấp
huyện, cấp tỉnh thành các chuyên đề để giáo viên chúng tôi được học tập, góp phần nâng
cao chất lượng giảng dạy.
*/ Đối với lãnh đạo các trường:
- Chỉ đạo đổi mới cách sinh hoạt của tổ bộ môn theo hướng tích cực, chú trọng
hơn đến phương pháp nâng cao chất lượng học tập của học sinh chứ không nên mang
nặng tính hình thức.
- Nếu có thể cho áp dụng sáng kiến kinh nghiện trong toàn khối 7 để kiểm tra tính


NHẬN XÉT CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

18
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

18


Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong
Sách giáo khoa Toán 7

VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa, sách bài tập toán 7
2) Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán trung học cơ sở.
3) Toán nâng cao và phát triển toán 7 ( Tác giả: Vũ Hữu Bình). Nhà xuất bản giáo
dục Việt Nam.

4) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 ( Tác giả: Bùi Văn Tuyên). Nhà xuất
bản Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

19
Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana