Mục lục
Trang
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Kỳ vọng có điều kiện và Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 - 13

1.1. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Các đặc tr-ng của kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2. Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . . . . . . 14 - 30

2.1. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Dạng khác của hội tụ hầu chắc chắn trong đại số
von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Một dạng không giao hoán của Định lý Egoroff . . . . . . . 27
3. Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại
số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - 62

3.1. Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann . . . . . . 31
3.2. Sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện và
martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo.


Hệ thống ký hiệu
(, F , P)
G
(Fn , n N)
(n , n N)

T
H
B(H)
C

Tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H.
C

- đại số.

A

Hoán tập của A.



biết G .

Không gian Hilbert.

Đại số von Neumann A.

1}



Thời điểm dừng bị chặn.

A



là một phần nhỏ thuộc h-ớng nghiên cứu đó. Để có thể

hiểu và nắm bắt đ-ợc một số kết quả của đề tài, tôi xây dựng luận văn
theo 3 ch-ơng nh- sau:
Ch-ơng 1: Kỳ vọng có điều kiện và martingale.

Ch-ơng 2: Sự hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann.

Ch-ơng 3: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale
trong đại số von Neumann.

Hai ch-ơng đầu là nền tảng, trong đó một số đặc tr-ng của kỳ vọng
có điều kiện trong không gian

Lp

và các dạng hội tụ trong đại số von

Neumann đ-ợc coi là quan trọng nhất. Nội dung chính của luận văn
nằm trong Ch-ơng 3. ở đó, các Định lý 3.2.9 ; 3.2.11 và Định lý
3.2.16 về sự hội tụ hầu đều của kỳ vọng có điều kiện trong đại số von
1


Neumann là đáng chú ý nhất.
Hoàn thành đ-ợc luận văn trên, tr-ớc tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến PGS.TS Phan Viết Th-, ng-ời đã tận tình h-ớng dẫn,
chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn.
Tôi cũng muốn đ-ợc gửi lời cảm ơn đến các thầy cô thuộc Khoa


F

(, F , P)

L1 .

là không gian xác suất đầy đủ,

Ta gọi biến ngẫu nhiên, ký hiệu là

vọng có điều kiện của
i)

E(|G)

ii)

là

G

là

G

Với mọi




Chú ý:

1) Nếu

= 1A , A F

kiện của biến cố
2) Nếu


thì



A

thì

P(A|G) := E(1A |G)

với điều kiện



đại số

là biến ngẫu nhiên đã cho và

E(|) := E(|G)



và

(Bi )iK , K N

là một phân

L1 .

Khi đó:
EG () =

EBk ()1Bk

với

EBk () =

kK

1
P(Bk )

dP,
Bk

3

k K.


G F

E(c|G) = c

E(|G)

3. Nếu a, b là hằng số ;

(h.c.c).

E(|G)

,

(h.c.c).

là các biến ngẫu nhiên thì:

E(a + b|G) = aE(|G) + bE(|G)

4.

E(|{, }) = E()

5.

E(|F ) =

6.


8. Tính không giãn:
E(|G)

9. Nếu

và



10. Nếu



G

là

E || G

(h.c.c)

độc lập thì

G

đo đ-ợc,

và

E(|G)

và tồn tại

nN

E(n |G) E(|G)

b) Nếu

n

(h.c.c)

và tồn tại

12. Bổ đề Fatou: Giả sử



E(n ) <

thì:

E(n+ ) <

thì:

(h.c.c).

nN



thì

E(lim n |G)

lim E(n |G)

(h.c.c).

13. Định lý bị chặn Lebesgue:
Giả sử



khả tích,

|n |

và

(h.c.c)

h.c.c

n , n N.

E(limn |G) = limE(n |G)
n

n


E ()|G .

Vì khuôn khổ có hạn của luận văn, cũng nh- các chứng minh chi
tiết có thể tìm đ-ợc trong [1] , [9] nên tôi xin phép đ-ợc bỏ qua các
giải thích cụ thể mà b-ớc ngay sang phần quan trọng sau.

1.2 Các đặc tr-ng của kỳ vọng có điều kiện
Tr-ớc tiên, ta sẽ nghiên cứu nó trên không gian
gian

L2 ,

L2 .

Trong không

ta có thể định nghĩa một tích vô h-ớng nh- sau:
.dP = E(.)

< , >=

, L2



Rõ ràng, tích vô h-ớng này xác định trên
||||2

=


L2 , < . >

là không gian Hilbert.

Từ kết quả thuộc về giải tích hàm ta thu đ-ợc khẳng định sau đây:
1.2.1. Định lý.

Nếu
L2

M

là một không gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert

thì mỗi phần tử của L2 đ-ợc biểu diễn duy nhất d-ới dạng :

trong đó

M

;

M

với

M = H L2 :< H, M >= 0, M M .
5



xuống không gian véc tơ con đóng

L2 (G)

của nó,

trong đó:
là

L2 (G) = L2 :

G-

đo đ-ợc

.

Chứng minh.

Dễ thấy,
đó, nếu
Với

L2 (G)

thì theo Định lý trên ta có

L2


B

( + )dP =
B

L2

B G.

B

Do đó, theo định nghĩa của
trên

dP,

E(.|G)

ta có :

= E(|G).

là phép chiếu trực giao từ không gian

nghĩa là, nếu

L2

và



Để toán tử tuyến tính

T : L2 L2

là toán tử kỳ vọng điều kiện, điều

kiện cần và đủ là: T là phép chiếu trực giao, không âm và bất biến
đối với hàm hằng.
6


Chứng minh.
()

Cho

T : L2 L2

điều kiện
thì

E(.|G)

với

là toán tử tuyến tính. Giả sử nó cũng là kỳ vọng
là

G

F

sao cho

Vậy

T



M

thỏa mãn

đại số con

G

của

M = L2 (G).

có hai tính chất cơ bản:

1)

T () L2 (G),

2)



1A dP =


dP,
A

T () = E(|G).

Định lý đ-ợc chứng minh.
Sau đây, ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện trên không gian

Lp

1.2.4. Định lý.

Cho tr-ớc một số
vào

Lp

p

1.

Khi đó toán tử tuyến tính liên tục T từ

là toán tử kỳ vọng có điều kiện (tức là

số con nào đó của


ii)

Lp , L .

với

T (.T ) = T .T

Chứng minh.

Điều kiện cần suy ngay ra từ định nghĩa và tính chất kỳ vọng có
điều kiện. Để chứng minh điều kiện đủ ta tiến hành theo hai b-ớc sau:
B-ớc 1:

Ta chứng minh

Thật vậy, với

L ,

T (L ) L .

ta lập dãy

1 = ; n+1 = .T (n )

Rõ ràng

n Lp .


nh- vậy, cuối cùng ta sẽ đ-ợc

với mọi n, nên suy ra

T n+1 = T (.T n)

và

T

T Ls

với mọi

s < .

T n = (T )n .

Hơn nữa, do

liên tục nên:

T n+1

T . .T n

p

T .

p

.


Nh-ng:
n

(T )n

= T
np

p

n

nên

n

T .

T
np

,


suy ra:

s


đại số con đầy đủ nào đó của
của

(n , n N)

vào

Lp

Lp

Lp



hội tụ trong



trong

Lp

sẽ

F.

Lúc đó, nếu



Điều này cho ta:

Lp , Lp .

T () = T (),
dP =


Vậy với mọi

AG

T () =


cố định, lấy

= 1A

A

ta nhận đ-ợc

T ()dP.
A

T

là toán tử kỳ vọng có điều kiện

E(.|G)

T () Lp (G), Lp .

Thật vậy, theo b-ớc 1 và (ii) ta có :
nếu

T ()dP.


dP =

Cuối cùng để chứng minh

Do đó theo (i) thì:

L-u ý rằng

Định lý đ-ợc chứng minh.
9

T (n )

nên

T

của

trong


Rõ ràng

(Fn , n N)

là dãy các biến ngẫu nhiên t-ơng thích với

là

n

là

Fn

Fn

là dãy

(Fn , n N),

- đo đ-ợc.

(Fn , n N),

ng-ời chơi đ-a ra một chiến l-ợc hoặc chơi

tiếp hoặc dừng lại. Thời điểm dừng đ-ợc định nghĩa d-ới đây chính là
mô hình ngẫu nhiên của các chiến l-ợc nói trên.
1.3.1. Định nghĩa.



gọi là thời điểm

dừng bị chặn.
Để cho tiện, từ nay về sau ta ký hiệu tập tất cả các thời điểm dừng
bị chặn là T. Hơn thế, ta định nghĩa thứ tự:


Lúc đó,

(T, )



nếu và chỉ nếu



là một tập định h-ớng và

T.
1.3.2. Nhận xét.

10

(h.c.c).
N

có thể coi là tập con của

(h.c.c)

thì

Lúc đó

F F .

L1 , T.

nN

1.4 Martingale
1.4.1. Định nghĩa (dãy t-ơng thích).

Dãy các biến ngẫu nhiên
nghi) với họ các
n N,

với mọi



đại số

tức là:

(n , n N)

đ-ợc gọi là t-ơng thích (thích


- đại số con đầy đủ của



là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, t-ơng thích

(n , n N)

(Fn , n N).

Từ giả thiết này và Nhận xét 1.3.2, ta thấy mỗi dãy
sinh ra một dãy (suy rộng) các biến ngẫu nhiên khả tích
thích với dãy không giảm các
từng



là

F



- đại số con

(F , T)

(n , n N)



P h.c.c

b) martingale trên, nếu:
Với mọi

m

n

thì

E(n |Fm )

m

P h.c.c.

E(n |Fm )

m

P h.c.c.

c) martingale d-ới, nếu:
Với mọi

m

n

Dãy

dãy

(n , n N)

là martingale khi và chỉ khi tất cả các phần tử của

đều bằng một hằng số cố định (nào đó).

E( ), T

1.4.4. Ví dụ.

(1). Giả sử là biến ngẫu nhiên khả tích. Khi đó dãy n = E(|Fn ), n
N

là martingale và ta sẽ gọi là martingale chính quy.

Thật vậy:
i)
với

(n , n N)
Fn

là dãy t-ơng thích vì

kéo theo



là martingale đối với

(Fn = (0, 1 , ..., n), n N).

12


(3). Giả sử (n , n N) là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích, độc

lập với

E(n ) = 1, n N.

Khi đó, dãy:
n

S=

k ,
k=0

là martingale đối với

(Fn = (0, 1 , ..., n), n N).

Do khuôn khổ có hạn của luận văn, nhiều tính chất và đặc tr-ng
khác của toán tử kỳ vọng có điều kiện cũng nh- martingale ch-a đ-ợc
nhắc đến. Những ai quan tâm có thể tìm đọc thêm trong [1] , [6] , [9]
. . . . . .


(x, y) = (y, x)

ii)

(x + y, z) = (x, z) + (y, z)

iii)

(x, y) = (x, y),

iv)

(x, x) = x

với mọi



thực

2

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi
khái niệm và tính chất của không gian định chuẩn đều có thể áp dụng
cho nó. Nói riêng, một không gian tiền Hilbert có thể đủ hoặc không
đủ. Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.
2.1.2. Định nghĩa.

Một đại số

Hơn nữa, có một phần tử đơn vị
iii)

e = 1;

iv)

xy

x

y

, với mọi

(xy) = (x)y = x(y)
e : ex = xe = x, x A;

x, y A.

2.1.3. Định nghĩa.

i) Một đại số

A

đ-ợc gọi là một - đại số nếu

A


với mọi

x x = x 2 ,

và

chuẩn. Nếu với chuẩn này,

x A,
A

đầy đủ thì

A

đ-ợc gọi là

- đại số.

2.1.4. Tôpô lồi địa ph-ơng trên B(H).

Cho

H

là không gian Hilbert. Ký hiệu

B(H)

là


{x}

là một không gian tôpô lồi địa

x x(h)

hội tụ mạnh đến

x

, với

x B(H)

khi và chỉ khi

và

{x(h)}

h H.

Nói

hội tụ đến

h H.

iii) Một tôpô


2

< .

iv) Một tôpô yếu trên B(H) là một không gian tôpô lồi địa ph-ơng
liên kết với nửa chuẩn
khác, dãy
với mọi

{x }

x |(x(h), g)|,

hội tụ yếu đến

với

x B(H)

và

x B(H)

h, g H.

khi và chỉ khi

Nói cách



< ,

và


i=1

gi

2

< .

2.1.5. Định nghĩa.

Với mỗi tập con

A B(H),

ta ký hiệu

A

là hoán tập của A, tứclà:

A = {y B(H) : xy = yx, x A}.

Dễ dàng chỉ ra đ-ợc
là một

Neumann nếu

A=A

và

A B(H)

C

đ-ợc gọi là một đại số von

đại số con

A B(H)

là đại số von

1 A.

2.1.7. Định lý.

Nếu

A

là một đại số von Neumann thì

A = A.


đặt



x = ij x

và cho

là tập tất cả các toán tử thỏa mãn các điều kiện trên. Rõ ràng

là một đại số von Neumann. Cho

(bij ) B(H(n)).
16

Khi đó

bij A(n)

A(n)

(hoán


tập của

A(n) )

nếu và chỉ nếu



Điều này có nghĩa là, với mỗi

A(n)g

Điều này chứng tỏ



thỏa mãn

A



yg zy < ,

trù mật trong

trong tôpô toán tử yếu, ta có

A=A

A

p

thì

yA

tồn tại một toán
n
i=1

yhi zhi

2

< .

trong tôpô toán tử mạnh, vì thế

.

Định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.8. Định nghĩa.

Một phiếm hàm tuyến tính
với mọi
x = 0,

x A+ .

với mọi

Phiếm hàm






mọi

x, y A,

Nếu



là một phiếm hàm d-ơng trên A, thì với

ta có:
(y x)

()

Thật vây, với mỗi

C,

2

(y y)(xx).

ta có:
(x + y) (x + y)

Với

= t(xy)|(y x)|1


(1) x

.
17



và

là bị chặn và
x x

x x 1.

= (1).

Do đó:

(xx)


2.1.10. Định lý GNS (Gelfand - Naimark - Segal) (xem [7]).

Với mỗi phiếm hàm tuyến tính d-ơng
cyclic

{, K}

của


A

trở thành một không gian

tiền Hilbert. Từ :
|(y x)|2

tập

M

các phần tử

sao cho

(y x) = 0,

th-ơng

A/M

xA

sao cho

với mọi

(xx) = 0



(y x xy)

=

Khi đó



y (xx)

và không gian

Thật vậy, với

yA

K

là mở

K .

Hơn nữa, với

xác định bằng cách qua


x




x

xx (y y).

=

có chuẩn

1.

ta có:

< xy, xy >= (y x xy)

x x (y y) = x

2

< y, y > .

Do đó x mở rộng tới một toán tử tuyến tính liên tục

(x)

tác động trong

K .




= (z x y)

Do đó

(x) = (x).

< x x, z >

=

Hơn nữa, đặt:

< (x )T y, T z > .

=

= T (1H ) K ,

ta có:

(x) = T (1) = T (x),

nên



là cyclic đại diện cho


tách đối với
Biểu diễn

A

từ đó

M =0

x = 0.

suy ra

(x) = 0

Nh- vậy, trong tr-ờng hợp này,

và hiển nhiên

{K , }

và điều kiện



là



đẳng


là một phiếm hàm tuyến tính trên

B(H).

Khi đó các điều kiện

sau đây là t-ơng đ-ơng:
i)

(x) =

n
k=1 (xhk , gk )

, với mỗi

gk , hk H,

k = 1, ..., n

và với mọi

x B(H);

ii)
iii)




19

|(x)|

1.

Giả sử rằng
sao cho:




Điều này cho ta:
n

()

|(x)|

x(hk ) 2)1/2.

(
k=1

Xét

H(n)

và



Công thức này cho ta một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con
đóng của

H(n)

sinh bởi các véctơ



xh(n) ,



|(xh(n) )|

xH

và thỏa mãn:



xh(n)

Từ định lý biểu diễn Riesz, có một véctơ

g = g1 g2 ... gn

trong



Cho
H.



là một trạng thái trên đại số von Neumann A, tác động trong

Khi đó, các điều kiện sau đây là t-ơng đ-ơng:
i)

là chuẩn,



ii)



iii)



là liên tục yếu trên hình cầu đơn vị trong A,
là liên tục

yếu,

iv) Có một toán tử
v)


Từ Định lý 2.1.12, ta tìm một phép chiếu

là liên tục yếu và

(p ) < .

Nếu

(xi )

p A,

sao cho

là dãy bị chặn hội tụ yếu đến

thì:
(xi )

(xi p) + (xi (1 p))
(xi p) + (xi xi )1/2(1 p)1/2
(xi p) + xi

Nghĩa là:

Vì

nó là liên tục
vì tôpô


A

nên đủ để áp dụng

Định lý của Krein - Smulian. Từ A.24 - [7] ta có (iii)
minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng (iii)
d-ơng trong đ-ờng chéo từ
riêng đơn vị) và

k > 0,



với

k

(iv). Chứng

(iv) là đủ để có một lớp toán tử vết



ek ,

x=





là một trạng thái trên A.



d-ơng trong A. Ký hiệu Proj
trong A. Với

p

Proj

A

A

ứng Z . Cho

xA

A

ta luôn có
ta kí hiệu

ta đặt

là lớp các phần tử

là tập tất cả các phép chiếu trực giao

đặt

L (, F , P)

là đại số (hoặc lớp

t-ơng đ-ơng) các hàm bị chặn cốt yếu nhận giá trị phức
trên . Nó có thể xem nh- một đại số von Neumann trên
ta đồng nhất các hàm

với toán tử nhân

g L

thức

P (f ) =

của một dãy



f dP.

(fn )

Theo định lý Egoroff thì sự hội tụ

từ


đại số

mà không xem xét trên không gian cơ sở . Chúng ta có thể

A

khẳng định lại sự hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa
thái

P

L

chuẩn, trạng

và các hàm đặc tr-ng (của các tập "lớn"). Từ quan điểm trên ta

xem xét định nghĩa sau:
2.2.1. Định nghĩa.

Cho
.

là một đại số von Neumann với trạng thái chuẩn chính xác

A

Ta nói rằng một dãy

phần tử


2.2.2. Nhận xét.

Ta chú ý rằng ở định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn .
Và từ đó hội tụ hầu đều đ-ợc định nghĩa t-ơng đ-ơng với hai điều kiện
sau:
()

Với bất kì lân cận mạnh của toán tử đồng nhất trong

tại một phép chiếu
()

p

sao cho

(xn x)p 0

khi

Với mọi trạng thái chuẩn chính xác

một phép chiếu

pA

sao cho

(1 p) <


là một trạng thái


chuẩn chính xác thì tôpô mạnh trong hình cầu đơn vị

S

trong

A

có thể

1
2

đ-ợc metric hoá bởi công thức: dist(x, y) = [(x y)(x y)] .
2.2.3. Định lý.

Cho

A

là một đại số von Neumann với một trạng thái chuẩn chính

xác . Với các dãy bị chặn các toán tử

(xn )


tác động lên không gian

H

các biểu diễn GNS theo cách

chuẩn. Trong tr-ờng hợp đặc biệt ta có
một một vectơ cyclic tách trong
tại một phép chiếu
là hoán tập của

A

pA

sao cho

với chuẩn
xn y

.



H .

(x) = (x, )

Cho



(A

ta có:

xn py



+ xn (1 p)y

xn p . y








1

xn y 2 .

y A.

Vì tập các vectơ

{y, y A }

bị chặn đều nên sự hội tụ mạnh ( mạnh) của

dần về 0.

2.2.4. Nhận xét.

Trong Định nghĩa 2.2.1, chúng ta đã giới thiệu tổng quát khái niệm
hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann trong phạm vi khái niệm của
23