Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của
mình, GS. Đỗ Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn tôi học tập và hoàn thành luận
án. Xin cám ơn GS. Nguyễn Khoa Sơn và GS. Dương Nguyên Vũ đã có những chỉ dẫn
quan trọng, và anh Bùi Thế Anh đã có những trao đổi và cộng tác hữu ích.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng đánh giá luận án đã đọc và đóng
góp nhiều ý kiến quý giá cho luận án này.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý Sau Đại
Học và Hợp Tác Quốc Tế trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh
đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận án.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô và các bạn trong Khoa Công Nghệ Thông Tin
và Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng đã luôn quan tâm và động viên tôi
trong quá trình học tập.
Tác giả luận án.

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một luận án nào
khác.
Tác giả luận án

Dương Đặng Xuân Thành

ii


Mục lục


1.4

Tính ổn định không phụ thuộc trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 2

Hệ rời rạc cấp cao

27

2.1

Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 3

Phương trình sai phân

Phần 2: Bán kính điều khiển được

57

Chương 4

58

Vô hạn chiều

4.1

Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2

Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3

4.2.1

Nhiễu trên cả A và B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.2

Nhiễu trên chỉ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.3


Nhiễu trên chỉ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.3

Nhiễu trên chỉ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chương 6

Thuật toán tính toán

83

6.1

Mở rộng kết quả của Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2

Thuật toán chia ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1

Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2.2

Tìm trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3

Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục trên X

L + (X )

Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục trên X

L (X ,Y )

Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L R(X ,Y )

Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vào Y

L + (X ,Y ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vào Y
σ(.)

Tập phổ

ρ (.)

Tập giải

svs(.)

Tập các giá trị kỳ dị

r(A)

Bán kính phổ - sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}


Không gian con ảnh bởi

.

F

Chuẩn Frobenius

.

2

Chuẩn 2-Euclide

C−

Nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức

C1

Tập các số phức có độ dài nhỏ hơn 1

K

C hoặc R

v



nhận được sự quan tâm của các nhà toán học, xem [33, 73, 97]. Đến 1995, kết quả đầy
đủ về bán kính ổn định thực được công bố bởi L. Qiu và các đồng tác giả trong [99]. Sự
phức tạp của công thức bán kính ổn định thực đã dẫn đến nhiều khó khăn trong vấn đề
tính toán bằng máy tính. Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán chỉ
cho kết quả của các chặn trên, xem [17]. Tuy nhiên, trong trường hợp hệ dương thì kết
quả nhận được là rất đẹp khi bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực trùng nhau
và có thể tính toán được một cách dễ dàng bởi các kết quả của N. K. Sơn và D. Hinrichsen trong [61, 62, 104]. Sau đó, bán kính ổn định của hệ dương được nghiên cứu rộng
hơn và sâu hơn bởi các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc trong [106, 107, 108, 109].
Cần chú ý rằng các kết quả kể trên đều nghiên cứu bán kính ổn định dưới tác động của
đơn nhiễu. Và cũng chính các tác giả N. K. Sơn và P. H. A. Ngọc [87] đã khởi xướng
cho sự phát triển của bán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu. Các mở rộng cho
nhiều loại hệ động lực khác nhau có thể được tìm thấy trong [90, 91, 92] và các trích
dẫn trong bản thân các tài liệu đó.
Bán kính ổn định đối với các hệ động lực trong không gian vô hạn chiều được xem
xét và nghiên cứu gần như song song với các kết quả trên không gian hữu hạn chiều.
Sau kết quả của A. J. Pritchard và S. Townley [96] là rất nhiều kết quả khác, xem
[34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] và các trích dẫn trong bản thân các tài liệu đó. Trong đó,
các tác giả A. Fischer, D. Hinrichsen và N. K. Sơn [34, 35] đã nghiên cứu bán kính ổn
định của các hệ dương trên không gian vô hạn chiều thông qua các toán tử Metzler - đối
với hệ liên tục, và toán tử đóng bị chận dương - đối với hệ rời rạc. Tuy nhiên, các kết
quả trên không gian vô hạn chiều chỉ xét cho trường hợp đơn nhiễu. Lúc này, bán kính
ổn định cho trường hợp đa nhiễu trên các không gian vô hạn chiều được xem như là một
bài toán mở - xem [34] - vì các kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu trên các không gian
hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn tại của các vectơ riêng. Và đóng góp đầu tiên
của luận án - xem [T5] - là giải quyết bài toán mở đó cho hệ liên tục có chậm sau
˙ = A 0 u(t) + A 1 u(t − h1) + ... + A N u(t − h N ), t ≥ 0,
u(t)

2


định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận
án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là s(A 0 + A 1 +...+ A N )

việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp
cao dương, luận án chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương là
r(A 0 + A 1 + ... + A K ) < 1, với r(.) là bán kính phổ. Hơn nữa, nếu các toán tử D i j và E i j ,
i ∈ K, j ∈ N , là dương và D uv = D i j (hoặc E uv = E i j ) với mọi i, u ∈ K, j, v ∈ N , thì các

bán kính ổn định phức, thực và dương trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản
sau
rC = rR = r+ =

1
.
max ||E i j (I − A 0 − A 1 − ... − A K )−1 D i j ||
i∈K , j ∈ N

Ngoài ra, luận án còn xét đến trường hợp hệ rời rạc cấp cao dương bị nhiễu dưới dạng
N

Ai → Ai +

δi j B i j ,

i ∈ K,

j =1

với B i j , i ∈ K, j ∈ N là các toán tử dương xác định cấu trúc của nhiễu và δ i j , i ∈ K, j ∈
N, là các hệ số chưa biết. Trong trường hợp này, các bán kính ổn định phức, thực và

dương cũng trùng nhau và được cho bởi công thức đơn giản sau
r δC = r δR = r δ+ =

dưới điều kiện về tính dương cho các ma trận xác định cấu trúc nhiễu, bán kính ổn định
không phụ thuộc trễ phức, thực và dương cũng trùng nhau và được cho bởi các công
thức đơn giản sau
rC = rR = r+ =

1
maxi∈ N, j ∈K E i j [I − A 1 − ... − A N ]−1 D i j

r δC = r δR = r δ+ =

1

.

−1

r [I − A 1 − ... − A N ]

,

i∈ N, j ∈K

Bi j

Điều này cũng cho thấy rằng tính ổn định của phương trình sai phân dương là bền vững.
Song song với sự phát triển của lý thuyết ổn định, tính điều khiển được của hệ động
lực được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của R. E. Kalman [68]
và M. L. J. Hautus [49] vào những năm 1960. Tính điều khiển được nghiên cứu các
lớp hàm điều khiển chấp nhận được sao cho, dưới tác động của nó, hệ thống được điều
khiển về vị trí mong muốn. Sự bền vững của tính điều khiển được khởi xướng từ đầu

B → B + D ∆B E B .

Lúc đó, các bán kính điều khiển được cho các trường hợp cả hai ma trận A và B bị
nhiễu, hay chỉ một trong hai ma trận A và B bị nhiễu được cho bởi công thức
r CAB = min σmin
λ∈C

(E ∗A )†(A ∗ − λ I n )
(E ∗B )† B∗

, D∗ ,

r CA = min σmin (E ∗A )†(A ∗ − λ I n )NB∗ , D ∗ NB∗ ,
λ∈C

r CB

=

min σmin (E ∗B )† B∗ N(A ∗ −λ∗ I n ) , D ∗ N(A ∗ −λ∗ I n ) ,

λ∈σ(A)

trong đó, σmin (., .) là giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất, † ký hiệu cho nghịch đảo MoorePenrose và N(.) là ma trận mà các cột của nó tạo thành cơ sở của null(.) - không gian con
nhân. Trường hợp các bán kính điều khiển được phức và thực trùng nhau được nghiên
cứu thông qua các tính chất đối xứng của ma trận.
Câu hỏi cho các kết quả của R. E. Kalman và M. L. J. Hautus về tính điều khiển
được trên không gian vô hạn chiều cho hệ với các toán tử không bị chận hiện vẫn là
một bài toán mở, xem [16]. Kết quả mới nhất gần đây là của B. Jacob và J.R. Partington
[66] cho trường hợp toán tử có phổ rời rạc và chéo hóa được. Đối với trường hợp các

kính điều khiển được cho các trường hợp khi chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay
khi hệ bị tác động bởi nhiễu có cấu trúc, xem [T12, T13].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được chia làm 2 phần về bán kính ổn định và bán kính điều khiển được - gồm 6 chương như sau:
• Chương 1: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ liên tục có chậm dưới tác
động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều, trong đó đặc biệt chú
trọng đến hệ dương thông qua toán tử Metzler; các kết quả đạt được của chương
7


này đã được công bố trong [T1, T5].
• Chương 2: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ rời rạc cấp cao dưới tác động
của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều; điều kiện cần và đủ cho
tính ổn định của hệ dương được thiết lập thông qua việc mở rộng định lý PerronFrobenius đối với đa thức đặc trưng; các kết quả đạt được của chương này đã được
công bố trong [T6] và nhận đăng trong [T7].
• Chương 3: nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân liên tục theo thời
gian; trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông qua việc mở rộng định lý
Perron-Frobenius đối với tựa đa thức đặc trưng; tính ổn định bền vững không phụ
thuộc trễ được nghiên cứu một cách tổng quát thông qua tính ổn định bền vững
của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số; các kết quả đạt được của chương
này đã được công bố trong [T8, T9] và gửi đăng trong [T2].
• Chương 4: trình bày công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp
vô hạn chiều đối với nhiễu không cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31,
32, T10]; các kết quả đạt được của chương này đã được nhận đăng trong [T3].
• Chương 5: thiết lập công thức bán kính điều khiển được của hệ cho trường hợp
hữu hạn chiều đối với nhiễu có cấu trúc, nhằm mở rộng các kết quả trong [31, 32];
các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T10, T11] và gửi
đăng trong [T4].
• Chương 6: trình bày thuật toán tính bán kính điều khiển được chủ yếu dùng cho
trường hợp chỉ một thành phần của hệ là bị nhiễu hay hệ bị tác động bởi nhiễu có
cấu trúc; công thức và thuật toán tính toán cho bán kính ổn định hóa được cũng

J. Pritchard [54]; sau đó, [35] nghiên cứu bài toán trong trường hợp A là toán tử Metzler
và chỉ ra rằng bán kính ổn định thực và phức của hệ là trùng nhau và có thể được tính
toán một cách dễ dàng.
Trong chương này, chúng tôi xem xét hệ liên tục có chậm sau
(1.1)

˙ = A 0 u(t) + A 1 u(t − h1) + ... + A N u(t − h N ), t ≥ 0,
u(t)

trong đó A i là các toán tử trên không gian Banach X , và h i ∈ R+ := (0, +∞), với mọi
i ∈ N := 1,2, ..., N .

10


Bố cục của chương này được trình bày như sau. Trước hết, chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc. Tính
ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2.
Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3. Cuối cùng là kết quả đối với tính ổn
định không phụ thuộc trễ. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong
[T1, T5].

1.1 Toán tử Metzler
Cho X là không gian Banach phức và A : X −→ X là toán tử đóng, tập phổ của A
được ký hiệu là σ(A), tập giải của A được ký hiệu là ρ (A) := C\σ(A) ,và đặt R(λ, A) :=
(λ I − A)−1 ∈ L (X ) - tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X - với λ ∈ ρ (A). Bán kính

phổ r(A) và chận trên phổ s(A) được định nghĩa như sau
r(A) := sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}


(d) |ER(λ, A)x| ≤ ER(ℜλ, A)| x|, ℜλ > s(A), x ∈ X , với E ∈ L + (X ,Y ).

Bây giờ, chúng tôi giả sử rằng toán tử A bị nhiễu với cấu trúc như sau
N

(1.2)

D i ∆i E i ,

A → A ∆ := A +
i=1

trong đó, D i ∈ L (U i , X ), E i ∈ L (X ,Yi ), i ∈ N := {1, ..., N }, là các toán tử xác định cấu
trúc của nhiễu và ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N , là các toán tử chưa biết.
Hàm truyền G i j : ρ (A) → L (U j ,Yi ) gắn với bộ các toán tử (A, D i , E j ) được định
nghĩa bởi
G i j (λ) := E i R(λ, A)D j , λ ∈ ρ (A), i, j ∈ N.

Ta có hàm truyền G i j (·) là giải tích trên ρ (A).
Mệnh đề 1.1.4. Cho λ ∈ ρ (A) và ∆ i ∈ L(Yi ,U i ), i ∈ N , nếu
N

||∆ i ||




E1

0

 . 
.. 
 .. 
,
E
=
. 




...

. .. ∆ N

EN




∆1G 11 (λ)

∆1G 12 (λ)


||∆ i G i j (λ)|| < 1.

i∈ N j =1

Do đó, toán tử [I − ∆ER(λ, A)D] là khả nghịch. Suy ra toán tử [I − D ∆ER(λ, A)] cũng
khả nghịch và
[I − D ∆ER(λ, A)]−1 = I + D[I − ∆ER(λ, A)D]−1∆ER(λ, A).

Ngoài ra,
[λ I − (A + D ∆E)]−1 = R(λ, A)[I − D ∆ER(λ, A)]−1

Hay λ ∈ ρ (A + D ∆E) = ρ (A +

N
i=1 D i ∆ i E i ).

Định nghĩa 1.1.5. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz. Các bán kính ổn định (Hurwitz)
thực, phức và dương của A đối với nhiễu cấu trúc (1.2) được định nghĩa như sau
N

||∆ i || : ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N, σ(A ∆ i ) ⊂ C− },

r C = inf{
i=1
N

r R = inf{
i=1
N


Chứng minh. Giả sử rằng
rC

Ta có ∆ ∈ L (Yi ,U i ) và
||∆|| ≤

1
1
≤
||G ii (λ)u|| ||G ii (λ)|| − ε

Xét các toán tử nhiễu (∆1 , ..., ∆ N ) được
 định nghĩa bởi
∆, j = i
∆j =
0, j = i

Ta có

N
j =1 ||∆ j || = ||∆||,

và (A +

j ∈ N.

N
j =1 D j ∆ j E j )x

= λ x, với x = R(λ, A)D u ∈ D (A). Từ

đó suy ra λ ∈ σ(A ∆). Do đó, theo định nghĩa của bán kính ổn định phức r C thì
N

15


Chứng minh. Vì s(A) < 0 và E i , D i , i ∈ N , là các toán tử dương, nên theo Định lý
1.1.3 ta có
0 ≤ G ii (t 2 ) ≤ G ii (t 1) và G ii (t 2) ≤ G ii (t 1 ) , ∀ i ∈ N, 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ,
G ii (λ) ≤ G ii (ℜλ) ≤ G ii (0) , ∀λ ∈ C, ℜλ ≥ 0.

Do đó, từ Định lý 1.1.6, suy ra
rC =

1
.
max ||G ii (0)||
i∈ N

Ngoài ra, theo định nghĩa ta có
r C ≤ r R ≤ r +.

Nên việc còn lại là chứng minh
r+ ≤

1
.
max ||G ii (0)||
i∈ N

Việc này được chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 bằng cách sử dụng định lý
Krein-Rutman thay cho định lý Hahn-Banach để xây dựng nhiễu cụ thể.
Định lý 1.1.6 và 1.1.8 mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều các kết quả của [87]. Kỹ

+
A i u(t − h i), t ≥ 0,
u(t)

0


i=1

(1.3)

u(0) = x,





 u(t) = f (t), t ∈ [− h,0).
p

Trong đó, x ∈ X và f ∈ L p ([− h,0); X ) là các giá trị đầu. Hàm u(·) ∈ L l oc ([− h, +∞); X )
được gọi là nghiệm của(1.1) nếu

T(t)x +

u(t) =

t
0 T(t − s)



17


tục (T (t)) t≥0 được định nghĩa bởi
(T (t))(x, f ) := (u(t), u t), t ≥ 0,

với u t(s) := u(t + s), s ∈ [− h,0); hơn nữa, hệ (1.1) là ổn định mũ khi và chỉ khi nửa nhóm
(T (t)) t≥0 là ổn định mũ, hay ω1 (A ) < 0.

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1), chúng tôi xét đến toán tử có dạng tựa đa
thức đặc trưng sau
N

(1.4)

P(λ) := A 0 +

e−λh i A i .

i=1

Tập phổ, tập giải và chận trên phổ của toán tử tựa đa thức P(·) được định nghĩa bởi
σ(P(·)) := {λ : λ ∈ σ(P(λ))},
ρ (P(·)) := C\σ(P(·)),

s(P(·)) := sup{ℜλ : λ ∈ σ(P(·))}.

Mệnh đề 1.2.2. [36] Ta có λ ∈ ρ (A ) khi và chỉ khi λ ∈ ρ (P(λ)). Lúc đó,
R(λ, A ) = E λ R(λ, P(λ))Hλ F + Tλ ,

thông qua nghiên cứu toán tử tựa đa thức (1.4). Tiếp theo, chúng tôi mở rộng định lý
Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4).
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tựa đa thức (1.4) được gọi là dương nếu A 0 sinh nửa nhóm
dương liên tục và A i ∈ L +(X ), với mọi i ∈ N .
Cần chú ý rằng nếu toán tử tựa đa thức (1.4) là dương thì hệ (1.1) cũng là một hệ
dương, nghĩa là với mọi giá trị đầu f ∈ L p ([− h,0); X +) và x ∈ X + , nghiệm tương ứng
u(t, x, f ), t ≥ 0 thỏa mãn u(t, x, f ) ∈ X + với mọi t ≥ 0. Nên ta có định nghĩa tương tự

rằng hệ (1.1) được gọi dương nếu toán tử tựa đa thức (1.4) tương ứng là dương. Nhờ
biểu diễn của R(·, A ) trong Mệnh đề 1.2.2, ta thu được kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.5. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, và λ1 , λ2 ∈ R, các phát biểu sau
đây là tương đương:
(a) R(λ1 , P(λ1 )) ≥ R(λ2 , P(λ2 )) ≥ 0;
(b) R(λ1 , A ) ≥ R(λ2 , A ) ≥ 0.
Chứng minh. Do E λ , Hλ , F, và Tλ là các toán tử dương với mọi λ ∈ R, ta suy ra
(a) ⇒ (b). Ngược lại, lấy f = 0, và x ∈ X , ta có
R(λ, A )(x,0) = R(λ, P(λ))(x).

Do đó, ta nhận được (b) ⇒ (a).
Chú ý rằng toán tử A sẽ sinh nửa nhóm dương liên tục nếu A 0 sinh nửa nhóm dương
liên tục và A i ∈ L + (X ), với mọi i ∈ N , xem [36]. Sử dụng Định lý 1.1.3 và Mệnh đề
1.2.5, ta thu được Định lý Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4), là một mở

rộng đối với kết quả trong [88].
Định lý 1.2.6. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, ta có
(a) s(P(·)) ∈ σ(P(·));
19


(b) R(λ, P(λ)) ∈ L + (X ) khi và chỉ khi λ > s(P(·)), với λ ∈ R;

r[R(t 0, A 0 )]. Do đó, từ (1.5), ta có s(A 0 ) ≤ s(A 0 + A 1 ... + A N ). Như vậy, từ (b) ta suy ra

được s(A 0 ) < 0. Tương tự, ta có s(A 0 + 1t (A 1 ... + A N )) < 0 với mọi t ≥ 1. Mặt khác,
1
tI − (− A 0)−1 (A 1 + ... + A N ) = tA 0−1 [A 0 + (A 1 + ... + A N )],
t
20