MỤC LỤC
Trang
1. Đặt vấn đề:…………………………………………………………… 3
1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. 3
1.2. Phạm vi đề tài....................................................................................... 4
2. Giải quyết vấn đề:. ................................................................................ 4
2.1. Thực trạng vấn đề. .............................................................................. 4
2.2. Các giải biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề......................... 5
2.2.1. GeoGebra là gì? ................................................................................ 5
2.2.2. Các công cụ cơ bản ........................................................................... 5
2.2.3. Điểm chuyển động trên một đường ................................................ 13
2.2.3.1. Cách tạo điểm chuyển động trên đường thẳng ............................ 14
2.2.3.2. Cách tạo điểm chuyển động trên đường tròn hay đường elip ..... 14
2.2.4. Tịnh tiến một điểm hoặc một hình theo một vectơ cho trước ........ 16
2.2.4.1. Tịnh tiến một điểm theo một vectơ cho trước ............................. 17
2.2.4.2. Tịnh tiến một hình theo một vectơ cho trước .............................. 18
2.2.4.3. Dùng chức năng tịnh tiến để phân chia lắp ghép một hình ......... 19
2.2.5. Dùng chức năng phép quay để biến một điểm, một hình theo
một góc quay cho trước thành một điểm, một hình ......................................... 20
2.2.5.1. Các lệnh phép quay trong GeoGebra ........................................... 20
2.2.5.2. Dùng chức năng phép quay kết hợp với thanh trượt để tọa một
điểm chuyển động trên một đường tròn hay một elip ...................................... 20
2.2.6. Áp dụng các chức năng tạo hình nón tròn xoay ............................ 22
2.2.7. Dùng chức năng thanh trượt và kết hợp phép quay để tạo một
điểm chuyển động ............................................................................................ 24
2.2.7.1. Các bước tiến hành ...................................................................... 24
2.2.7.2. Vận dụng chức năng thanh trượt và kết hợp phép quay để tạo
một điểm chuyển động nhằm thiết kế trãi hình hộp ................................ 26
Trang 1



thời gian hơn để luyện giải toán thông qua các hình vẽ động đã học được. Mỗi
giáo viên muốn cho học sinh của mình dễ tiếp thu kiến thức và làm được điều đó
đòi hỏi phải biết sử dụng công nghệ thông tin, xây được các hình học động cơ
bản.
Qua quá trình giảng dạy và tự nghiên cứu bản thân đã tích lũy một số kinh
nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề mà tôi trình bày trong sáng kiến kinh
nghiệm này có một số chuyên đề mà bản thân đã báo cáo cho giáo viên trong tổ
Toán trường THPT Vinh Lộc và giảng dạy trên lớn cho học sinh, được nhiều
giáo viên trong tổ hưởng ứng và ứng dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh
tiếp thu dễ hiểu.

Trang 3


b) Cơ sở thực tiễn:
Qua quá trình giảng dạy môn Toán và bồi dưỡng họ sinh giỏi, bản thân tôi
thấy được sự cần thiết của việc ứng dụng các phần mềm để xây dựng hình học
động ứng dụng vào dạy học nhằm đơn giản hơn cho một tiết dạy của giáo viên.
Học sinh thông qua các hình động trực quan dễ tiếp thu hơn, nên tôi đã tích lũy
một số kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2013 – 2014, tôi đã hệ
thống lại và viết sáng kiến kinh nghiệm từ những chuyên đề mà bản thân đã
nghiên cứu và viết, để trở thành một sáng kiến kinh nghiệm.
1.2. Phạm vi đề tài:
- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên bộ môn Toán nói
riêng và giáo viên các bộ môn khác muốn xây dựng hình động ở các trường
trung học phổ thông nói chung.
- Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu các công cụ cơ bản trong phần
mềm GeoGebra và các bước xây dựng một số hình động cơ bản.
- Phạm vi nghiên cứu đề tài này gồm:
* Chỉ trình bày một số công cụ cơ bản của phần mềm GeoGebra (trên phiên

GeoGebra là một phần mềm toán học kết hợp hình học, đại số và vi tích
phân. Chương trình được phát triển cho việc dạy toán trong các trường học bởi
Markus Hohenwarter tại Đại học Florida Atlantic.
Một mặt, GeoGebra là một hệ thống hình học động. Ta có thể dựng hình
theo điểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường conic, cũng như đồ thị hàm
số, và có thể thay đổi chúng về sau.
Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhập vào trực tiếp. Do đó,
GeoGebra có thể làm việc với nhiều loại biến số như số, vectơ, và điểm, tìm đạo
hàm, tích phân của hàm số, và cung cấp các lệnh như nghiệm và cực trị,…
2.2.2. Các công cụ cơ bản:
Để dễ hình dung, trước khi đi trình bày các bước dựng hình động cơ bản
trong phần mềm GeoGebra dựa trên các hình động cụ thể, tôi xin trình bày các
công cụ cơ bản trong phần mềm:

Trang 5


Di chuyển: Ta có thể sử dụng chuột để kéo và thả các đối tượng tự do.
Khi ta nhấp chọn một đối tượng trong công cụ

Di chuyển, ta có thể:

Xóa đối tượng bằng nút Del.
Di chuyển đối tượng bằng các phím mũi tên.
*Ghi chú: Ấn phím Esc cũng có thể chuyển sang công cụ Di chuyển.
Ấn giữ phím Ctrl để chọn nhiều đối tượng cùng lúc hoặc ấn giữ nút trái
chuột và kéo chọn một vùng hình chữ nhật đi qua các đối tượng cần chọn. Sau
đó ta có thể di chuyển các đối tượng này bằng cách dùng chuột kéo một trong số
đó.
Vùng chọn này cũng được dùng để chỉ định một phần của hình để in, xuất.

Bằng cách nhấp chuột lên đoạn thẳng, đường thẳng, đa giác, đường conic,
đồ thị hàm số hoặc đường cong, ta sẽ tạo một điểm trên đối tượng đó. Nhấp lên
nơi giao nhau của 2 đối tượng sẽ tạo giao điểm của 2 đối tương này.
Giao điểm của 2 đối tượng: Giao điểm của hai đối tượng có thể được
xác định theo 2 cách:
- Đánh dấu hai đối tượng: Xác định tất cả các giao điểm của hai đối tượng
(nếu có).
- Nhấp chuột vào nơi giao nhau của hai đối tượng: Chỉ xác định một giao
điểm tại đó.
Đối với đoạn thẳng, tia, cung tròn, chỉ định có lấy giao điểm ở xa hay
không. Tính năng này có thể dùng để lấy giao điểm nằm trên phần kéo dài của
đối tượng. Ví dụ, phần kéo dài của một đoạn thẳng hoặc một tia là một đường
thẳng.
Trang 7


Trung điểm hoặc tâm điểm: Nhấp chọn:
- Hai điểm để xác định trung điểm.
- Đoạn thẳng để xác định trung điểm.
- Đường conic để xác định tâm.
Vectơ qua 2 điểm: Xác định điểm gốc và điểm ngọn của vectơ.
Vectơ qua 1 điểm: Xác định một điểm A và một vectơ v để vẽ điểm B
sao cho AB  v .
Đoạn thẳng: Xác định 2 điểm A và B để vẽ đoạn thẳng AB. Chiều dài
của đoạn thẳng AB sẽ được hiển thị trong cửa sổ đại số.
Đoạn thẳng với độ dài cho trước: Nhấp chọn điểm A và nhập vào
hộp thoại hiện ra chiều dài đoạn thẳng.
*Ghi chú: Đoạn thẳng AB có độ dài a và chỉ có thể quay quanh điểm A với
công cụ


- Xác định đường thẳng a và đường conic c để vẽ tất cả các tiếp tuyến của c
song song với a.
Chọn điểm A và hàm số f để vẽ tiếp tuyến của hàm f tại x  x A . .
Đường đối cực hoặc đường kính kéo dài: Công cụ này sẽ vẽ đường
đối cực hoặc đường kính kéo dài của đường conic:
- Chọn 1 điểm và 1 đường conic để vẽ đường đối cực.
- Chọn 1 đường thẳng hoặc 1 vectơ và 1 đường conic để vẽ đường kính kéo
dài.
Đường tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đường tròn: Chọn điểm M
và điểm P để vẽ đường tròn tâm M và qua P. Bán kính đường tròn là MP.
Trang 9


Đường tròn khi biết tâm và bán kính: Sau khi chọn tâm M, sẽ xuất
hiện một hộp thoại, hãy nhập độ dài bán kính vào.
Đường tròn qua 3 điểm: Chọn 3 điểm A, B và C để vẽ đường tròn
qua 3 điểm. Nếu 3 điểm thẳng hàng thì đường tròn sẽ suy biến thành đường
thẳng.
Đường Conic qua 5 điểm: Chọn 5 điểm để vẽ một đường conic qua 5
điểm đó.
*Ghi chú: Nếu 4 trong 5 điểm thẳng hàng, thì sẽ không vẽ được đường
conic.
Hình bán nguyệt: Chọn 2 điểm A và B để vẽ hình bán nguyệt qua
đoạn thẳng AB.
Cung tròn khi biết tâm và 2 điểm trên cung tròn: Chọn 3 điểm M,
A và B để vẽ một cung tròn có tâm M và 2 điểm đầu mút A và B.
*Ghi chú: Điểm B không nằm trên dây cung.
Hình quạt khi biết tâm và 2 điểm trên hình quạt: Chọn 3 điểm M, A
và B để vẽ một hình quạt có tâm M và 2 điểm đầu mút A và B.
*Ghi chú: Điểm B không nằm trên dây cung.

Góc với độ lớn cho trước: Chọn 2 điểm A, B và nhập vào hộp thoại
độ lớn của góc. Công cụ này sẽ tạo một điểm C và một góc  , với  là góc
ABC.
Hộp chọn hiện / ẩn đối tượng: Nhấn chuột lên vùng làm việc để tạo
một hộp chọn để hiện hoặc ẩn nhiều đối tượng, Trong cửa sổ hiện ra, ta có thể
chỉ định đối tượng nào sẽ bị tác động bởi hộp chọn.
Trang 11


Quỹ tích: Xác định một điểm muốn vẽ quỹ tích (B) phụ thuộc vào một
điểm khác (A). Sau do nhấn chuột vào điểm A.
*Ghi chú: Điểm B phải là một điểm trên một đối tượng (như: đường thẳng,
đoạn thẳng, đường tròn, đường conic).
Ví dụ:
Nhập f  x   x ^ 2  2 x  1 vào khung nhập lệnh.
Vẽ một điểm A trên trục x.
Vẽ điểm B = (x(A), f’(x(A))), điểm B phụ thuộc vào điểm A.
Chọn công cụ

Quỹ tích và nhấp chọn lần lượt lên điểm B và điểm A.

Kéo điểm A dọc theo trục x để thấy điểm B di chuyển theo đường quỹ tích
của nó.
Các phép biến đổi hình học: Các phép biến đổi hình học cho điểm, đường
thẳng, đường conic, đa giác, ảnh.
Đối xứng qua tâm: Đầu tiên, chọn đối tượng cần lấy đối xứng, sau đó
nhấp chọn điểm sẽ làm tâm đối xứng.
Đối xứng qua trục: Đầu tiên, chọn đối tượng cần lấy đối xứng, sau đó
nhấp chọn đường thẳng sẽ làm trục đối xứng.
Xoay đối tượng quanh tâm theo một góc: Đầu tiên, chọn đối tượng

TeX ta được cú pháp LaTex là:
$\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{4}}+2}$). Các công thức khác ta làm
tương tự.
Chèn ảnh: Công cụ này cho phép ta chèn ảnh vào hình vẽ.
2.2.3. Điểm chuyển động trên một đường:
Để tạo một điểm chuyển động tự do trên một đường (đường thẳng hoặc
đường tròn) bằng phần mềm GeoGebra là rất đơn giản, nhưng để tạo một điểm
chuyển động trên một đường theo mong muốn thì không đơn giản cho một số
người mới làm quen với phần mềm. Tôi xin giới cách tạo như sau một điểm
chuyển động trên một đường thẳng và đường tròn như sau:
Trang 13


2.2.3.1. Cách tạo điểm chuyển động trên đường thẳng:

Chọn Thanh
trượt tên a, cực
tiểu 0, cực đại 1,
số gia 0,001
Chọn Điểm
mới để vẽ
điểm A

Chọn Đoạn
thẳng với độ
dài cố định:
Độ dài bằng
a*10

Vẽ đường

Cách 1:

Chọn thanh trượt vẽ góc
quay α: chọn góc, tên α
khoảng, cực tiểu 00 cực đại
3600 số gia 0,001

Vẽ đường tròn
khi biết tâm và
một điểm trên
đường tròn

Vẽ góc với độ
lớn cho trước:
Chọn điểm B,
điểm A ta được
góc BAB’

- Đầu tiên ta chọn biểu tượng

vẽ đường tròn khi biết tâm và một điểm

trên đường tròn để vẽ đường tròn tâm A bán kính AB (như hình vẽ).
vẽ góc quay  : Chọn góc, chọn tên  ,

- Chọn biểu tượng thanh trượt

vào mục khoảng chọn cực tiểu 00 , cực đại 3600 , và số gia 0, 0010 ta được thanh
trượt


đường tròn

Vẽ góc với độ
lớn cho trước:
Chọn điểm B,
điểm A ta được
góc BAB’

- Đầu tiên ta chọn biểu tượng

vẽ đường tròn khi biết tâm và một điểm

trên đường tròn để vẽ đường tròn tâm A bán kính AB (như hình vẽ).
- Chọn biểu tượng

thanh trượt vẽ thanh trượt a: Chọn số, chọn tên a,

vào mục khoảng chọn cực tiểu 0, cực đại 1, và số gia 0,001 ta được thanh trượt a
(như hình vẽ).
- Chọn biểu tượng

vẽ góc với độ lớn cho trước, sau đó chọn điểm B,

điểm A ta được một góc BAB ' , tiếp theo bấm chuột phải vào điểm B và chọn
mục hiển thị đối tượng để ẩn điểm B.
- Khi di chuyển thanh trượt a thì điểm B’ chuyển động trên đường tròn tâm
A.
Chú ý: Nếu muốn thay đổi sự chuyển động của điểm B’ ta thay đổi giá trị
của thanh trượt a.
2.2.4. Tịnh tiến một điểm hoặc một hình theo một vectơ cho trước:


vẽ vectơ qua 2 điểm để vẽ vectơ u.
vẽ điểm mới vẽ điểm C.

- Vào thanh nhập lệnh bên dưới màn hình gõ vào lệnh PhepTinhTien[
<Điểm>, <Véctơ tịnh tiến> ] với <Điểm> chọn C, <Vectơ tịnh tiến> chọn a*u
ta được điểm C’.
Trang 17


- Khi di chuyển thanh trượt a thì điểm C’ chuyển động, khi giá trị của a
bằng 1 thì độ dài CC’ bằng độ dài vectơ u.
2.2.4.2. Tịnh tiến một hình theo một vectơ cho trước:
- Đầu tiên vào biểu tượng

tạo thanh trượt a: chọn số, với cực tiểu 0,

cực đại 1 và số gia 0,001.
- Chọn biểu tượng

vẽ vectơ qua 2 điểm để vẽ vectơ u.

- Chọn biểu tượng

vẽ đường tròn khi biết tâm và 1 điểm trên đường tròn

để vẽ đường tròn c (Chọn màu cho hình tròn).
- Vào thanh nhập lệnh bên phía dưới màn hình gõ vào lệnh PhepTinhTien[
<Điểm>, <Véctơ tịnh tiến> ] với <Điểm> chọn c, <Vectơ tịnh tiến> chọn a*u ta
được đường tròn c’.


2.2.5. Dùng chức năng phép quay để biến một điểm, một hình theo một
góc quay cho trước thành một điểm, một hình:
Chức năng phép quay để biến một điểm, một hình theo một góc quay cho
trước thành một điểm, một hình trong phần mềm GeoGebra ta thường dùng để
dạy bài phép quay trong hình học 11 hoặc vẽ hình học không gian động trực
quan.
* Phép quay:
Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O
thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM '  OM và
góc lượng giác  OM ; OM ' bằng  được gọi là phép quay tâm O góc .
OM '  OM
QO,   M   M '  
 OM , OM '  


2.2.5.1. Các lệnh phép quay trong GeoGebra:
Trong GeoGebra có hai lệnh của phép quay:
PhepQuay[ <Đối tượng>, <Góc quay> ]: Biến đối tượng thành một đối
tượng bằng nó khi biết một góc quay trước (không để ý đến tâm quay).
PhepQuay[ <Đối tượng>, <Góc quay>, <Tâm quay> ]: Biến đối tượng
thành một đối tượng bằng nó khi biết tâm quay và góc quay.
2.2.5.2. Dùng chức năng phép quay kết hợp với thanh trượt để tạo một
điểm chuyển động trên một đường tròn hay elip:
Để tạo một điểm chuyển động trên một đường tròn ta tiến hành theo các
bước sau:

Trang 20



vẽ tia DB’, tiếp theo chọn biểu tượng

để vẽ giao điểm E của tia DB’ và đường elip c. Các bước khác giống như ở
cách tạo một điểm chuyển động trên một đường tròn.

Trang 21


2.2.6. Áp dụng các chức năng tạo hình nón tròn xoay:
Chúng ta dùng các chức năng trên để tạo hình tròn xoay, chẳng hạn tạo hình
nón tròn xoay (như hình dưới) theo các bước sau:
- Tạo thanh trượt k: Vào biểu tượng

chọn số, tên k, cực tiểu 0, cực đại

1, số gia 0,001 ta được thanh trượt k.
- Vẽ đường elip: Vào biểu tượng
- Vào biểu tượng trung điểm

vẽ elip c.
chọn elip c vừa vẽ ta được điểm O, vào

thanh nhập lệnh ở phía dưới màn hình nhập vào dòng lệnh PhepViTu[ , <Tỉ số vị tự>, <Tâm vị tự> ] với đối tượng là đường elip c, tỉ số 0,5 và
tâm vị tự O biến đường c thành đường tròn c’.
- Vào biểu tượng
tượng

vẽ đường thẳng a đi qua 2 tiêu điểm A và B, vào biểu


vẽ tia OF’, sau đó chọn biểu tượng giao điểm của 2

lần lượt chọn tia OF’ và elip c, chọn tia OF’ và c’ ta được các giao

điểm K và L.
- Vào thanh nhập lệnh nhập vào dòng lệnh PhepTinhTien[ <Điểm>,
<Véctơ tịnh tiến> ] với Điểm là L, vectơ tịnh tiến là u rồi nhấn Enter ta được
điển L’ nằm trên đường c”.
- Sau đó vào biểu tượng
tượng giao điểm của 2 đường

vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm E và G, vào biểu
chọn đường thẳng EG và đường thẳng b ta

được giao điểm I, tiếp theo vào biểu tượng đoạn thẳng

vẽ đoạn thẳng đi qua

2 điểm K và I.
- Khi di chuyển thanh trượt k ta thấy các điểm K, L, L’ lần lượt chạy trên
các đường elip c, c’ và c”  đường gấp khúc IKL quay quanh trục b ta được
một hình nón tròn xoay. Để tạo vết cho đoạn thẳng khi di chuyển ta bấm chuột
phải và chọn vào mục Mở dấu vết khi di chuyển.

Trang 23


2.2.7. Dùng chức năng thanh trượt và kết hợp phép quay để tạo một
điểm chuyển động:
2.2.7.1. Các bước tiến hành như sau:

góc -900 và điểm D” quay quanh điểm C’ một góc 900.

Khi giá trị thanh trượt m bằng 1 (có thể thay bằng một số có giá trị lớn hơn)
thì 3 điểm B, C’ và D” nằm trên một đường thẳng. Nếu ta di chuyển thanh trượt
m ngược trở lại đến khi giá trị của m bằng 0 thì các điểm C’, D” về trùng với
các điểm C và D.

Trang 25