BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ VÂN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NÔI - 2015


2
LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của
thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp em rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Em xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt
quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

H à N ộ i , t h á n g 11 n ă m 2 0 1 5


các

nhà

toán

học

như

P.I.Kachurovski,

M.M.Vainberg,

M.I.Visik,

M.A.Crasnoselski, F.E.Browder, G.J.Minty, J.L.Lions, R.T.Rockafellar,.... Phương
pháp toán tử đơn điệu đã được áp dụng phổ biến trong lí thuyết phương trình đạo hàm
riêng phi tuyến. Những vấn đề được quan tâm là sự tồn tại nghiệm của phương trình,
các phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào những lớp phương trình cụ
thể. Cho đến nay lí thuyết phương trình với toán tử đơn điệu đã thu được những kết
quả rất phong phú.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương trình với toán tử đơn điệu nên tôi
đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình với toán tử đơn
điệu” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2.

Mục đích nghiên cứu


Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi
phân.

-

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.

-

Phân tích tổng hợp và hệ thống hóa.

6.

Đóng góp mới của luận văn
Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải một số phương trình toán tử
đơn điệu cụ thể.


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tác giả trình bày một số khái niệm và định lý Giải tích hàm như không gian metric, không gian
Banach, phép tính vi phân trong không gian Banach, không gian Hilbert. Trong chương này trình bày một số khái niệm đơn
điệu, một số khái niệm liên tục và một số tính chất của toán tử.

1.

Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co


.2

Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian metric. Ánh xạ A : X —> X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a, 0 < a < 1 sao
cho
d ( A x , Ay ) < a d ( x , y ) y x , y G X .

Định lý 1.1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (x,d ) vào chính nó đều
có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X * G X thỏa mãn Ax* = X * , X * là giới hạn của dãy
(x n), x n = A (æn_i), n = 1, 2,..., x 0 G X tùy ý và

< Oid (xn, xn-i) + ad {xn,x*)
=> (1 - a ) d { x n , X * ) < a d ( x n , x n - i )
= > d (x n , X *) < T- ^ — d ( x n , xn_i).
1—a

(Định lý được chứng minh)

□


2.

Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1. ( Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không
gian tuyến tính X trên trường p ( p = M hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X —> M, được gọi là chuẩn và ký hiệu là ||.||
thỏa mãn các tiên đề sau:

1 ) (Va; € A) ||a;|| > 0, ||a;|| = 0 X = ớ;
2 ) ( \ / x € A) (Va € p ) ||aa;|| = |a| ||a:||;
3 ) { V x , y e X ) \ \ x + y II < ||z|| + ||yII■


SỐ II2; II gọi là chuẩn của vectơ X. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề
chuẩn.
Định lý 1.2.1. Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt
d ( x , y ) = ||x - y II , V x , y G X, khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.2.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
tới điểm X £ X nếu lim \\x n — rc11 = 0, ký hiệu là lim x n = X hay x n —> X (n —> 00).

/

V

(Ve > 0) (3M eN*) (Vm, n > M) : \\x n — x m II < e
N2
3=1 (n)
< e2.

Suy ra (với mỗi j cố định, 1 < j < k ), (Ve > 0) {3Mj G N*) (Vm, n > Mj)
cơ bản hội tụ. Ký hiệu X j = lim x[ n \j = 1, k nghĩa là
e. Vậy với
j cốJ định thì dãy ^"^là một dãy
n mỗi
—V ÍYI
(n)
ta có

0) (Vj = 1, 2,..., fc) (3M5- G W) (Vn > Mj),
ta có
Đặt X = ( X j ) . = Y ^ , ta sẽ chứng minh (£„}) hội tụ đến X. Đặt
(n)


\\f(xo + h)-f(xo)-

=


thì toán tử A (æo) h được gọi là vi phân mạnh hay vi phân Fréchet tại X o ký hiệu là
D Ị (æo, h ) và toán tử tuyến tính A (æo) được gọi là đạo hàm mạnh hay đạo hàm
Fréchet của / tại x 0 kí hiệu là /' (æ0).
Định nghĩa 1.2.7. (Đạo hàm Gâteaux) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, ư là
tập mở trong X, x 0 G ư , toán tử / : ư —> Y . Nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn A
(æ0) : X —> Y sao cho
lim A x o + t h ) - f ( x 0 ) = A / ) h y h e x
thì toán tử A (æo) h được gọi là vi phân yếu hay vi phân Gâteaux tại X o ký hiệu là
D w f (æ0, h ) và toán tử tuyến tính A (æ0) được gọi là đạo hàm yếu hay đạo hàm
Gâteaux của / tại X o với số gia h, kí hiệu là f' w (æo) h
Định nghĩa 1.2.8. Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian liên hợp của X,
X ** = (X*)*. Không gian X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X**.
Định lý 1.2.2. Giả sử X là không gian Banach, X* là không gian liên hợp của X. Khi
đó X* là không gian phản xạ khi và chỉ chi X phản xạ.
Định nghĩa 1.2.9. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu từ các
điều kiện ||a:|| < 1, ||y|| < 1 và X Ỷ y 'thì suy ra ||æ + y II < 2.
Định nghĩa 1.2.10. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi đều nếu Ve > 0,
3Ố (e) > 0 sao cho Vx,y mà ||a:|| < 1, ||y|| < 1; ||rr + y II > £ thì suy ra ||æ — y II < 2 (1
— ố (s:)).
Định lý 1.2.3. Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ.
Định lý 1.2.4. Nếu X là không gian Banach lồi đều thì từ hai điều kiện x n —' X trong
X và llalli —>• ||a:|| thì x n —> X .
Định lý 1.2.5. (Định lí Banach-Steinhaus) Giả sử X là không gian Banach, Y là không
gian định chuẩn. (A n) là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục A n e L (X, Y).
Nếu với mỗi X G X dãy (||Ẩn (æ)||) bị chặn thì các chuẩn (||Ẩn||) bị chặn. (Dãy (||Ẩn

lim ( f n , x n ) = ( f , x ) (/ e X * , x e X ) .
n—¥ 00


Định lý 1.2.9. Nếu X là không gian Banach phản xạ thì mọi hình cầu đóng đều là tập
compăc yếu. Suy ra V (x n ) bị chặn thì
3 (x n J c { x n ) , x n X.
Bổ đề 1.2.2. Nếu tất cả các dãy con hội tụ yếu của một dãy bị chặn (x n ) trong không
gian Banach phản xạ X hội tụ đến cùng một điểm X thì x U k X .
Định nghĩa 1.2.11. Cho X là không gian Banach và X * là không gian lồi chặt. Ảnh xạ
J : X —> X* thoả mãn điều kiện
(Jx,x) = ||æ||^- = ||Jæ||^.
được gọi là toán tử đối ngẫu trong không gian X.
Bố đề 1.2.3. Nếu không gian liên hợp X* của không gian Banach X là không gian lồi
chặt thì với mỗi X G X tồn tại duy nhất một phần tử Jx G X* sao cho (Jx,x ) = ||a:||^.
= ||«/a:||^.„.
Bố đề 1.2.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ, X* lồi ngặt, khi đó toán tử đối
ngẫu J là toán tử demi liên tục.
Bố đề 1.2.5. Giả sử 11 Ễ CKSjX) khi đó Ví, s G S,s < t ta có Sup \\u' (T)|| < +00 và
||ư (t ) — U (s)II < (t — s) Sup \\u' (r)||.
S

Toán tử đơn điệu

1.4.1

Một số khái niệm đơn điệu

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian định chuẩn thực, X * là không gian liên hợp
của X, toán tử A: X —> X*.

-

Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nếu


( A u — Av, u — v ) > 0, Vu , v £ X .

-

Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt (hay đơn điệu thực sự) nếu
( A u — Av, u — v ) > 0, Vư Ỷ v ì Vu ì V £ X .

-

Toán tử A được gọi là d-đơn điệu nếu
(Au — Av, u — v) > (a (||ri||) — a; (liu II)) (11^11 — ||'U||),V'U,'UGX,

trong đó a là hàm số tăng nghiêm ngặt trên [0; +00).

-

Toán tử A được gọi là hêmi liên tục nếu \/u,v, h € X , Ví € [0; 1], hàm ip(t) = (A(u
+ tv), h) liên tục trên [0,1].


-

Toán tử A được gọi là đêmi liên tục nếu u n -7 u thì Au n —" Au.

Toán tử A được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho II.Alt —
Aitll^-, < M||it — v\\ x ,Vu,v € X.

-

Toán tử A được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số Ị 1 xác định trên [0,
oo) sao cho Vií, V e X thì
IIAlt — Ai; II < ỊJL{R) ||IÍ — u||, trong đó R = max (||ií|| , ||u||).

1.4.3

Một số tính chất của toán tử

Định nghĩa 1.4.3. Cho X là không gian định chuẩn thực, X* là không gian liên hợp
của X. Toán tử A: X —> X* được gọi là toán tử coercive (toán tử bức) nếu tồn tại
hàm số 7 xác định trên [0; +oo), lim 7 (s) =

s —» + oo

Too sao cho (Alt,lí) > 7(||ií||) ||ií|| , Vií e X.
Nhận xét 1.4.2. - Nếu Ả là toán tử đơn điệu đều thì Ả là toán tử bức với hàm số 7
được xác định: 7(s) = (s — l)p(l) — ||ẨỚ||.

- Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn nếu mọi tập K bị chặn trong X thì A(K)
bị chặn trong X*.
- Toán tử A được gọi là toán tử bị chặn địa phương nếu Vu tùy ý cố định U G
X, > 0 sao cho mọi V thuộc hình cầu s (u,s) tâm u bán kính £ thì tập A(v) bị chặn.
Nghĩa là 3c > 0, c = const sao cho Vv G (s (ư,e)) thì ịịAvịị^ < c.
Nhận xét 1.4.4. - Nếu A là toán tử liên tục Lipschitz bị chặn thì A bị chặn địa

-

phương.
Nếu A là toán tử đêmi liên tục thì A bị chặn địa phương.

-

Nếu A là toán tử bị chặn thì A bị chặn địa phương.
Định nghĩa 1.4.7. Toán tử A có dạng A = ưA QL được gọi là toán tử mở rộng năng
lượng của toán tử E (với tập xác định tự nhiên là M {E)), với tập xác định là D (E )
và với miền giá trị là R (E). Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

a ) A 0 là toán tử đêmi liên tục của một không gian Banach Y nào đó vào không gian liên
hợp của nó là Y*]

b ) L là toán tử tuyến tính từ một không gian Banach phản xạ V nào đó vào Y sao cho ||
Z/it||0 = ||it|| , Vu G V ;

c ) V trù mật và được nhúng liên tục vào không gian Hilbert H nào đó sao cho D (E ) c V,
R (E ) c H và có đẳng thức Au = Eu, Vu G D (E ) (đẳng thức này được hiểu trong
không gian V*);

d ) Tập hợp {u\u G (M (E ) n V ), Au G H} = D (E ).


ồ) Giả sử toán tử A £ (X —> X*) khả vi Gâteaux và mọi u,v G X cố định hàm t —>• (A' (u + tv) V, v) liên tục
trên [0,1]. Với những điều kiện đó A đơn điệu khi và chỉ khi với U, V G X ta có
{ A ' (ri) V, V ) > 0.
Chứng minh, a) Điều kiện cần: Với ti, t 2 £ [0,1] và giả sử ti < t 2 ta có
< P u , v { h ) - Vu , v (tl) = { A ( u + t 2 v ) , v ) - ( A ( u + t ỵ v ) , v ) =
=

{ A ( u + t 2 v ) - A ( u + t i v ), ( u + t 2 v ) - ( u + t i v ) ) > 0

Điều kiện đủ: Với V = cư — u thì


{ A u - A u , u - u ) = í p u ¡ v (1) - ( p U t V (0) > 0
Điều kiện cần: Với 0 < s < t theo định lý về giá trị trung bình của tích phân thì tồn tại một điểm s0 € [o, s] sao cho

0 < { A ( u + s v ) — A u , s v ) = J ( A ' ( u + t v ) V, s v ) d t =
0
= s2 {A' (-U + So'*-’) v ì v )

chia cho s2 và chuyển qua giới hạn khi s —> 0 ta được {A' [ù)v,v) > 0.
Điều kiện đủ được suy ra từ bất đẳng thức
1
{ A u — Av, u — v ) = f { A ' ( v + t ( u — v ) ) ( u — v ) , u — v ) d t > 0
0
(Bổ đề được chứng minh)

□

Bổ đề 2.1.2. Nếu A : X —> X* là toán tử đơn điệu thì A bị chặn địa phương.


Hệ quả 2.1.1. Nếu A : X —> X* là toán tử tuyến tính, đơn điệu thì A liên tục.

Hệ quả 2.1.2. Giả sử A : X —> X* là toán tử đơn điệu và K c X sao cho ||n|| < Mị và (Au,u) < M2,Vn G K. Khi đó tồn tại
hằng số M sao cho ||An||x. < M, Vn G K.
Bố đề 2.1.3. Cho X là không gian định chuẩn, X* là không gian liên hợp của X. Giả sử A : X —> X* là toán tử đơn điệu.
Khi đó các mệnh đề sau tương đương với nhau.
ữ) Toán tử A là toán tử radian liên tục;
ồ) Từ điều kiện (/ — Av, u — v) > 0, Vu G X, suy ra Au = /;

c) Từ các điều kiện u n —^ u trong X , Au n —“■ / trong X*


và lim (Au n ,u n ) < (Ị, U ) suy ra Au = /;
n—>oo
d) Toán tử A là toán tử đêmi liên tục;
Nếu K là tập trù mật trong X, thì từ biểu thức (/ — Av, u — v) > 0, Vu G K suy ra Au = /.

Chứng minh, a ) => b): Giả sử toán tử A đơn điệu thỏa mãn điều kiện (a). Giả sử V tùy ỷ, V G X, đặt v t = u — tv,t >
0. Theo giả thiết (/ — Av, u — v) > 0, Vu G X ta có
(/ - Av t ,u - V ị ) > 0, Ví > 0,
hay là
(/ - Av t , tv) > 0,Ví > 0,
khi đó ta có
t (f — Av t ,v) > 0, Ví > 0. Chia cả hai vế cho t ta được
(/ - Av t ,v) > 0, Ví > 0. Do toán tử A là toán tử radian liên tục cho
nên
Do V là phần tử tùy ý, V G X cho nên ta có (/ — Au, — V ) > 0 hay
lim (/ — A ( u — t v ) , V ) (/ - Au,v) > 0.
=

Giả sử (x n ) là dãy con của dãy (u n ) sao cho Ax n —" / trong X*. Khi đó lim (Ax n ,x n ) = ( f , u ). Từ (c) suy ra Au = / và
Ax n —" Au. Sử dụng
n — ¥ 00
bổ đề 1.2.2 suy ra dãy Au n —- Au. Như vậy A biến một dãy hội tụ mạnh thành dãy hội tụ yếu theo nghĩa u n —»■ u =>
Au n —" Au. Do đó A là toán tử đêmi liên tục.

d) => e): Giả sử toán tử
A đơn

điệu và demi liên tục

A đơn

điệu và thỏa mãn điều kiện (d ). Do

suy ra

A radian liên tục. Do A thỏa mãn

mệnh đề (ữ) nhưng (ữ) => (ồ) cho nên ta chỉ cần chứng minh từ giả thiết
(/ — Av, u — v ) > 0, Vu G K => (/ — Av, u — v ) > 0, Vu G X .

Thật vậy do K trù mật trong X nên Vu G X tồn tại dãy (x n) G K sao cho x n —> V trong X . Sử dụng điều kiện demi liên
tục ta có
(/ - Av, u - v ) = lim (/ - A x n ) u - x n ) > 0
= > ( f — Av, u — v ) > 0, Vu G X .
Theo lập luận ở trên suy ra Au = f.