/>
CHUYÊN ĐỀ
Đ HÀM SỐ .
Đề số 1
Cho hàm số:

=

( )

Viết phương trình tiếp tuyến củaa đồ
đ thị ( ) biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận
n ccủa ( ) một tam
giác vuông cân.
Bài giải:
Phương trình các đường tiệm cận
n là x=1 và y=2, chúng lần
l lượt vuông góc với các trụcc Ox và Oy. Do đó
tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận mộtt tam giác vuông cân khi và chỉ
ch khi nó vuông góc đườ
ờng thẳng y=x
hoặc y=-x.
Vì y’=

(

)



1
/>

/>Tìm các giá trị của m, để đường thẳẳng (d) đi qua điểm I(-1;2) với hệ số góc bằng (-m)
m) ccắt đồ thị hàm số
(1) tại ba điểm phân biệtt A, B, C. Chứng
Ch
minh rằng các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) ttại A và B song
song với nhau.
Bài giải
Đường thẳng ∆: y=-m(x+1)+2
Xét PT:

+3

+mx+m=-mx-m+2 ↔ ( + 1)(

+2 +2

− 2) = 0

∆ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt ↔ PT sau có 2 nghiệm phân biệt khác (-1):
∆ = 1 − (2 − 2) > 0
↔
1−2+2 −2 ≠ 0

↔
Gọi


Đặt k=6-5m. Phương trình hai tiếp
p tuyến
tuy là: y=kx-k +
Nếu hai tiếp tuyến trùng nhau, tứcc là:
kx-k + =kx-k + , ∀ ∈
↔6−4

=0↔

↔ ( - )+ - =0 ↔ (

- )(k+m)=0 ↔ k+m=0 ( vì

≠

)

= .Điều
u này mâu thuẫn
thu với (**).

Vậy với m< thì hai tiếp tuyến tạii A và B song song với
v nhau
Lưu ý: có thể giải cách khác bằng việệc chứng minh điểm I là tâm đối xứng của đồ thị hàm ssố đã cho

Đề số 3
Cho hàm số:

=


+ =m-1 và
;
). ⃗=(

(i=1,2) và H(

=m--1. Gọi A( ; ), B( ; ) và H là trung điểm củaa AB. Khi đó
;
), ⃗ =( - ; - )

=

Tam giác IAB đều ↔

=

Ta có
=
↔( −
với mọi m thỏa mãn (*)
(

Ta có (**) ↔
↔

−6

)

= (

+

=

) −4

− 1 nên đẳẳng thức này đúng

] = 3[(

−1
1) − 4(

− 1)]

= 3 ± √6. Các giá trị này của m đều thỏa mãn (*). Đáp số m=3
m=3±√6

Đề số 4
=

Cho hàm số

−

+

+

(*)

), ( ;

) là 3 điểm
đi
thuộc đồ thị. Bảng xét dấu của y’:

−∞

X
Y’

+∞
-

Suy ra hàm số đạt cực đại tại
= 1,

Ta có

=

= (±√

0

+

= 0,
0 đạt cực tiểu tại
+ 1=1-(


∈ .Đ
Đẳng thức xảy ra

Đề số 5
=

Cho hàm số

+ (

− )

+

−

+

− (

+ )( )

Tìm các giá trị của m để hàm số có cực
c đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm
m ccực đại, cực tiểu
+

của đồ thị hàm số (1) vuông góc vớ
ới đường thẳng y=

+1>0 ↔[

Nhận xét: Hai đường thẳng
ng vuông góc với
v nhau thì tích hệ số góc của chúng bằng (-1).
1). Ta ssẽ xác định m
để hệ số góc của đường thẳng
ng đi qua hai điểm
đi
CĐ, CT của hàm số bằng ( )
Cách 1: Gọi A( ;

=- (

AB. Khi đó:k=
Suy ra - (

), ( ;

− 1) + (

) là các điểm
đi
cực trị của đồ thị hàm số và k là hệ số góc ccủa đường thẳng

− 1) + (
−4

−4


−

Suy ra đường thẳng AB có hệ số góc k=k=
Do đó -

−

− =− ↔

+4

−

− 1)(

−4

+ 1)

− =−

=0 ↔[

=0
= −4

Đề số 6
Cho hàm số

=

− ( + 2) + 1 ≠ 0

Gọi

,

+ 4 > 0 đúng với mọi k≠ 0
+

là nghiệm củaa (2). Do O là trung điểm
đi
của AB nên

=0↔

= 0 ↔ k=- 2

Vậy phương trình đường thẳng (d)) là y= -2x

Đề số 7
Cho hàm số

=

+(

−

− ) +



Suy ra đồ thị y=| − 1|(

− 2 − 2)=k, với x≠ 1 (∗)

( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ > 1
−(( − 2 − 2)( − 1) = ( ) ớ < 1

− 2 − 2)
2 trên miền R\{1} là:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng
ng số
s giao điểm ( với hoành độ giao điểm khác 1) củ
ủa đường thẳng
y=k với đồ thị hàm số y=| − 1|( − 2 − 2)

5
/>

/>
Từ đồ thị trên ta suy ra:
-

Nếu k
m M, N cùng thuộc
thu một nhánh của đồ thi (C).
Bài giải:
Theo bài ra M, N là 2 điểm thuộcc đường
đư
thẳng x+y=k hay y= -x+k
Xét phương trình hoành độ giao điểểm
↔

− ( − 1) +

=− +

↔

−1≠0
2 + 1 = ( − 1)(− + )

+ 1 = 0 (*)

( Vì x=1 không là nghiệm củaa phương trình
tr với mọi k)
Yêu cầu của bài toán được thỏaa mãn ↔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt ↔ ( − 1) − 4(( + 1) > 0 ↔
−6 −3>0↔[
Đặt t=x-1 ↔

√
√

= + 1.. Khi đó phương trình

). Hệ số
ố góc của tiếp tuyến là k=y’( )=

−2

Để tam giác AOB cân tại O thì tiếp
p tuyến
tuy vuông góc với đường thẳng y=x hoặcc vuông góc vvới đường
thẳng y= -x.
: Tiếp tuyến vuông góc với đườ
ờng thẳng y=x
Suy ra k= -1 → 3

−2

= −1.. Phương trình
tr này vô nghiệm (loại)

: Tiếp tuyến vuông góc với đườ
ờng thẳng y= -x
Suy ra k=1 → 3

−2

ế

= 1 ℎì ℎươ

ế



ế

≡
=

≡
+

( ạ)
23
( ℎỏ
27

ã )

à 27 − 27 + 32 = 0

Đề ố

ì

à

ố

=

á


Bài giải:

7
/>
ấ .


/>
Hoành độ giao điểm củaa (d) và (C) là nghiệm
nghi
của
2

=2 +

↔ (2x+m)(x-1)=(x+1) ↔

+(m-3)x-(m+1)=0

∆=
+ 2 + 17>0
>0 nên phương trình
tr có hai nghiệm phân biệt( khác 1)
tại hai điểm phân biệt A( , 2 + ), B( , 2 + ).
Khi đó:

−

=(
) +20

17 ≥ 20

Dấu bằng khi m= -1. Vậy khoảng
ng cách nhỏ
nh nhất là √20 khi m= -1

Đề số 11
=

Cho hàm số

−

+

(C)

Tìm các giá trị của m để đường thẳẳng
tại 3 điểm phân biệt cách đều
u nhau.

đi qua điểm A(-1;-3) và có hệ số góc m cắtt đ
đồ thị hàm số (C)

Bài giải:
: y=m(x+1) – 3. Hoành đô giao điểm
đi
của
à ( ) là nghiệm của m(x+1) – 3= − 3 + 1
↔ ( + 1)( − 4 + 4 − ) = 0.. Từ


)

+1+

(x- )+
x+

(

)

+1+

8
/>

/>
Y= 1 − (

x+ (

)

+

)

+1



Bài giải:
Gọi là hoành độ tiếp điểm
m A, suy ra phương trình
tr tiếp tuyến tại A là y = y’( )(x- )+y( )=y’( ) −
( ) +y( )
Tức là ta có: m = y’( ) = −

Từ đó

(

+

)

(

)

=5↔3

và – y’( )

-8

+ ( )=4
=2

+4=0↔[


) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi g(x)=

nghiệm phân biệt khác m ↔ ∆= 9 − 4
Khi đó g(x) có 2 nghiệm
nghiệm âm.

,

>0 →


0 và g(m)=

−2

≠ 0 ↔ m< và m≠ 0,

. Nếếu m
Xét y’ = 4

=0 ↔ [

+

=0
=0

) có 3 điểm cực trị ↔ y’=0 có 3 nghiệm
nghi
phân biệt ↔

Để (

+

Với m
+

> 0 ↔ m

2(

+

−

) là nghiệm của phương trình (*). Theo đ
định lí Viet ta có:

) +(

−

= 2(

) =

(

−

) + (−

+

+ 12) ≥ 2√6

= 2√6, đạt đượcc khi m = 0


Cho hàm số

= (x-1)(

−

−

− ) với m là tham số

1. Chứng minh rằng với mọii m, hàm số
s luôn có cực đại và cực tiểu.
2. Xác định m để đồ thị hàm số
s cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó 2 đi
điểm có hoành độ
âm.
Bài giải:
1. Y’ = 3
3

+(

− 2(2
+ ) +

+ 1)) +

− 1. Vì y’ có ∆ = (2

+ 1) − 3(


− 1) = 0 

+ +1>0
=− −1>0 
=2
+1

số.
Đường thẳng
ng d có véc tơ pháp tuyến
tuy
⃗(2m – 2; - 2), đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuy
tuyến ⃗(3;1).
| ⃗ ⃗|
⃗ ⃗|
⃗||

Ta có: cos(d,∆) = cos45 = |



√

| (

=
(

)
)

|

4


( )=1

Ta thấy ∀ m≠ 1, x = m luôn thảảo mãn hệ trên, còn khi m=1 thì hệ trên vô nghiệm.
m. Do đó ∀
đồ thị hàm số (1) tiếp xúc vớii đường
đư
thẳng y = x

≠ 1 thì

Đề số 20
Cho hàm số

=

(C)

Tìm trên (C) những điểm
m M để
đ tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tạii A, B sao cho AB ng
ngắn
nhất.
Bài giải:
Lấy điểm M(m;2+

)∈( )

Tiếp tuyến (d) tạii M có phương trình:
tr
Y=-(

)

Vậy điểm M cần
n tìm là M(1;1) hoặc
ho M(3;3)

Đề số 21
Cho hàm số

=

( )

Viết phương trình đường thẳng
ng cắt
c đồ thị (C) tại 2 điểm A, B phân biệtt sao cho A và B đ
đối xứng
nhau qua đường thẳng
ng có phương trình:
tr
x + 2y + 3 = 0
Bài giải:
Đường thẳng (d) cần
n tìm vuông góc với
v ∆: x + 2y + 3 = 0 nên có phương trình
ình y = 2x + m
=2 +

(d) cắt (C) ở 2 điểm
m A, B phân biệt


Do AB vuông góc với ∆ nên A, B đối
đ xứng nhau qua đường thẳng ∆: x +2y + 3 = 0  I∈ ∆  m = -4
m= - 4 thỏa mãn (1) vậy đường
ng thẳng
th
(d) có phương trình y = 2x – 4

Đề số 22
Cho hàm số

=

( )

Tìm tọa độ điểm M∈ ( ), biết
ết rằng
r
tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc vớii đư
đường thẳng đi qua
điểm M và điểm I(1;1)
Bài giải:
≠ 1, tiếp tuyến (d) vớii (C) tại
t M( ;

Với
y= -

(


)

13
/>

/>⃗=(

− 1;

).Để (d) vuông góc với
v IM điều kiện là: ⃗.

0

=0
=2

+ Với

= 0 ta có M(0;0)

+ Với

= 2 ta có M(2;2)

⃗ = 0  -1.(

−1
1) + (


Ta có d(I;tt) =

+(
|

( −

)+

=0

|
(

Xét hàm số f(t) =

)

)

√

)

(t>0) ta có f’(t) =

(

)(
(



/>Cho hàm số

=

+3

−4

Biện luận theo m số nghiệm củaa phương trình
tr ( + 2) = |

|

Bài giải:
Ta có ( + 2) = |

|

 | − 1|(

Xét hàm số f(x) = | − 1|(

+ 4 + 4) =

+ 4 + 4) =

−(


à

ố.

Tìm m để đồ thị hàm số đãã cho có 3 điểm cực trị lâp thành một tam giác có trọ
ọng tâm là gốc tọa
độ.
Bài giải:
Hàm số đã cho có 3 điểm cựcc trị
tr  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 

(
− 2(3

+ 1) = 0 có 3

nghiệm phân biệt  m > Khi đó 3 điểm cực trị củaa đô thị
th là A(0;2m+2), B(-√6
4 + 1)

+ 2; −9

−4

+ 1), C(√6

+ 2; −9

−


( )

Tìm trên (H) các điểm
m A, B sao cho độ
đ dài AB = 4 và đường thẳng
ng AB vuông góc vvới đường thẳng
y=x
Bài giải:
Vì đường thẳng
ng AB vuông góc với
v y = x nên phương trình của AB là y = -x+m
Hoành độ của A, B là nghiệm củ
ủa phương trình
−(

+ 3) + 2

+ 1 = 0,
0

–

=− +

, hay phương trình:
ình:

≠ 2 (1)

Do phương trình (1) có ∆= ( + 3) − 4(2 + 1) =

−3=0

∗ ớ

+ 3,

= 3 ℎươ

−

=2

−

) −(

) = 16  (

−
−

+ 1 vào (2) ta được (

) = 16
) =8(
+ 3) − 4(2

+

) −4

A( + √2;−√2 ), B(3 − √2; √2 )
hoặc A(1 + √2; −2 − √2 ), B(1
1 − √2; −2 + √2 )

Đề số 27

16
/>
= 8 (2)


/>−(

=

Cho hàm số

+ )

+(

+ ) + có đồ thị (

), m là tham số
ố.

) vớ
ới trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (

Gọi A là giao điểm của (

|

= .

; 0).
=

|

|

=−

+ 2| = 

=−

Đề số 28
=

Cho hàm số

−

+

Tìm m để phương trình
(−
; +∞)


> 0 ta được (1) trở thành

−6

+9 +

=0

−6

+9 −2=−

− 2 (2)

Ta có phương trình (2) là phương
ương trình
tr hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường
ng th
thẳng
(d): y = −

−2

→ Số nghiệm của (2) chính là số
ố giao điểm của (C) và (d)
Mỗi nghiệm t ∈ (− 2; +∞) củ
ủa phương trình (1) cho 1 nghiệm

∈ ( ; +∞) củaa phương tr
trình (2)

−

+

(1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm
đi
cực trị A và B, đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
trọng tâm G củaa tam giác AOB nhỏ
nh nhất.
Bài giải:
=3

−6 +

;∆ =9−3

Hàm số có 2 điểm cực trị khi < 3. Khi đó hàm số có 2 điểm cực trị là A( ;
là 2 nghiệm của phương trình: 3 − 6 + = 0
+

= 2;

+(

)
≥ (∀

.



− 1)

− 1) . 3 +

=

Cách khác: Thực hiện
n phép chia

cho ′, ta được:

18
/>
+

;

=


/>
=

−
,

Tại

−(



 1 = −(

− 1)

+

− 1) . 3 +

=

Đề số 31
Cho hàm số

=

( )

Tìm tọa độ các điểm
=
+ một góc

trên ( ) sao cho tiếp tuyến với ( ) tại

tạo
o vvới đường thẳng

Bài giải:
Tiếp tuyến (∆) của ( ) tại
(∆) và ( ):

+3 −2=0

= −2
=


∗

= , ý nghĩa hình học củaa đạo
đ hàm → =

(

∗

= −2 có −2 = ⋯  (

=0;

+ 1) = 1 

)=⋯

→ không có

= −2 →

(0; 4), ℎ ặ

(−2; 0)

Để ℎà
⎧


⎨3
⎩3

+ 2((
ị ℎ

+ 1) − 2
ố ó á ự

− 1); ∆ = 2 −
ê ầ à á

−√2
0; 2



)

( )

Tìm các giá trị thực của m để tạại giao điểm của (1) vởi Ox, tiếp tuyến với (1) tạo
o vvới Ox góc
Bài giải:
(1) giao với Ox tại (
Từ giả thiết suy ra


(

)

( )=

; 0),, lại
l có

( ) = ±1
1. Do

= 1  (1 − 3 ) = 4

(

)



−3
3

→ ( ): + 1 = ( + 1) → ( ):

+3=
+
−6 =

=

−1

20
/>
+

−1

−


/>
→

−3

+3 =3



Cho hàm số

( )

−

Trên ( ) lấy 2 điểm phân biệtt
à có hoành độ lần lượt là
tiếp tuyến của ( ) ạ
à song song với
v nhau.

à . Tìm điều
u ki
kiện của

à

để

Bài giải:
Ta có ( ) = 4 − 4 . Gọi , lần lượt là hoành độ của
à là
= ( )= 4 −4 ,
= ( )=4 −4
Tiếp tuyến tại ,

lần lượtt có phương trình
tr là:

+

( )−

+

− 1) = 0 (1)

≠ , do đó (1) tương đương với
v phương trình:

Mặt khác 2 tiếp tuyến của ( ) tại
t
+

=

song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi

+



à . Hệ số góc tiếp
p tuy
tuyến của ( ) tại

à

+


21
/>

/>
Đề số 36
Cho hàm số

=

+(

−

− ) −

+

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm
đi
cực trị ,

( )
vuông tạii với ( ; )

sao cho tam giác

Bài giải:
=



2
−4

−1 ≠ 1
+ )

vuông tại 

nên tam giác

≠1

∈

−

+4

−4

+ =0

Đề số 37
Cho hàm số

−(

=



∆ = (2

+

−

=

− 1)) − 1. Hàm số có 2 điểm cực trị 

− 1) + 3
suy ra

≠0
=4

−

>

+1>0

+ Với
+

> 0, giải phương trình
ình

−

v 9(4

ì

≠0



và ′ đổi dấu từ dương sang âm qua

nên ′ là tam thức bậcc 2 với
v hệ số

qua

= 0 có 2 nghiệm
m phân bi
biệt

−

+ 1) = 64

. Giảii phương tr
trình ta đươc

ã )

=− ( ạ)


bi
,
2


+(

− 3) −

∆> 0
∀
(1) ≠ 0



∈

Với

=

→

vuông góc với ( ) nên
+ 2.

có 2 nghiệm phân biệt

− 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1



−4 = 0

Vậy 2 điểm cần tìm là (0; −1)), (2; 3)

Đề số 39
Cho hàm số

=

−

+

( ) với m là tham số.

Cho đường thẳng ∆ có phương trình:
tr
= . Tìm các giá trị > để đồ thị hàm ssố ( ) có 2 điểm
cực trị và khoảng cách từ điểm
m cực
c tiểu đến ∆ gấp đôi khoảng cách từ điểm cựcc đ
đại đến ∆.
Bài giải:
Vơi

> 0 ta thấy:

=3



=2

( ,∆)

