PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Nguyễn Trường Sơn – THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình.

 3  x  y  1  x3  2 y 2  9 x  5

Câu 1. Giải hệ phương trình sau: 
3
3
2
2

 x  y  12 x  3 y  3 y  6 x  7

x  3
Lời giải. Điều kiện: 
 y  1
Phương trình thứ 2 tương đương với ( x  2)3  ( y  1)3  y  x  1 (3)
Thay (3) vào phương trình thứ nhất ta được:
3  x  x  2  x3  2 x2  5x  3 điều kiện 2  x  3

 3  x  x  2  x3  2 x 2  5 x  3  3  x  x  2  3  x 3  2 x 2  5 x  6


2( (3  x)( x  2)  2)
3 x  x  2 3

 x3  2 x 2  5 x  6



2( x 2  x  2)

xy

2

y

1
x

2

x





Lời giải. Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: y  1  x 2  2  x




Thay vào phương trình thứ nhất ta được:  x  1 1 


 x  1

2

 2    x 1 


2
3

( xy  x) x  1  2  2 x  xy  34  34 x  2 xy  10 x  x

(x,y 

)

x
x

(1)
 x  log 2 x  log 2  2  y.2 
( x, y  )
Câu 4. Giải hệ phương trình 
2
2log
x

6log
y

1

x
log
x


2
, f '( x)  0  x 
.
x ln 2
ln 2
Bảng biến thiên

Ta có f '( x) 

x

0
+

x0

-

f(x)
x

Theo BBT, pt f ( x)  0 có nhiều nhất 2 nghiệm trên (0; ) , có f (2)  f (4)  0
Do đó, phương trình (4) có hai nghiệm x  2; x  4  y  1; y  3 (t/m đk).
Vậy: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;1), (4;3), (8;7).
Câu 5. Giải phương trình

( x  2)





x


Lời giải.

 x  y  ( x  y )( y  1)  2( y  1)  0 (1)
(I)  
2
3 8  x  4 y  1  x  14 y  12 (2)
Điều kiện: x  8, y  – 1, (x – y)(y + 1)  0 (*)
Nếu (x ; y) là nghiệm của hệ (I) thì y > – 1. Suy ra x – y  0.
Do đó: (1) 

x y
x y

2 0 
y 1
y 1

x y
x y
1
 1  x  2 y 1
y 1
y 1

Thay x = 2y + 1 vào (2) ta được:


3
 , 2y + 1 > –1
7  2 y 1 4

2
3

 2 y 1  0 .
y 1  2
7  2 y 1

Do đó: (3)  y  3  0  y  3  x = 7 (thỏa (*)).
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x ; y) = (7 ; 3).
Câu 7. Giải phương trình 32 x4  16 x2  9 x  9 2 x  1  2  0 trên tập số thực.
Lời giải. Điều kiện x 

1
, phương trình đã cho tương đương
2

32 x 4  32 x 2  16 x 2  16 x  7 x  7  9  9 2 x  1  0





 32 x 2  x 2  1  16 x  x  1  7( x  1)  9 1  2 x  1  0
 32 x 2  x  1 ( x  1)  16 x  x  1  7( x  1) 

9  2  2x

 8  32 x3  32 x 2  16 x  7  27
2 
4
16

16 x  2  8

18
1 2x 1  1  
 18
1 2x 1
18
 32 x3  32 x 2  16 x  7 
 9  0.
1 2x 1
Vậy (*)  x  1 .
Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1.
Câu 8. Giải hệ phương trình:

 x  3  xy  x  3 y  3  x  1  2 y  y  1 1


2
x  1  2  2
 x  3 y  1   y  1 x  2 x  3







2
 x  3 x  1  2   x  1  x  2x  3 *








Xét hàm số f  t    t  2   t  2  , t  0 có f '  t   0t 
Suy ra f  t  đồng biến mà f  x  1   f  x  1  x  1  x  1
(*)  


x 1



2

 2




2
x  1  2   x  1  2   x  1  2 



t  5
Bpt trở thành: t 2  t  20  0  
. Đối chiếu đk được t  5 .
t  4
Với t  5 , ta có:

2 x  3  x  1  5  2 2 x2  5x  3  3x  21

 3 x  21  0
 2
x  7
 2 x  5 x  3  0


 x3
3 x 7
3 x  21  0



  x 2  146 x  429  0
Kết hợp với điều kiện x  1 suy ra tập nghiệm bất pt là: S= 3;  



Câu 10. Giải bất phương trình: x 2  5 x  4 1  x( x 2  2 x  4)




x  7x  4  0
3  2
x

x
2
2

x  x  4  0

TH 2: 1  5  x  0 , x2  5x  4  0 , (**) luôn thỏa

(x R).


 1  17 7  65 
;
.
2
2 


Vậy tập nghiệm bpt (*) là S   1  5;0   





 x  y  2  x  y  2( x 2  y 2 )


x y

Khi đó ta có x 2  y 2  2 xy  16 .
Đặt t  x  y  2  0  t  2 .
Từ pt (1) ta có t  t 2  2  32  t 2  t  34  0 điều này vô lí .
Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm.
TH2: x + y >0.
Từ (2) suy ra xy > 0, do đó x và y đều dương.
Ta có (2)  ( x  y) xy  x 2  y 2

( x  y)2
( x  y)2
và xy 
nên ta có
2
4
( x  y)2
( x  y) 2
2
2
 x  y  ( x  y) xy  ( x  y)
 x y  2
2
4

Do x 2  y 2 

Đặt t  x  y  2  t  2 .
Từ (1)  t  t 2  2  (t 2  2)2  t 4  5t 2  t  6  0  (t  2)(t 3  2t 2  t  3)  0 (4) .




 



 3  x 2  x   x  1  3x  1  x  2  5 x  4  0
1
1


  x2  x   3 

0
x  1  3x  1 x  2  5 x  4 

 x2  x  0  x  0 hoặc x  1 . Khi đó ta được nghiệm  x; y  là (0;12) và (1;11).
3
3
2

7 x  y  3xy ( x  y )  12 x  6 x  1 (1)
Câu 13. Giải hệ phương trình 
( x, y  )
3 4 x  y  1  3x  2 y  4
(2)



Lời giải.



2
b  2
(a  2)(a  a  22)  0


3

 3x  2  2

 x  2  y =  1 (thỏa ĐK)
x

2

2



Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (2;1).
3
3
2
2

x  y  x  2 y  2x  3y  2  0
Câu 14. Giải hệ phương trình : 
2



, suy ra

1  f  y   f   x  1  y   x  1

y   x  1 vào  2  và rút gọn được phương trình

x2  8  2015  x2  3  2016 x
Ta có

f  t  đồng biến trên

*

x 2  8  x 2  3  2016 x  2015  0  x 

Xét hàm số g  x  

x

g'  x 


x 8
2

x





1
 2


Suy ra

g  x  nghịch biến trên  2015 ;  
 2016

g  x   0 (Phương trình (*)) có tối đa 1 nghiệm

Suy ra phương trình
Mặt khác



g 1  0

Từ đó ta được x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Với

x  1  y  2

(thỏa mãn điều kiện ban đầu)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

 x; y   1; 2 .


13  x 

2
 2 x  3 
   19  3x 
 x  x2
3  
3 




2   x2  x  2

x5

9 x  3 

3 




 x2  x  2
 x2  x  2
13

x







*

 19 
 0 chọn x   3;  \ 4 ta có
13  x 
3


9  19  3 x 

3 


1

*  x2  x  2  0  2  x  1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2;1 .


Câu 16.
a) Giải phương trình: x 2  x 2  3x  3(x  2) .

(x 2  x  2)y  x  0
b) Giải hệ phương trình: 
(x 4  4x 2  1)y2  (2x 3  x)y  x 2  0.
Lời giải.

y 
y  x x2


1
1
a  2b  1
Đặt a  x  , b  (b ≠ 0), hệ trên trở thành: (II)  2
2
y
x

a  ab  b  5
Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) và (a ; b) = (–7 ; 4)
 1
+ Với (a ; b) = (3 ; –1) thì:  x; y    1; 
4

4 
1
+ Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì:  x; y    ;  
 4 29 
* Một cách giải khác:
+y=0x=0
+ Trường hợp y  0:
x
 2
 x  x  2  y  0 (1)

Biến đổi được: 

4 x 2  3x  1  0  
1
x   y   4

4
29
x
 2
 x  x  1   y  2   x  1 y  1
Câu 17. Giải hệ phương trình: 
 x, y  
2
3x  8 x  3  4  x  1 y  1

 x  1
Lời giải. Điều kiện: 
 y  1

x3  x 2  x
  y  2
1 
x 1
3

 x  1 y  1 



x3  x  x  1









y 1 

suy ra f(t) đồng

x
 y  1 . Thay vào (2) ta
x 1

2

 
x 1
  2
 x  3 2 3
 x  6x  3  0
 2 x  1  x 1


 

1
5  2 13
x

2 

 5  2 13 41  7 13 
&  x; y   
;
 .
9
72



Câu 18. Giải hệ phương trình:



 2027  3x  4  x   6y  2024  3  2y  0 (1)
(x,y )

2
2
7
x

8
y

3
14x-18y

x

vào pt (2) ta được pt:
2

2 7x  4(x  1)  3 14x  9(x  1)  x2  6x  13

 2 3x  4  3 5x+9  x2  6x  13
 2 3x  4  2(x  2)  3 5x+9  3(x  3)  x2  x


2x(x  1)
3x  4  (x  2)



3x(x  1)
5x  9  (x  3)

 x(x  1)



2
3
 x(x  1) 

 1  0
5x  9  (x  3) 
 3x  4  (x  2)

x  0


2

1)
2
x

1

8
x

13(
y

2)

82
x

29




Lời giải.

32 x5  5 y  2  y ( y  4) y  2  2 x(1)
 x, y 



2 x  1  4 x 2  24 x  29  0

1

x  2

2
 2 x  1  4 x  24 x  29  0(4)

Với x=1/2. Ta có y=3

(4)  ( 2 x  1  2)  (4 x 2  24 x  27)  0 

2x  3
 (2 x  3)(2 x  9)  0
2x 1  2

x  3 / 2

1

(2 x  9)  0(5)
 2 x  1  2

Với x=3/2. Ta có y=11
Xét (5). Đặt t  2 x  1  0  2 x  t 2  1. Thay vao (5) được
t 3  2t  10  21  0  (t  3)(t 2  t  7)  0 . Tìm được t 
x




1  x  x2  1  0

y  x
2
Lời giải. Biến đổi PT (1)   x  y   x  y  1  0  
2
 y  x 1





3x 2  9 x 2  3   4 x  2 

x = y thế vào PT (2) ta được:   2 x  1



 2 x  1

2





1  x  x2  1  0


2
2
2
y  x 2  1 thế vào (2) 3( x  1) 2  9 x  3   4 x  1  2 





1  x  x2  1  0

Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm.
 1 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:   ;   .
 5 5

cos x  cos y  2 y  2 x
Câu 21. Giải hệ phương trình :  3

4 x  y  ( x  1) 2 y  1  0

(1)
(2)

Lời giải. Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + 2 > 0  t  f(t) đồng biến trên R.
Do đó (1)  f(x) = f(y)  x = y.
Thay vào (2) ta được:

4 x3  x  ( x  1) 2 x  1  0  (2 x)3  2 x  ( 2 x  1)2  2 x  1 (3)
Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + 1 > 0,  t

3

3

 3


Thay  3 vào  2  ta được pt:










x  2  4   x  1  x3   x  1  4 x  2  x  1
2

x  2  3  x  x3  x 2  4 x  1 , Đ/K 2  x  3



x  2  3  x  3  x3  x 2  4 x  4 

2  x  2  3  x   4 






 x  2  3  x   2 



x  2  3 x 3

  x  1  x 2  4 

  x  1  x 2  4 

  x  2  x2  x  2



2
0

x  2  3  x  3  x  2  3  x   2 

0






 x2  x  2  0  x  2  x  1

Tương tự phương trình x3  8x2  23x  26  0 có một nhiệm duy nhất x  b
Theo trên : a3  2a 2  3a  4  0 1

Và b3  8b2  23b  26  0   2  b   2  2  b   3  2  b   4  0
3

2

 2

Từ 1 và  2   a3  2a 2  3a  4   2  b   2  2  b   3  2  b   4
3

2

 3

Theo trên hàm số f  x   x3  2 x 2  3x  4 đồng biến và liên tục trên tập


Đẳng thức  3  f  a   f  2  b   a  2  b  a  b  2
Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trình đó bằng 2 .
1  y  x  3 y  3  x 2  ( y  1)3 . x

Câu 24. Giải hệ phương trình: 
(x, y  )
3 3
2

 x  y  2 x  4  2  y  2

y 
2
4 y  2  2 6 y  11  1  2 y  6 y  11  
 y
4
2 y 2  5 y  5  0

x  1

+) So sánh với ĐK ta có 
5  65 là nghiệm của hệ đã cho.
y


4

+) Với y  x thì (1) trở thành:

x 4  x3  4 x  ( x  1) 5 x 2  6 x  6
 ( x 2  2)2  ( x3  4 x 2  4 x  4)  ( x  1) ( x 2  2)( x  1)  ( x3  4 x 2  4 x  4)

u  x 2  2
Đặt 
2
v  5 x  6 x  6
2
3
2

u  ( x  4 x  4 x  4)  ( x  1)v


x

3  4 3 1
.
2

So sánh với ĐK ta có hệ đã cho có các nghiệm là

x  1


5  65 ;
y


4



3  4 3 1
x 

2
;


3  4 3 1
y 



(2 x  y)2  3(2 x  y)  2  0  2 x  y  1 .
2 x  y  2

Nếu 2 x  y  1 thì y  1  2 x , thay vào (1) ta được:
x  0  y  1
7 x 2  5x  0  
x  5  y   3
7
7


Nếu 2 x  y  2 thì y  2  2 x , thay vào (1) ta được:
x  1  y  0
7 x  11x  4  0  
x  4  y  6

7
7
2

5
7

3 4 6
7  7 7

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là  0;1 ; 1; 0  ;  ;   ;  ;  .

 x2 y  x2  1  2x x2 y  2

x6 y3  3x2 y  y3  3 y 2  3 y  1  3( y 1)


( x 2 y)3  3x 2 y  ( y  1)3  3( y  1) (3)
3
2
Xét hàm số f (t )  t  3t có f '(t )  3t  3  0, t 


Do đó

(3)  f ( x2 y)  f ( y 1)  x2 y  y 1,( y  1).

2
2
Thế vào (1) ta được x y  x  1  2 x y  1



 x 2 ( y  1)  2 x y  1  1  0  ( x y  1  1) 2  0  x y  1  1

Do đó hệ đã cho tương đương với

x2 y  x2  1  y  2  x2
 x y  1  1  2

  x y  y  1   x 2 (2  x 2 )  x 2  1 (4)
 2
 x y  y  1
x  0

.
2
2
2
2

1 5 1 5 
 1  5 1  5 
 , ( x; y)  

;

 2 ; 2 .
2
2





Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y )  

Câu 28. Cho x, y, z là các số thực mà mỗi số không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn điều kiện
9 x2 y 2 z 2  x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  4xyz (xy  yz  xz ) . Chứng minh rằng :

xy
xz
zy




 18 

8 8 8
 1
1
8 8 8
1 1 
1 1 
   2      9  27      2     
x y z
 xy yz zx 
 xy yz zx  
x y z

xy
xz
zy


9 xy  2(2 x  2 y  1) 9 xz  2(2 x  2 z  1) 9 zy  2(2 z  2 y  1)
1
1
1



4 4 2 
4 4 2 
4 4 2 

Từ phương trình (1) suy ra :

x3  6 x2  17 x  y3  9 y 2  32 y  24  ( x  2)3  5( x  2)  ( y  3) 3  5( y  3)
Xét hàm f (t )  t 3  at (t  R, a  0)
Ta có f '(t )  3t 2  a  0, t  R .
Do đó hàm số f đồng biến trên R.
Khi đó suy ra x  2  y  3  y  x  1 .
Phương trình (2) trở thành :

( x  1)3  x3  3x  1  3 x3  4 x  2
 ( x  1)3  x  1  x3  4 x  2  3 x3  4 x  2

1
x  
6
Suy ra x  1  3 x3  4 x  2  3x 2  x  1  

1
x  
6


13
6
13
6