A.

ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Lý do chọn đề tài:
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá
trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm
hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với
kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết:“
Phương pháp giáo dục cần phát huy tính tích cực, tự giác, tự học, tự sáng tạo của
từng học sinh. Giúp học sinh nắm vững kiến thức và có hứng thú trong học tập ” .
Trong chương trình Hình học 10 nội dung của định lí côsin và định lí sin chiếm
vị trí rất quan trọng, chúng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán ở các chương
trình lớp 10,11 và 12, vì thế các định lí này được ví như những viên ngọc quý
trong hình học sơ cấp. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THPT
Lê Lợi, trong quá trình giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp
mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến
thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý, tôi luôn hướng dẫn học sinh nắm
vững các kiến thức đã học bằng cách cho học sinh thấy được ứng dụng của định lý
thông qua hệ thống bài tập áp dụng tương thích, từ đó giúp học sinh thấy được giá
trị của nội dung định lí. Với những kinh nghiệm trên tôi đã chọn đề tài: “Hướng
dẫn học sinh lớp 10 khai thác các ứng dụng của định lí sin và côsin trong tam
giác ” nhằm mục đích nâng cao chất lượng học tập của học sinh lớp 10 , tạo hứng
thú cho các em tiếp cận và giải quyết các kiến thức có liên quan đến hai định lí
này ở chương trình lớp 11, 12.
II. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10 với trình độ không quá yếu.
III. Phương pháp nghiên cứu:
- Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ giả thiết của bài toán,
hướng dẫn học sinh vận dụng năng lực tư duy, kỹ năng, kiến thức đã học để từ đó
đưa ra nhiều cách giải của một bài toán.

3. Bằng cách cho học sinh nhắc lại nội dung của định lí và một số hệ quả rút ra từ
mỗi định lí, trên cơ sở đó giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng năng lực tư duy,
kỹ năng giải toán thông qua các dạng bài tập và lựa chọn các ví dụ cụ thể, phân
tích tỉ mỉ kiến thức đã học để từ đó đưa ra nhiều cách giải cho bài toán.
II. Nội dung định lí côsin và định lí sin trong tam giác:
2


Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và một
góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; Có nghĩa là khi biết các yếu tố góc
cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc
cạnh còn lại và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó
người ta gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác. Một trong các hệ thức đó là
định lý Côsin và định lí Sin trong tam giác.
1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA.

A
b

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB .
C

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosA .
* Ứng dụng:

c
a

B


2

2

2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có:
* Ứng dụng:

a
b
c


 2R .
sin A sin B sin C

a

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

b sin A
sin B



a +c -b
49 + 25 - 64
5
=
=
 B  84052 '
2ac
2.7.8
56

Chú ý: Có thể tính các góc B,C bằng cách: Áp dụng định lí sin trong tam giác
ABC ta có

a
b
b sin A 8.sin 600 4 3

 sin B 


sin A sin B
a
7
7

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A=1200; B =450 ; R =2. Tính 3 caïnh a,b,c
Giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có
a

a
c
a sin C 2 3 sin150

c

 6 2
sin A sin C
sin A
sin1200

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6. Tìm côsin của góc có số
đo lớn nhất.
Giải
4


b 2  c 2  a 2 16  36  9 43


2bc
2.4.6
48
2
2
2
a c b
9  36  16 29
CosB 







c 4  2 a 2  b 2 c 2  a 4  a 2b2  b4  0 (1). Tính góc C

Giải
4
2
2
2
4
2 2
4
2
2
2
2 2
Ta có : c  2  a  b  c  a  a b  b  0  c   a  b    a b  0
2

c 2  a 2  b2  ab  0
 c 2  a 2  b2  ab c 2  a 2  b2  ab  0   2
2
2
c  a  b  ab  0





3:

2:

6
2

2

a) Tính các góc của tam giác.
b) Cho a  2 3 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
a) Đặt

a
b


3
2

c
6
2

2

t 0


2
2 3 1 t







2
2
2
a 2  c 2  b 2 3t  2  3 t  2t
2
cosB=


 B  450
2
2ac
2
2 3 3 t





C = 1800 – (A + B) = 150
b) Áp dụng định lí sin, ta có: R 


N

·
 1200
+) Trường hợp 1: BGC

G

Áp dụng định lí côsin trong tam giác GBC
2
2
Với GB  BM  4, GC  CN  6 ta có:
3
3

A
C

M

 1
BC2  GB2  GC 2  2GB.GC.cos120 0  16  36  2.4.6.     76  BC  76  2 19
 2

6


Tương tự áp dụng định lí côsin trong tam giác GBN và tam giác GCM ta có :
1
BN  GB2  GN 2  2GB.GN.cos60 0  16  9  2.4.3.    13  AB  2 13


B

300

1

BD
CD
2

 BD  (2)
·
·
x
sin BCD
sin CBD

C
1
x

Từ (1) và (2) suy ra : 1  1  x   2 1  x  
2

2
  x3  2  x  2  0
x

Vậy : AC  3 2

a 2  c2  b2  a 2  b2  c 2
a 2  c 2  b2
a 2  b2  c 2

a
 b.
cosB+ b.cosC= c.
2a
2ac
2ab

(ĐPCM)
b) Để ý rằng: 2bc.cosA  b 2  c2  a 2 ; 2ab.cosC  a 2  b2  c2 ;
2ac.cosB  a 2  c 2  b 2

Thế vào vế trái ta được: ta được:
bc. cosA+ab.cosC+ac.cosB
1 2
a 2  b2  c 2
2
2
2
2
2
2
2
2
= b  c  a  a  b  c  a  c  b  
2
2

b b2  c2  a 2 b2  c 2  a 2
tan B
.
2R
2bc

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có a=4, b=5, c=6. Chứng minh: sinA–2sinB+sinC=0.
Giải.
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ định lí sin, ta có: sin A 

a
b
c
,sin B 
,sin C 
2R
2R
2R

Suy ra: sin A  2sin B  sin C 

1
1
 a  2b  c    4  10  6   0 (ĐPCM)
2R
2R

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có
a.sin(B–C) + b.sin(C–A) + c.sin(A–B) = 0

4S
4S

suy ra:
b2  c 2  a 2  a 2  c 2  b2  a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2

CotA  CotB  CotC =
4S
4S

Lại có: S 

a.b.c
a 2  b2  c2
vậy VT= R.
= VP (ĐPCM).
4R
abc

Chú ý: Các hệ thức (*) được gọi là là định lý “côsin suy rộng trong tam giác ”
hay định lí cotang trong tam giác. Nó cho ta mối liên hệ về hệ thức lượng giác góc
của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó. Lớp các bài toán áp dụng nó khá
rộng.
1

2
2
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh rằng: SΔABC   a sin 2 B  b sin 2 A
4



Áp dụng định lí sin trong tam giác HBC ta có R1 

(a) .

BC
· µ
(b) .
A  1800 , nên từ (a) suy ra R1 
Do BHC
2sin µ
A

Mà theo định lí sin trong tam giác ABC ta có R 

a
2sin µ
A

.

Vậy từ (b) suy ra R1 = R.
Lý luận tương tự trong các tam giác HAC, HAB ta có R2 = R3 = R.
Suy ra R1 = R2 = R3 = R (ĐPCM)
Nhận xét: Đây là bài tập có ứng dụng trong các bài toán liên quan đến đường tròn
ở chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Ứng dụng 3: Nhận dạng tam giác theo cạnh, góc và các yếu tố khác.
Ví dụ 1: Tam giác ABC có đặc điểm gì, nếu các góc của nó thoả mãn hệ thức
sin C
 2cosA


1
CosA   A  60o
2

- Từ: CosA.cos C 

1
1
suy ra: cos C   C  60o .
4
2

10


Vậy tam giác ABC đều.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3. Chứng minh tam giác ABC
nhọn.
Giải
Ta có: a3= b3+ c3 nên a là cạnh lớn nhất  A là góc lớn nhất. Lại có:
b
a

c
a

a3= b3+ c3  a 2  b 2  c 2  b 2  c 2  b 2  c 2  a 2  0 suy ra A nhọn.
Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.
Tổng quát: Nếu tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, n  N) thì tam giác ABC

2bccosA>0
cosA>0




0
Áp dụng định lí côsin ta có:  I   2accosB>0  cosB>0   B  90
2abcosC>0
cosC>0

0


C  90


Vậy tam giác ABC nhọn
b) Không mất tính tổng quát ta giả sử a  b  c  a2  b2  c2  A và A’ lần lượt là
hai góc bé nhất của tam giác ABC và A’B’C’:



4
4
4
2
2
2
b4  c 4  a 4 b2  c 2  a 2 b  c  a  bc b  c  a


2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)  a  b  c
Giải
Trước hết ta chứng minh a.cosA+b.cosB  c

(*)

Áp dụng định lí cosin, bất đẳng thức (*) tương đương với
b c a
a c b
a
b
 c  a 2b 2  a 2c 2  a 4  a 2b 2  b 2c 2  b 4  2abc 2
2bc
2ac
2

2

2

2



2

  ac  bc   a 2  b2
2


a
a2
1


cosA=

 cosA  2 2  b2  c 2  .2bc 
2bc
2bc
2
b c 

2

 cosA 

2

2

2

1
 A  600
2

5. Ứng dụng 5: Giải các bài toán đại số
Ví dụ 1: CMR: a2  ab  b2  b2  bc  c2  a2  ac  c2 với mọi a, b, c >0.
Giải

AC 2  OA2  OC 2  2OA.OC.Cos ·
AOC  a 2  b2  ab .
·
BC 2  OB 2  OC 2  2OB.OC.Cos BOC
 b 2  c 2  bc .

Lại có: AB  BC  AC  a2  ab  b2  b2  bc  c2  a2  ac  c2 .
Dấu bằng xảy ra  A, B, C thẳng hàng  a= c= 2b.
Ví dụ 2: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn hệ phương trình :
 2
y2
x

xy

 25

3
 2
y
2
. Tính giá trị của biểu thức P=xy+2yz+3xz
 z 9
3
z 2  xz  x 2  16



Phân tích: Đối với bài toán này nếu chúng ta cứ loay hoay tính toán thì sẽ mất
nhiều thời gian. Nhưng nếu nhạy cảm một chút ta có thể thấy có thể vận dụng định

1500 O

Từ hệ đã cho suy ra AB=5, BC=3, AC=4

x

1200

y
3

B

hay tam giác ABC vuông tại C và SABC  6
Mặt khác:
SABC  SOAB  SOAC  SOBC 

A
1
4 3

xy 

1
2 3

yz 

3
4 3

z 2  zx  x 2  c2


Chứng minh rằng: xy  yz  zx  4

p  p  a  p  b  p  c 
3

A

Giải.
x

Dựng các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt có độ dài x,y,z

O

·
·
·
 AOC
 BOC
 1200 .
sao cho AOB

y

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBC ta có:
·
BC  OB2  OC2  2OB.OC.cosBOC

Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30, A
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA = 302 + 402 – 2.30.40.cos60o = 900 + 1600 – 1200 = 1300.

Vậy

(hải lí) tức là sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

Ví dụ 2. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. Giả sử
CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A,B trên mặt
đất sao cho ba điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc
·
·
. Chẳng hạn ta đo được AB = 24m, CAD
   630 ,CBD
   480 .Khi đó

chiều cao h của tháp được tính như sau:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có:

AD
AB

sin  sin D

µ   D
µ    630  480  150 . Do đó:
Ta có:   D
AB.sin  24.sin 480

x2  x  1

4. Cho tam giác ABC thõa mãn: CotA= 2(CotB+ CotC).
a) CMR: b2  c 2  5a 2
3
5

b) CMR: SinA  .
5. Cho tam giác ABC thõa mãn: b2  c 2  2a 2 . CMR: CotB+ CotC= 2CotA.
6. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho: BM= MN= NC,
·
·
·
kí hiệu: MAB
  , MAN
  , NAC
 .

CMR:  Cot  Cot   Cot   Cot   4 1  Cot 2   .
HD: Áp dụng định lý côsin suy rộng và công thức tính đường trung tuyến tam
giác.
7. Nhận dạng tam giác ABC biết: Sin

A
a

.
2 2 bc

8. (THTT Tháng 7/2009) Cho hình chữ nhật ABCD sao cho AB=3AD. Trong

19

TB

4

3

Yếu

1

0

Kết quả

Học kì 1

Học kì 2

Giỏi

17

26

Khá

25


Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh
làm mục đích chính; luôn trao dồi kiến thức, phương pháp; luôn tìm tòi, nghiên
cứu chương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra phương pháp truyền thụ
kiến thức phù hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy.
Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ
động tiếp cận kiến thức một cách khoa học.
17


Đối với cấp quản lý cần kịp thời động viên, biểu dương các đề tài có chất lượng
cao, nhân rộng qua lưu hành nội bộ để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý và
vận dụng trong quá trình dạy học.
IV. Kết luận
Trong quá trình giảng dạy với việc nghiên cứu, tìm thêm tài liệu, nổ lực của
bản thân cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp tôi đã đúc rút ra được một số
kinh nghiệm như trên; Với khả năng và ngôn ngữ của bản thân còn có phần hạn
chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót; rất mong hội đồng khoa học và các đồng
nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong
quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 25 tháng5 năm 2013

ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Thị Lan Hương