1
A. PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN
Môn vật lí là cơ sở của nhiều ngành khoa học kĩ thuật, vì vậy người học hiểu và nhận thức
được các hiện tượng, quy luật vật lí là rất quan trọng. Vai trò của sách giáo khoa là cung cấp
nội dung kiến thức cơ bản, hiện đại, sát với thực tế là một điều không thể thiếu đối với người
học. Bên cạnh đó vai trò chủ đạo của người thầy trong việc hướng dẫn học sinh lĩnh hội kiến
thức cũng rất quan trọng.
Qua quá trình giảng dạy môn vật lí tôi thấy đa số nội dung kiến thức học sinh đều hiểu và
biết cách vận dụng. Tuy nhiên một số em do chưa nắm vững kiến thức nên hiệu quả học tập
vẫn chưa cao, kết quả thi đại học điểm của các em vẫn còn khá thấp. Để giúp cho quá trình
học tập của các em đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đưa ra sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT
SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG.
Trong quá trình biên soạn còn nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy
cô và các em học sinh để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
II. THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
CỦA HỌC SINH.
- Môn vật lí là một môn học khó, đòi hỏi người học phải nắm vững các hiện tượng, các quy
luật, các khái niệm, các định nghĩa công thức và phải có kĩ năng toán học tốt.
- Tuy nhiên thời lượng học môn vật lí lại rất ít, chỉ có hai tiết một tuần, giáo viên không đủ
thời gian để hướng dẫn tỉ mỉ cho học sinh, còn học sinh do nắm chưa vũng lí thuyết, cộng với
kĩ năng toán học chưa tốt, nên làm bài không tốt, do đó các em sinh ra tâm lí chán nản, dẫn
tới các em không muốn học môn vật lí, và luôn coi vật lí là môn học khó.
- Thời gian phân bố thời lượng học bài tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng
tần số chỉ có hai tiết, nhưng kiến thức đòi hỏi các em phải nắm được rất khó. Các em phải
nắm được các kiến thức về dao động điều hòa, kiến thức về phần véc tơ trong toán học, và
phải có kĩ năng toán học tốt thì mới làm được các bài tập. Sách giáo khoa trình bầy bài tổng
hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số đã đầy đủ nhưng vẫn chưa sâu sắc, vẫn
còn gây khó hiểu cho học sinh, lượng bài tập trong sách còn quá ít, khoảng cách giữa các bài



3
B. PHẦN HAI NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT BÀI 5: TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐỀU HOÀ CÙNG
PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN
I.1. Vectơ quay:
Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(ωt + φ ), có
uuuur
thể được xem như một vector quay OM , được vẽ tại thời điểm ban
đầu như hình vẽ:
Với: Biên độ A  OM ; gốc tại gốc tọa độ của trục Ox; và hợp với
trục Ox một góc bằng pha ban đầu.
I.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
Xét một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2). Khi đó dao động của vật là một dao động
điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình x = Acos(t + ).
Với: - Biên độ của dao động tổng hợp :
- Pha ban đầu của dao động tổng hợp:

A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(2 - 1)
tg =

A1sin1  A 2sin2
A1cos1  A 2 cos2

- Các trường hợp đặc biệt của A th :
Hai dao động cùng pha khi   k2  A  A1  A 2
Hai dao động ngược pha khi   (2k  1)  A  A1  A2
Hai dao động vuông pha khi   (2k  1)


cùng tần số
+ Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần
lượt là : x1 = A1cos(ωt + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ2) .
→ Độ lệch pha của hai dao động: Δφ = φ2 - φ1
* Nếu φ2 > φ1 : dao động 2 sớm (nhanh) pha hơn dao động 1 góc 
* Nếu φ2 < φ1 : dao động 2 trễ (chậm) pha hơn dao động 1 góc 
* Nếu Δφ = 2kπ (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động cùng pha
* Nếu Δφ = (2k + 1)π (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động ngược pha
* Nếu   k 

 
1
  k    (với k = 0,±1,±2,…) → Hai dao động vuông pha.
2 
2

→ Dao động tổng hợp của vật là một dao động điều hòa và có dạng:
x = x1 + x2 = A.cos(ωt + φ )
với : A2  A12  A22  2A1A2 cos(2  1 )

và

tan  

A1 sin 1  A 2 sin 2
A1 cos 1  A 2 cos 2

Chú ý: A1  A2  A  A1  A2
Nếu hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2
Nếu hai dao động ngược pha: A = Amin = A1  A2


ur ur ur
ur
- Áp dụng phương pháp hình chiếu: A  A1  A 2  ...  A n
n
 A x  A1cos 1 A 2cos 2 ... A cos
n
Chiếu lên trục Ox và Oy: 
n
n
A y  A1 sin 1 A 2sin 2 ... A sin
Khi đó: A  A 2x  A 2y ; tan  

Ay
Ax

ur
A

Ay

o



Ax

x

; Các trường hợp về pha ban đầu:

A
10,196
 A  A 2X  A 2Y  13cm ; tag  Y 
 1, 244    0,893rad
Ax
8,196
 x = 13cos(2πt +0,893) (cm).


6
Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình lần lượt là: x1  5cos(2t   / 3), x 2  10cos(2t  2 / 3), x 3  20cos(2t  ) , Xác định
phương trình dao động tổng hợp của vật?
Giải: Ta có

A x  5cos / 3  10cos2 / 3  20cos   22,5

 A y  5sin  / 3  10sin 2 / 3  20sin   12,99
A
12,99
 A  A 2X  A 2Y  26cm ; tag  Y 
 0,577     / 6rad
A x 22,5
 x = 26cos(2πt  / 6 ) (cm).
II.1.3. Bài toán tổng hợp viết phương trình dao động thành phần?
Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động thứ
nhất có phương trình x1  A1 cos(t  1 ) , dao động tổng hợp có phương trình

x th  Acos(t  ) , hãy xác định phương trình x2 ?
Ta có x th  x1  x 2  x 2  x th  (x1 )  Acos(t  )  A1 cos(t  1  ) , đặt x 2  yth rồi

tan th 

2sin 2 / 3  3 sin(3 / 2)
 0  th   rad
2cos 2 / 3  3 cos(3 / 2)

 x 2  y th  1cos(t  )cm
Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có
phương trình: x1 = 5cos(t + /3) cm, phương trình dao động tổng hợp x = 10cos(t +
/6)cm, phương trình dao động thứ hai là?
Giải:

x th  x1  x 2  x 2  x th  (x1 )  A cos(t  )  A1 cos(t  1  )
 10cos(t   / 6)  5cos(t   / 3  )

A2th  102  (5)2  2.10.5.cos(/6-/3-)=38,39  Ath =6,2cm
tan th 

10sin  / 6  5sin(4 / 3)
 0,108  th  0,108rad
10cos  / 6  5cos(4 / 3)

 x 2  y th  6, 2cos(t  0,108)cm
II.2. Bài toán tổng hợp áp dụng dụng phương pháp giản đồ vec tơ

y
ur
A

+ Bước 1: Ta đi biểu diễn các dao động thành phần bằng các

sin A

Biểu thức định lí hàm cosin:



c

c

µ
sin C

µ)
a 2  b 2  c 2  2.b.c.cos A

B
a

A

C

b

II.2.1. Bài toán cho độ lệch pha của hai dao động tìm biên độ hoặc pha ban đầu?
Bài toán cho góc lệch pha giữa dao động thứ nhất và dao động tổng hợp, tìm biên độ A 2 ?

uuur
A th

Sử dụng hình vẽ kết hợp với biểu thức định lí hàm cosin:
a 2  b 2  c 2  2.b.c.cos µ
A ) sẽ tìm được pha ban đầu.

Bài tập áp dụng:
Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, dao động
thứ nhất có A1  10cm , dao động thứ hai có A 2 , dao động tổng hợp có A  20cm , dao động
y

thứ nhất trễ pha hơn dao động tổng hợp một góc 150 . Tìm A 2 ?

ur
A

Giải:

uur
A2

Ta có A22  102  202  2.10.20.cos150  113,6  A2  10,65cm

150

uur
A1

O

x


Xét tam giác OA2 A có: A12 = A2 + A22 – 2AA2cos

/3


= A2 + A22 – AA2
3

AA22 – 2A1A2 + A2 – A12 = 0
2

cm và  / 6

2

A

A1

2

A2 – 2AA2 + A – A1 = 0
A22 – 2A2 – 8 = 0  A2 = 4cm
uur
ur
Ta có A22 = A12 + A2 = 16  A vuông góc với A1 ;
Suy ra  = 0  2 =


Chọn đáp án A

4
5

D.



. Tỉ số
bằng
6
2

2
4
hoặc
3
3

Giải: Vẽ giản đồ véc tơ như hình vẽ:
Xét tam giác OA1A
A
A2
A1
=
 sin = 2 (*)
2A1
sin  sin 
6

A

3
3

=
=
 =
 2 = +

2
2
6
3
4
2
2





1

= 
=
 2 = +
6
6
6
3
2



2

ur
A

uur
A2

Biên độ dao động tổng hợp khi A1 = A2 là
Nên AA1OA2 là hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau sẽ là hình thoi



O

1

uur
A1
x


10
·
·
AOA
1   / 3 mà AOx   th   / 6  1   / 6


A th
A
A
 2  1
sin  sin  sin 
Ta biện luận biểu thức này và căn cứ vào hình vẽ là xác định được đại lượng cần tìm.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương , có các phương trình




: x1  A1 cos  t   và x 2  6cos  t   . Để vật dao động với biên độ nhỏ nhất thì pha
6
2



A1

dao động ban đầu của vật là bao nhiêu?
Giải: Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có :


A 2 sin
A
A2
3  A khi sin =1  = /2      .

A

3


A
1
thì A bằng bao nhiêu?
2

Giải : Ta có

 Amax =

r
r

A1
A
A sin 
 A max     A1  A 2

A 1
 sin 

2
sin
sin
6
6

/ 3

Ta có :
 2  Amax
 sin 
sin
6
khi  

x

O

A1


A


 A  18cm  A1  A 22  A 2  9 3cm
2

Câu 4 : Hai dao động điều hòa cùng tần số x1=A1 cos(ωt -


) cm và x2 = A2 cos(ωt-π) cm có


phương trình dao động tổng hợp là x = 9cos(ωt+φ). Để biên độ A2 có giá trị cực đại thì A1 có
giá trị:
A:18 3 cm



/6
A1


12
Câu 5: Một vật thực hiện đông thời 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có
phương trình lần lượt là: x1  A1cos t cm; x2  2,5 3cos( t+2 ) , biên độ dao động tổng hợp
là 2,5cm. Biết A1 đạt cực đại, hãy xác định φ2 ?
A: không xác định được

B:


rad


c:

2
rad


D:

Giải: Vẽ giản đồ vectơ như hình vẽ
Theo định lý hàm số sin:

5
rad

A1max 2

  - 2 =


5
 2 =
6
6

Chọn đáp án D

Câu 6: Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là

x1  A1 cos(t  0,35)(cm) và x 2  A2 cos(t  1,57)(cm) . Dao động tổng hợp của hai dao
động này có phương trình là x  20cos(t  )(cm) . Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị
nào nhất sau đây?
A. 25 cm

B. 20 cm

C. 40 cm

D. 35 cm

Giải: 1 = 0,35 rad = 200; 2 = -1,58 rad = - 900
Vẽ giãn đồ véc tơ như hình vẽ
A1



Cho 2 vật dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song với nhau và song song với trục
ox, có vị trí cân bằng của hai vật là ngang nhau, ngang với điểm O, có phương trình lần lượt
là x1  A1cos(t  1 ); x 2  A 2cos(t  2 ) . Hãy xác định các thời điểm mà hai vật cách
nhau một khoảng x bất kì?
- Khi hai vật cách nhau một khoảng x thì:

x1  x 2  x  x1  (x 2 )  x  A1cos(t  1 )  A 2cos(t  2  )  x

(1)

- Đặt x th  x  A1cos(t  1 )  A 2cos(t  2  )  A th cos(t+th )

A th  A12  A 22  2A1 A 2cos(2    1 )

Ta có 
 được phương trình xth
A1 sin 1  A 2 sin(2  )
tg




 th
th
A1cos1  A 2cos(2  )

- Thay x th vào phương trình (1) ta có x th  A th cos(t+th ) = x  cos(t+th ) 

x
 cos




 k
2

( Đây chính là biểu thức các thời điểm mà 2 vật có cùng tọa độ).

II.3.3. Khi bài toán yêu cầu xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình dao động.


14
- Khoảng cách giữa 2 vật trong quá trình dao động trên trục ox là  x2  x1

 x1  (x 2 )  A1cos(t  1 )  A 2cos(t  2  )
- Đặt x th  A1cos(t  1 )  A 2cos(t  2  )  A th cos(t+th )
Khi đó khoảng cách giữa hai vật trên trục ox luôn biến thiên điều hòa theo thời gian theo
phương trình x th  A th cos(t+th )

A th  A12  A 22  2A1 A 2cos(2    1 )

Ta có 
 phương trình x th
A1 sin 1  A 2 sin(2  )
tg





x1 = x2  10cos(2πt = - 10 3 sin(2πt )  tan(2πt ) = 2πt = -

D. 16 phút 45,92s

1

3


1 k
5
k
+ kπ  t = +
(s) với k = 1; 2; 3.... hay t =
+
với k = 0, 1,2 ...
6
12 2
12
2

Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm gặp nhau ứng với k = 0: t 1 =
Lần thứ 2013 chúng gặp nhau ứng với k = 2012

5
s.
12


15


2

2
t - ) = 4sin(
t)
3
2
3

+ Khi x1 = x2  4sin

2
2
2
3
2
3
2
37
t = 3cos
t  tan
t =  sin
t= 
t=
3
3
3
4
3

x = x1 – x2 = Acos(  t + )
A2 = A12 + A22 – 2A1A2cos(1 - 2) = 42 => A = 4cm
=> dmin = xmin = 0(cm); dmax = xmax = 4(cm)

ĐÁP ÁN D

Câu 4: Cho hai vật dao động điều hoà trên cùng một trục toạ độ Ox, có cùng vị trí cân bằng
là gốc O và có cùng biên độ và với chu kì lần lượt là T1=1s và T2=2s. Tại thời điểm ban đầu,
hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng và cùng
đi theo chiều âm của trục Ox. Thời điểm gần nhất ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là:


16
A.

2
s
9

B.

4
s
9

C.

2
s
3



2t   t   k2
 t  k2



3
3
cos(2t  )  cos(t  )  

3t   2  k2
3
3
 2t    t    k2
3


3
3
 t  k2

t   2  k 2
9
3

Khi k =1 thì t=2 và t 

4
s (chọn)

2
3

D. ± 3 cm.
2 t 
 )
3
6


17
 2t  
 2t 
 2t 
 2t 
 cos 
   3 cos 
  sin 
  3 cos 

2
 3
 3 
 3 
 3 
3
 2t  1  2t 
 2t  
cos 
 0

Câu 6: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc
theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc
một là A1 = cm, của con lắc hai là A2 = 4 3 cm, con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc
một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là a = cm.
Khi động năng của con lắc một cực đại là
A. 3W/4.

thì động năng của con lắc hai là:

B. 2W/3.

C. 9W/4.

D. W

Giải: Giả sử phương trình dao động của hai con lắc lò xo:
x1 = 4cost (cm); x2 = 4 3 cos(t + ) (cm)
uur uur
ur uur
uur
Vẽ giãn đồ véc tơ A1 ; A2 và coi A  A2  ( A1 )
ur
Vectơ A biểu diễn khoảng cách giữa hai vật x = x2 – x1

A2
A
O

Đặt x = Acos(t + ’)
biên độ của x: A2 = A12 + A22 – 2A1A2cos = 64 - 32 3 cos





A
) = 4 3 cost cos - 4 3 sint sin = ± 2 3 cm = ± 2
6
6
6
2

3 kA 22
kA 22 kx 22
Wđ2 =
=
4 2
2
2
Wđ 2
Wđ1

3 kA 22
W
3 A 22 9
9
= đ 2 = 4 22 =
=
 Wđ2 =
2
kA1

). Chọn đáp án D
2

Câu 8: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox theo các phương trình

lần lượt là x1  4 cos(4 t )cm và x2  4 3 cos(4 t  )cm . Thời điểm lần đầu tiên hai chất điểm
2

gặp nhau là


19
A.

1
s
16

B.

1
s
4

C.

1
s
12


* Trong thời gian T/ đó, chất điểm y đi từ y  2 3 ra biên dương rồi về lại đúng y  2 3
* Vị trí của 2 vật như hình vẽ
Khoảng cách giữa 2 vật là d 

  
2

3  2 3



2

 15 cm

Câu 10: Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có
phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos(

2

2
t - ) và x2 =3 3 cos
t (x1 và x2 tính bằng
3
2
3

cm, t tính bằng s). Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là:
A. ± 5,79 cm.


   3 cos 
  sin 
  3 cos 

2
 3
 3 
 3 
 3 
3
 2t  1  2t 
 2t  
cos 
 0
  sin 
  0  cos 
2
6
 3  2  3 
 3
2t  
1

   k  t   1,5k(k  z)
3
6 2
2


Chu kỳ dao động : T = 3s nên có 2 thời điểm là t1  0,5s(k  0) & t 2  2s(k  1) khi đó có hai

A. x = - A.

B. x = -

2A
.
3

C. x = -

A
.
2

D. x = -1,5A.

Giải: Vẽ giãn đồ vectơ như hình vẽ.
Ở thời điểm ban đầu hai chất điểm ở M01 và M02
Sau thời gian t =
x1 = 2Acos(
x2 = Acos(

T1 T2
=
hai chất điểm ở M1 và M2
3
4

2
2 T1

1
s
4

C.

1
s
12

D.

5
s
24

Giải : Khoảng cách giữa 2 chất điểm x = x2 – x1 = 8cos ( 4t + 2/3) cm
Khoảng thời gian ngắn nhất để hai chất điểm gặp nhau là
x = 0 => 8cos ( 4t + 2/3) = 0 => t = 5/24 s

Chọn D

Câu 14: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo
hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M
và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M là
cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo
phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng
thế năng, tỉ số động năng của M và động năng của N là
Giải: Khoảng cách giữa hai chất điểm là x 2  x1 bằng hình chiếu của MN xuống trục ox.
Giá trị x 2  x1 lớn nhất khi MN//ox. Mà ta có MN2  A12  A22 => hai dao động vuông pha

-

Ta có x,  v ; (u  )'  u 1u ,

-

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức n.x12  m.x 22  b


22
Ta có: (n.x12  m.x 22 )'  b'  2.n.x121.(x1 )'  2.m.x 221.(x 2 )'  2.n.x121.v1  2.m.x 221.v2  v2 
II.4.2. Ba con lắc lò xo treo thẳng đứng có điểm treo cách đều nhau và có vị trí cân
bằng của ba con lắc là ngang nhau. Giả sử thứ tự ba con lắc từ trái sang phải là 1, 2, 3.
Con lắc thứ nhất có phương trình x1  A1cos(t  1 ) cm. Con lắc thứ hai có phương
trình x 2  A 2cos(t  2 ) cm. Để ba vật nặng của ba con lắc luôn thẳng hàng nhau thì
con lắc thứ ba phải có phương trình là?
- Để 3 vật luôn thẳng hàng trong quá trình dao động thì độ lớn vận tôc tương đối của vật 1 so
với 2 phải bằng của vật 3 so với vật 2, còn chiều thì chúng phải ngược chiều nhau.
uur
uur
v12   v32  v1  v2  (v3  v2 )  2v 2  v1  v3 (1)
Lấy vi phân 2 vế của (1) ta có 2x 2  x1  x 3  x 3  2x 2  (x1 )

m1
m2

uuur
v12

x 3  2A 2cos(t  2 )  A1cos(t  1  )

Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s. Chọn đáp án C
Câu 2: Ba con lắc lò xo treo thẳng đứng có điểm treo cách đều nhau và có vị trí cân bằng ở
cùng độ cao. Giả sử thứ tự ba con lắc từ trái sang phải là 1, 2, 3. Con lắc thứ nhất có phương


23
trình x1 = 3cos (20t + π/2) cm. Con lắc thứ hai có phương trình x2 = 1,5cos 20t cm. Để ba vật
nặng của ba con lắc luôn thẳng hàng nhau thì con lắc thứ ba phải có phương trình là
A. x3 = 3 2 cos (20t – π/ ) cm.

B. x3 = 1,5cos (20t + π/ ).

C. x3 = 3 2 cos (20t + π/ ) cm.

D. x3 = 1,5cos (20t – π/ ).

x 3  2A2cos(t  2 )  A1cos(t  1  )  3cos(20t)  3cos (20t + /2-)

Giải:

A 3  32  32  3 2 cm tg3 

3sin 0  3sin(  / 2)

 1  3   rad
3cos 0  3cos( / 2)
4

 x 3  3 2cos(20t-/4)cm



A1  4A1
3
A
 A1 = A2  sinα = 1 = 0,6  α = 3 ,8 990
3
5
A2

α
2
A1

 2 = 900 + α = 12 ,90 . Đáp án C
Câu 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có phương
trình lần lượt là: x1 = A1cos(2  t +

2
) cm; x2 = A2cos(2  t)cm; x3 = A3cos(2  t 3

2
)cm.Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = - 0cm, thời điểm t2 =
3


24
t1 + T/ các giá trị ly độ x1 = - 20 3 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 3 cm. Tìm phương trình của dao
động tổng hợp.
Giải : Ta có t2 = t1 + T/ nên dao động ở thời điểm t2 lệch pha so với dđ ở thời điểm t1 là /2.
Do đó ta có :

2

 1 => A1 = 40cm
A1

80  0  1 => A = 80cm
x
x

1
2
A
A
A 22
A 22
2
21
2
2

2
22
2
2

2

x
x
 40 

A23

Câu 3: Gọi x là dao động tổng hợp của hai dao động cùng phương : x1 = 10cos(ωt + φ1) và
x2 = Acos(ωt + φ2). Biết khi x1 = – 5cm thì x = – 2cm ; khi x2 = 0 thì x = – 5 3 cm và
T/12

| φ1 – φ2 | < π / 2. Biên độ của dao động tổng hợp bằng:
A. 10cm

B. 2cm C. 16 cm

D. 14 cm

-10

x1

0

-5 3 -5

Giải: Ta có x = x1 + x2
T/12

Ở thời điểm t1 : x2 = x – x1 = - 2 + 5 = 3
Ở thời điểm t2 : x1’ = x’ – x2’ = - 5 3 - 0 = -5 3

0

A2


X2


25
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương
trình lần lượt là x1  A1 cos(t   / 2) ; x2  A2 cos(t ) ; x3  A3 cos(t   / 2) . Tại thời
điểm t1 các giá trị li độ x1  10 3 cm , x2  15cm , x3  30 3 cm. Tại thời điểm t 2 các giá trị
li độ x1 = −20cm, x2 = 0cm, x3 = 60cm. Biên độ dao động tổng hợp là
A. 50cm.

B. 60cm.

C. 40 3 cm.
2

D. 40cm.

2

x  x 
Giải: x1 và x2 vuông pha nên:  1    2   1
 A1   A 2 
2

2

x  x 
x2 và x3 vuông pha nên:  2    3   1
 A 2   A3 

2
  1 A3  60 cm  A  A2  (A3  A1 )  50cm

     1    
 30   A3 
 A 2   A3 
2

2

III. BÀI TẬP ÔN TẬP
Câu 1: Hai dao động thành phần có biên độ cm và 12cm. Biên độ dao động tổng hợp có thể
nhận giá trị
A. 2 cm.
B. 4 cm. C. 3 cm.
D. 7 cm.
Câu 2: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương, cùng tần số và cùng biên độ A = cm.
Tại một thời điểm nào đó, dao động (1) có li độ x = 2 3 cm, đang chuyển động ngược chiều
dương, còn dao động (2) đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lúc đó, dao động tổng hợp
của hai dao động trên có li độ bao nhiêu và đang chuyển động theo hướng nào?
A. x = 8cm và chuyển động ngược chiều dương.
B. x = 0 và chuyển động ngược chiều dương.
C. x = 4 3 cm và chuyển động theo chiều dương.
D. x = 2 3 cm và chuyển động theo chiều dương.
Câu 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có phương trình :
x1  2 3cos10 t cm và x2  2cos(10 t+ /2) . Nhận định nào sau đây là không đúng?
A. Khi x1  2 3 cm thì x2  0 .

B. Khi x1  2 cm thì x2  2 3 cm.