TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
-----------

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

Tên đề tài:

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI

Người hướng dẫn: PGS, TS. Nguyễn Doãn Tuấn
Cán bộ Khoa Toán – Tin – ĐHSP Hà Nội
Người thực hiện: Phạm Thị Diệu Linh
Ngày sinh: 20 – 08 – 1986

PHÚ THỌ - 2010
0


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Phương trình bậc hai và Định lí Vi–ét học sinh được học trong chương
trình Đại số 9 bậc THCS đặc biệt Định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong
việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm
hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho
trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai….
Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời
lượng chưa nhiều.
- Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-ét và phương trình bậc hai

bài toán bậc hai.
- Tìm hiểu mạch kiến thức về định lí Vi–ét và ứng dụng.
- Điều tra về thực trạng:
+ Thường xuyên nghiên cứu các dạng bài tập liên quan đến định lí
Vi–et trong SGK, SBT và các sách nâng cao.
+ Thường xuyên kiểm tra , đánh giá để nhận sự phản hồi của học sinh
từ đó nhận ra ưu điểm, những khuyết điểm, tồn tại mà học sinh hay mắc phải để
có hướng khắc phục, tìm ra phương pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lượng
dạy học.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Tôi thực hiện đề tài nghiên cứu này tại trường Trung học cơ sở thị trấn
Thanh Ba 1- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ.
Đối tượng nghiên cứu: học sinh khá giỏi lớp 9A1, 9A2
Phạm vi: 8 học sinh
Mức độ: các bài tập cơ bản và nâng cao
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
- Kiến thức cơ bản của chương IV: “ Hàm số y=ax 2 (a  0) - Phương trình
bậc hai một ẩn ” ở sách giáo khoa Toán 9.
- Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo Toán 9
- Phương pháp giải các dạng toán cơ bản và nâng cao.
- Phân tích các dạng toán, tìm phương pháp giải và lựa chọn phương
pháp phù hợp với trình độ học sinh.

CẦN THỰC HIỆN ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG
DẠY HỌC NỘI DUNG
I. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
- Tìm hiểu sự ham mê học Toán của học sinh khối 9.
- Kiểm tra kiến thức và đánh giá kĩ năng vận dụng Định lí Vi-et vào các
bài toán bậc hai của các học sinh đã chọn.
II. Biện pháp 2: Dạy học theo các dạng bài tập
- Tái hiện các kiến thức cơ bản trong SGK về Định lí Vi-et và ứng dụng
của Định lí Vi-et:
 Định lí Vi-ét
NÕu x1 , x2 là hai nghiÖm của ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 )
th×

x1  x2  

c
b
vµ x1.x2 
a
a

 TÝnh nhÈm nghiÖm:
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) cã c¸c nghiÖm
lµ

x 1  1, x 2 

c
a



Giải:
a) Ta có: a  b  c  3  8  (11)  0 nên phương trình có một nghiệm là
x1  1 , nghiệm còn lại là x 2  

c 11

a 3

b) Ta có: a  b  c  2  5  3  0 nên phương trình có một nghiệm là x1  1,
nghiệm còn lại là x 2 

c 3

a 2

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình:
a) 5x 2  24 x  19  0 b) x 2  (m  5) x  m  4  0
1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Ví dụ 2:
a) Phương trình x 2  2 px  5  0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm
còn lại của phương trình

5


b)Phương trình x 2  5 x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm
còn lại của phương trình

2
2
2

Câu b tương tự
- Câu c và d: vì vai trò của hai nghiệm là như nhau nên ta làm như sau:
+ Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức
của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó
+ Tìm hệ số chưa biết
Giải: Giả sử hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 có vai trò như nhau
c) Theo đề bài ta có x1  x2  11
Theo định lí Vi-et ta có x1  x 2  7
 x1  x 2  11
ta được x1  9, x 2  2
 x1  x 2  7

Giải hệ phương trình 
q = x1 x2  9(2)  18

6


d) Ta có x1  2x 2 . Theo định lí Vi-et ta có
x  5
2
2
x1 x2  50  2 x2  50  x2  25   2
 x 2  5

Với x 2  5 thì x1  10 , q  x1  x2 = 10 + 5 = 15

2 3

2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trình cho trước
Ví dụ 4:
Cho phương trình x 2  3x  2  0 có hai nghiệm x1 ; x2 .
Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x2 

7

1
1
; y 2  x1 
x1
x2


- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:
Cách 1:
+ Tính trực tiếp y1 ; y 2 bằng cách: Tìm nghiệm x1 ; x2 của phương trình đã cho rồi
thay vào biểu thức tính y1 ; y 2
Phương trình x 2  3x  2  0 có a  b  c  1  (3)  2  0 nên phương trình có
hai nghiệm là x1  1; x 2  2
Ta có y1  x 2 

1
1
1
1 3
 2   3; y 2  x1 

1
1
1
3 9
 x1 
 ( x1  x2 )      ( x1  x2 )  1
 3 
x1
x2
x1 x 2
2 2
 x1 x2 
1
1
1
1 9
( x2  ).( x1  )  x1 x 2  1  1 
 2 11 
x1
x2
x1 x 2
2 2
S  y1  y 2  x 2 

9
2

9
2



Việc tính y1 ; y 2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian
y1  x1 

1
6
1
6

; y 2  x2  
x 2 5  97
x1 5  97

5
1
S  y1  y 2   ; P  y1 y 2  
6
2
5
6

1
2

Phương trình cần lập: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0
( hay 6 y 2  5 y  3  0 )
- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x2 là hữu tỉ
do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:
Theo Định lí Vi-et, ta có:
5

x1 x2
2
2
5
6

1
2

Phương trình cần lập: y 2  Sy  P  0 hay y 2  y   0 (hay 6 y 2  5 y  3  0 )
Bài tập áp dụng:
Bài 4 :
Cho phương trình x 2  5x  1  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y1  x14 ; y 2  x2 4
9


Bài 5 : Cho phương trình x 2  2 x  8  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1  x1  3; y 2  x 2  3
Bài 6 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm
của phương trình x 2  mx  2
Bài 7 : Cho phương trình x 2  2 x  m 2  0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương
trình bậc hai có các nghiệm y1  2 x1  1; y 2  2 x 2  1
Bài 8 : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
 x1  x 2  2
 3
3
 x1  x 2  26

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x2

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:
x12  x 2 2  ( x1 2  2 x1 x 2  x 2 2 )  2 x1 x 2  ( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2
x13  x 2 3  ( x1  x 2 )( x1 2  x1 x 2  x 2 2 )  ( x1  x 2 )  ( x1  x 2 ) 2  3 x1 x 2 
x14  x 2 4  ( x1 2 ) 2  ( x 2 2 ) 2  ( x1 2  x 2 2 ) 2  2 x12 x 2 2  [( x1  x 2 ) 2  2 x1 x 2 ]  2 x1 2 x 2 2
1
1
x  x2

 1
x1 x 2
x1 x 2
...........
Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theo S  x1  x2 ; P  x1 x2

4.1 . Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm
Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu
thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et
để tính
Ví dụ 8: Cho phương trình x 2  8 x  15  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x12  x2 2

b)

1 1

x1 x2

c)

x1 x2

x2 x1
x1 x2
15

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm
Bài tập áp dụng:
Bài 12 : Cho phương trình 8 x 2  72 x  64  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x12  x2 2

b)

1 1

x1 x2

11


Bài 13 : Cho phương trình x 2  14 x  29  0 có hai nghiệm x1; x2 hãy tính
a) x13  x23

b)

1  x1 1  x2

x1
x2

4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ
thuộc tham số

m   28
2m  3
3

 x1  x2  m  2  m (1)
b) Theo định lí Vi-et ta có: 
 x x  m  4  1  4 (2)
 1 2
m
m

3
12
 x1  x2  2 
 4( x1  x2 )  8(3)
m
m
4
12
(2)   1  x1 x2 
 3  3x1 x2 (4)
m
m
(1) 

Từ (3) và (4) ta được: 4( x1  x2 )  8  3  3x1 x2 hay 4( x1  x2 )  3x1 x2  11
Ví dụ 10: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (m  1) x 2  2mx  m  4  0
Chứng minh biểu thức A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m

12

m4
0
 2.
8 
0
m 1
m 1
m 1

Vậy A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 0 với m  1 và m 

4
5

hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập áp dụng:
Bài 12 : Cho phương trình x 2  (m  2) x  2m  1  0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m
Bài 13: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)
Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  1  0(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 7
b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm
c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 của (1) sao cho hệ thức đó
không phụ thuộc tham số m
4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước
Cách làm:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1; x2
13



m

 6 m  6  9 m  27  3m  21  m  7 (TMĐK)

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2
Ví dụ 12: Cho phương trình mx 2  2(m  4) x  m  7  0 . Tìm giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1  2 x2  0
Nhận xét:
Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1  x2 và x1 x2 nên
ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m
Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1  x2 và
x1 x2 rồi tìm m như ví dụ trên

Giải:
m  0
16
 m  15

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 là: 
(m  4)

 x1  x2 
m
Theo định lí Vi-et ta có: 
(1)
m

7
x x 
 1 2


 m  2  3

- Cần thêm điều kiện P  0 để có

1 1
;
đó là m  2  3
x1 x2

- Một sai lầm học sinh hay mắc phải đó là biến đổi
1 1 1
  ( x1  x2 )  2( x1  x2 )  ( x1  x2 ) x1 x2
x1 x2 2

Hai vế của đẳng thức đều chứa x1  x2 nên rút gọn đi để được 2  x1 x2
Điều này sai vì có thể có trường hợp x1  x2 = 0
Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:
( x1  x2 )(2  x1 x2 )  0
 4(m  1)(m 2  4m  5)  0
m  1
  m  1
 m  5

- Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại
Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

15



2 4 11

3 m 2 m 3(m 2 2m )
3
3
3 9 9


2
11 11
3(m ) 2
3
3 3
Vy GTNN ca

x

2
1



x22 l

2
11
khi m =
3
3


Điều kiện

Dấu của hai nghiệm x1; x2


Trái dấu

x1 x2  0

S

>0

P
0

>0

0


1
3

c) P 0 nờn hai nghim trỏi du
Vớ d 16:
2

2

Cho phương trình x (m 1) x m m 2 0 ( m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm cựng dấu m
Giải :
1
1
3
1
3
ac m 2 m 2 m 2 2 m 1 ( m ) 2 1
2
4
4
2
4
2

1

m 0
2


2 m 3

P 0
(m 3)(m 2) 0
0
2


Vy vi -2 < m < 3 thỡ phng trỡnh cú hai nghim trỏi du
18


Bài tập áp dụng:
Bài 23: Cho phương trình x 2  2(m  1) x  2m  3  0 (1)
a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia
Bài 24: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2007 – 2008 )
Cho phương trình x 2  5 x  m  0
a) Giải phương trình với m = 6
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 25: Cho phương trình x 2  2(m  3) x  4 m  1  0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 26 : Xác định m để phương trình
a) m x 2  2( m  2) x  3( m  2)  0 có hai nghiệm cùng dấu
b) ( m  1) x 2  2 x  m  0 có ít nhất một nghiệm không âm
* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có:
+ hai nghiệm trái dấu

Đặt vấn đề: Định lí Vi-ét thể hiện mối liên hệ giữa các nghiệm của với các hệ số
của phương trình bậc hai . Bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các dạng
toán cơ bản ứng dụng định lí Vi-ét đã đưa ra trong sách giáo khoa
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
- Yêu cầu HS nêu định lí Vi-ét

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Nêu định lí: Nếu x1; x2 là nghiệm của
phương trình ax 2  bx  c  0(a  0) thì
b
c
x1  x2   ; x1 x2 
a
a

(?) Nêu các ứng dụng của Định lí

- Các ứng dụng của định lí Vi-ét:

Vi-ét đã học

nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai,
tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương
trình bậc hai
* Đặc biệt: Phương trình bậc hai có
một nghiệm là 1 hoặc – 1
- Yêu cầu HS nhắc lại cách nhẩm


a) Ta có: a  b  c  3  8  (11)  0

- Lưu ý HS xác định chính xác các hệ nên phương trình có một nghiệm là
số a; b; c của phương trình để tìm

x1  1 , nghiệm còn lại là x 2  

nghiệm của phương trình

c 11

a 3

b) Ta có: a  b  c  2  5  3  0
nên phương trình có một nghiệm là
x1  1 , nghiệm còn lại là x 2 

- Cho HS nhận xét bài làm

c 3

a 2

- Nhận xét

* Cho phương trình bậc hai, có một
hệ số chưa biết, cho trước một
nghiệm, tìm nghiệm còn lại và hệ số
chưa biết của phương trình như thế
nào?


x1 2
9
2

9
2

9
2

5
2

(hoặc x1  x 2   x2   x1   2  )
Dạng 2: Lập phương trình bậc hai
- Đặt vấn đề: Nếu phương trình bậc
hai có nghiệm ta có thể tính được tổng - Nghe giảng, suy nghĩ vấn đề đặt ra
và tích của chúng. Ngược lại biết hai
số có tìm được phương trình bậc hai
nào nhận chúng làm nghiệm hay
không?
Ví dụ 3: Lập phương trình bậc hai có
hai nghiệm là 8 và -3
- Gợi ý: Tính tổng và tích các nghiệm

Theo Định lí Vi-et ta có

Sau đó lập phương trình bậc hai có


Cách 1: Tìm nghiệm x1 ; x2 của

- Ghi nhớ các cách giải

phương trình đã cho rồi thay vào biểu

- Nhận biết:

thức tính y1 ; y 2 .

Cách 1: nên áp dụng khi phương trình

Cách 2: Tính S  y1  y 2 ; P  y1 y 2 theo

ban đầu nhẩm được nghiệm, có nghiệm

x1 ; x2

hữu tỉ
cách 2: không trực tiếp tính các nghiệm
x1 ; x2 và y1 ; y 2

- Hướng dẫn HS tính

S  y1  y2  ( x1  3)  ( x2  3)  x1  x2  6

S  y1  y2 ; P  y1 y2

P  y1 y2  ( x1  3)( x2  3)  x1 x2  3( x1  x2 )  9



nào?

x 2  11x  28  0

23


- Yêu cầu HS giải Phương trình tìm

  112  4.1.28  9

các nghiệm

 x1  4; x2  7

x =? y = ?

Nếu x = 4 thì y = 7
Nếu x = 7 thì y = 4

Ví dụ 6: Tìm hai số a và b biết
S = a + b = 3, P = ab = 6
- Gọi HS lên bảng làm bài

Hai số a và b là nghiệm của phương
trình x 2  3x  6  0
  3 2  4.1.6  9  24  15  0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn