ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TÔ THỊ DINH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÊ PHÁN
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn


Lời cảm ơn.........................................................................................................i
Mục lục..............................................................................................................ii
Danh mục bảng .............................................................................................iv
Danh mục biểu đồ ..................... ......................................................................iv
MỞ ĐẦU........................................................................................................1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .......................................................................4
1.1. Dạy học phương trình vô tỉ.......................................................................4
1.1.1. Khái niệm phương trình vô tỉ.................................................................4
1.1.2. Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ......................................................4
1.1.3. Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ.......5
1.2. Hệ thống bài tập .......................................................................................6
1.2.1. Khái niệm hệ thống bài tập ....................................................................6
1.2.2. Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ ........................................6
1.2.3. Cách thức hệ thống bài tập phương trình vô tỉ .......................................7
1.3. Tư duy phê phán.......................................................................................7
1.3.1. Khái niệm tư duy...................................................................................7
1.3.2. Khái niệm tư duy phê phán....................................................................8
1.3.3. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán ..........................................................8
1.3.4. Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán........................................................10
1.3.5. Thực trạng dạy học tư duy phê phán ở trường phổ thông ............................11
1.3.6. Biện pháp phát triển tư duy phê phán............................................................13
1.4. Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy phê
phán cho học sinh …………………………………………………………..16
Chương 2. CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.............................18
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương…………………………………….18 2.1.1.
Nâng lên lũy thừa ...........................................................................................18 2.1.2.
Trục căn thức..................................................................................................25
4



Bảng 3.4. Tổng hợp phân loại kết quả học tập. ............................................. 85
Bảng 3.5. Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng lớp. ............................ 87
Bảng 3.6. Bảng thống kê các tham số đặc trưng từng nhóm thực nghiệm .... 87

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Tổng hợp phân loại kết quả học tập. ......................................... 86
Biểu đồ 3.2. Mức độ hứng thú học tập của học sinh. .................................... 86

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội nhập quốc tế
đang đặt ra cho ngành giáo dục nước ta một nhiệm vụ quan trọng là đào tạo ra
những con người có phẩm chất tốt, năng động và sáng tạo. Một trong những
điểm yếu của đa số học sinh hiện nay là thái độ thụ động trong học tập, ngại
khó, lười đặt ra câu hỏi và trả lời để nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc và toàn
diện. Bên cạnh đó, học sinh chưa biết cách chọn lọc thông tin, hệ thống kiến
thức một cách hợp lý trong học tập. Chính vì lẽ đó, học sinh cần được rèn
luyện ý thức, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo ngay từ khi ngồi trên ghế nhà
trường.
Toán học là một môn khoa học của tư duy nhưng lại có mối liên hệ mật
thiết với thực tiễn và được ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác
nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Trong dạy
học toán, một trong những nhiệm vụ quan trọng là hình thành và phát triển tư
duy phê phán, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Thực tế giảng dạy toán ở trường phổ thông hiện nay cho thấy tư duy phê
phán chỉ được phát triển một cách tự nhiên theo nội dung dạy học mà chưa
được định hướng rõ ràng, cụ thể. Như vậy, vấn đề đặt ra là làm thế nào để học

Đối tượng nghiên cứu là các dạng toán về phương trình vô tỉ được khai
thác sâu theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung bình, khá.
5. Vấn đề nghiên cứu
Đề tài tập trung vào nghiên cứu vấn đề cơ bản sau:
Khai thác các bài toán về phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển
tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ thông một cách toàn diện?
6. Giả thuyết khoa học
Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề phương trình vô tỉ nhằm phát triển
tư duy phê phán cho học sinh sẽ có hiệu quả tích cực trong việc giúp học sinh
chủ động chiếm lĩnh tri thức, nội dung kiến thức bài học, trở thành con người
có tư duy độc lập tự chủ, năng động và nắm bắt vấn đề một cách sâu sắc và toàn
diện.

8


7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Từ tháng 01 năm 2014 đến tháng 10 năm 2014.
- Phạm vi về nội dung: Các bài toán về phương trình vô tỉ được khai
thác theo hướng phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học thổ thông.
- Khảo sát tại trường trung học phổ thông Ngô Quyền thành phố Hải
Phòng.
8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Ý nghĩa lý luận của đề tài:
Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lý luận những vấn đề cơ
bản về phương trình vô tỉ và tư duy phê phán.
- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài:
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích với giáo viên và học sinh
trung học phổ thông trong giảng dạy và học tập.
9. Phương pháp nghiên cứu


1.1.2. Mục tiêu dạy học phương trình vô tỉ
Phương trình là phần kiến thức nền tảng, cơ bản, quan trọng xuyên suốt
chương trình phổ thông với nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế và cuộc
sống. Lí thuyết phương trình không phải chỉ là cơ sở để xây dựng đại số học mà
còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học (xem [7, tr.
64,65]). Việc dạy học kiến thức về phương trình là rất quan trọng. Một trong
những nội dung hay và khó trong phần kiến thức này là phương trình vô tỉ. Do
đó, cần đặt ra mục tiêu dạy học nội dung này một cách hợp lý giúp cho
quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất, cụ thể:
- Học sinh có thể nhận biết được các dạng bài tập về phương trình vô tỉ.
- Học sinh hiểu và giải quyết được các bài toán về phương trình vô tỉ từ
đơn giản đến phức tạp và theo các cách khác nhau.
- Học sinh được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật (xem [7,
tr. 68]).
- Rèn cho học sinh kĩ năng tính toán, suy luận logic, đánh giá, phân tích,
tổng hợp các vấn đề. Học sinh được phát triển tư duy phuật giải (xem [7, tr.
68]).

10


- Học sinh biết mở rộng, phát triển bài toán theo hướng tư duy của mình,
liên hệ nội dung phương trình vô tỉ với các nội dung học tập khác.
- Giảm bớt áp lực, khó khăn cho học sinh trong quá trình học tập nội dung
phương trình vô tỉ.
- Kích thích tư duy, niềm say mê, hứng thú của học sinh trong học tập nội
dung phương trình vô tỉ nói riêng và bộ môn toán nói chung.
1.1.3. Khó khăn và thách thức trong dạy học nội dung phương trình vô tỉ
Phương trình vô tỉ là dạng toán khó và quan trọng trong chương trình

chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện hạn chế phạm vi tác
dụng của chúng (xem [6, tr. 209]).
Thứ hai, vì chưa đủ khả năng phân tích, khai thác bao quát mọi trường
hợp, vấn đề trong các bài tập về phương trình vô tỉ nên bài giải không được
trọn vẹn, thiếu sót.
Thứ ba, học sinh chưa biết cách hệ thống logic các dạng bài tập về
phương trình vô tỉ nên gặp khó khăn với các bài toán phức tạp và các bài tập
mới.
Thứ tư, học sinh chưa được định hướng rõ ràng về phương pháp giải cho
từng dạng toán, chưa biết khai thác một bài toán theo nhiều hướng khác nhau để
lựa chọn một cách hợp lý. Do đó, các em chưa linh hoạt, sáng tạo trong giải
toán.
1.2. Hệ thống bài tập
1.2.1. Khái niệm hệ thống bài tập
Hệ thống là tập hợp các phần tử có quan hệ hữu cơ với nhau, tác động
chi phối lẫn nhau theo các quy luật nhất định để trở thành một chỉnh thể. Từ đó
xuất hiện thuộc tính mới gọi là tính trồi của hệ thống mà từng phần tử riêng lẻ
không có hoặc có không đáng kể.
Hệ thống bài tập là liệt kê, sắp xếp, phát triển các bài tập theo một trật tự
logic nhất định tạo thành một tập hợp các bài toán với các phương pháp giải
đặc trưng nhất cho từng dạng toán.

12


1.2.2. Mục đích hệ thống bài tập phương trình vô tỉ
Việc hệ thống bài tập về nội dung phương trình vô tỉ nhằm thực hiện các
mục đích cơ bản sau:
- Giúp học sinh có thể nghiên cứu các bài tập về nội dung phương trình vô
tỉ một cách đơn giản, nhẹ nhàng, vừa sức với các em.

trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, ý
tưởng, giả thuyết...từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ
nhằm đưa ra nhận định về sự việc, ra quyết định và hình thành cách ứng xử của
mỗi cá nhân.
Người có tư duy phê phán thường suy nghĩ chủ động hướng tới những vấn
đề và tình huống phức tạp dựa trên những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin của
mình. Họ hoàn toàn có thể khiến chính những suy nghĩ, quan điểm và niềm tin
của mình trở nên hợp lí và chính xác hơn bằng cách tự khám phá, đặt
ra hàng loạt câu hỏi và tìm ra câu trả lời hay giải pháp cho những câu hỏi đó.
Tư duy phê phán thể hiện ở năng lực phân tích sự việc, hình thành và sắp xếp
các ý tưởng, bảo vệ ý kiến, so sánh, rút ra các kết luận, đánh giá các lập luận,
giải quyết vấn đề.
Có thể nói, tư duy phê phán là quá trình vận dụng trí tuệ tích cực và khéo
léo để khái quát, ứng dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá thông tin từ sự
quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin, vốn kiến thức và lý lẽ.
Bên cạnh đó, tư duy phê phán là quá trình xác định thận trọng, kĩ lưỡng sự
việc có thể chấp nhận, từ chối hay nghi ngờ và mức độ tin cậy của nó trước khi
chấp nhận hay từ chối sự việc đó.
Tóm lại, tư duy phê phán có thể định nghĩa như sau: "Tư duy phê phán là
quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, cân nhắc, tổng hợp, đánh
giá và liên hệ mọi khía cạnh các nguồn thông tin với thái độ hoài nghi tích cực
dựa trên những tiêu chuẩn nhất định để đưa ra các thông tin phù hợp nhất nhằm
giải quyết vấn đề".
1.3.3. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán
1.3.3.1. Dấu hiệu của năng lực tư duy phê phán
Năng lực tư duy phê phán thể hiện ở các dấu hiệu sau:

14





- Sắp xếp lời giải một cách logic, phù hợp đối với bài toán.
- Có thể tìm kiếm những căn cứ trong các lập luận khi giải quyết vấn đề. Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau với thái độ hoài nghi tích cực.
- Có khả năng phản bác lại ý kiến của người khác với luận cứ chắc chắn,
đầy đủ và khẳng định, bảo vệ, thể hiện, chứng minh quan điểm và lời giải của mình
là đúng.
- Có khả năng nhận ra những thiếu sót, sai lầm trong quá trình lập luận
giải quyết bài toán.
- Có khả năng sửa chữa sai lầm khi lập luận để chứng minh hoặc giải
toán.
- Có khả năng phát hiện, tìm tòi nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán
và biết lựa chọn phương pháp phù hợp, tối ưu nhất dể hoàn thiện bài giải.
- Tổng hợp cách giải, so sánh, đánh giá các cách giải trong một bài toán. Biết phân tích, liên hệ, mở rộng, phát triển thành bài toán mới.
1.3.4. Nguyên tắc cơ bản của tư duy phê phán
Một trong các nguyên tắc quan trọng nhất và đồng thời khó thực hiện
nhất
trong tư duy phê phán chính là tính triệt để, tức là việc thu thập đủ tất cả những
cơ sở lập luận, các chứng cứ sẵn có cho một chủ đề dựa trên sự nghiên cứu kĩ
lưỡng. Mọi ý kiến phải có cơ sở lập luận của nó, những tri thức không đầy đủ
thường là xuất phát điểm cho những kết luận sai lệch. Do vậy, cần có các
nguyên tắc quan trọng để quá trình tư duy phê phán đi đúng hướng tránh
tình trạng lệch lạc, ngụy biện, thiên vị... như sau:
- Thu thập đủ thông tin cần thiết: Trong quá trình thu thập, tổng hợp và xử
lý thông tin không đưa ngay ra kết luận về vấn đề một cách vội vàng dễ dẫn
đến định hướng cảm tính, phán xét chủ quan đem lại kết quả chưa chính xác.

16



- Giáo viên chưa hiểu tường tận về tư duy phê phán cũng như tầm
quan trọng của việc rèn luyện tư duy phê phán trong quá trình dạy học.
- Nhiều giáo viên nhận thức được tầm quan trọng của việc rèn luyện và
phát triển tư duy phê phán cho học sinh nhưng lại chưa biết khai thác các nội
dung dạy học như thế nào, bằng cách nào cho đúng đắn, hợp lý và hiệu quả.
Nhìn chung, giáo viên vẫn chưa nhận thức rõ ràng về vai trò của tư duy
phê phán trong dạy học. Điều này có thể do một số nguyên nhân sau:
- Một trong những đặc điểm văn hóa và tư duy của người Việt là đề cao
quan hệ xã hội theo hướng dĩ hoà vi quý. Do đặc điểm này, tranh luận sẽ dễ
dàng bị đồng nhất với tranh cãi hay tranh chấp, nghĩa là những thái độ tiêu cực
mang tính cá nhân, cục bộ, địa phương hay gây mất đoàn kết. Vì vậy, trong
tâm thức người Việt Nam, phê phán thường bị hiểu ngầm là chê bai, coi thường.
- Phương pháp dạy học sử dụng chưa hiệu quả. Việc vận dụng các
phương pháp dạy học hiện đại chưa hợp lí, nặng về hình thức. Do đó, sự
tương tác giữa học sinh và học sinh, giáo viên và học sinh trong và ngoài lớp
học còn hạn chế.
- Tập trung vào ghi nhớ kiến thức theo kiểu thuộc lòng mà chưa chú ý vào
việc học khái niệm hoặc học ở cấp độ cao (như phân tích, tổng hợp) dẫn đến
hậu quả là học hời hợt thay vì học chuyên sâu.
- Chương trình giảng dạy nặng về lí thuyết, mục đích chính là kết quả thi
cử nên đã hạn chế phần nào khả năng phát triển tư duy ở cấp độ cao.
1.3.5.2. Tư duy phê phán của học sinh hiện nay
Học sinh hiện nay có biết cách sử dụng tư duy phê phán trong học tập
cũng
như trong cuộc sống hay không? Điểm yếu của học sinh Việt Nam là gì? Câu hỏi
này đã được rất nhiều người làm công tác giáo dục đặt ra, đã và đang tìm cách
khắc phục. Qua kết quả điều tra ý kiến của học sinh khối 12 trường trung

18


19


thức được rằng không có gì là tuyệt đối, ai cũng có thể sai, thậm chí sách
cũng có thể viết sai, nhầm lẫn, chân lí không phải bao giờ cũng thuộc về đa số.
Bên cạnh đó, cần xây dựng môi trường học tập thân thiện, bình đẳng giữa
giáo viên và học sinh, khuyến khích học sinh tự do phát biểu ý kiến cá nhân
theo hướng tích cực. Có như vậy, học sinh mới tự tin vào bản thân để thể hiện
quan điểm mình trước mọi người mà không rụt rè, e ngại.
Cung cấp trang thiết bị dạy học cần thiết cho giáo viên và học sinh, đồng
thời tổ chức các hoạt động trong trường, lớp cho học sinh tham gia, rèn luyện.
Định hướng cho người giáo viên biết cách khai thác, tìm tòi, nghiên cứu,
xây dựng, thiết kế hoạt động dạy học cho hợp lý phát triển tối đa tư duy phê
phán cho học sinh.
Có như vậy, mới tạo điều kiện phát triển tư duy bậc cao của học sinh, xây
dựng niềm tin, hứng thú học tập của các em và đảm bảo quá trình dạy học đạt
kết quả cao theo mục tiêu dạy học đã đề ra.
1.3.6.2. Biện pháp phát triển tư duy phê phán cho học sinh trung học phổ
thông trong dạy học toán
Việc rèn luyện và phát triển tư duy bậc cao cho học sinh trong bộ môn
toán là rất cần thiết. Trong quá trình dạy học, để phát triển tư duy phê phán
cho học sinh một cách tích cực giáo viên cần lưu ý các biện pháp sau:
- Biên soạn tài liệu giảng dạy phù hợp với năng lực và trình độ của học
sinh.
- Giáo viên cần tích cực nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng các câu hỏi mở, các
tình huống dạy học và các bài toán thực tế nhằm kích thích học sinh động não,
tìm ra nhiều cách giải, xây dựng các dạng toán tương tự.
- Giáo viên cần rèn cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản và khả năng
quan sát, động não. Tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ độc lập, tự nghiên cứu
và tìm ra phương án giải quyết vấn đề trước khi đưa ra sự trợ giúp.

lại khẳng định là A mà không phải là B trong khi B cũng có các khả năng
như A? Nếu là B thì khi đó sẽ có kết quả là B1, kết quả này có giống kết quả
A1 của khả năng A không? Nếu có giống thì sẽ rút ra kết luận nào và nếu
không thì lí do là ở đâu?...(xem [9]).

21


- Trong bất cứ thời điểm, tình huống nào học sinh cũng phải sẵn sàng
động não, suy luận và đánh giá.
- Phân tích các trường hợp có thể xảy ra khi giải bài toán.
- Không chỉ bó hẹp trong nguồn tài liệu mà giáo viên cung cấp, học sinh
cũng cần học cách tự tìm những tài liệu mới để phục vụ cho học tập.
- Học sinh cần biết xác định cho mình các nhiệm vụ cụ thể trước mắt, các
nhiệm vụ lâu dài để đặt ra kế hoạch, mục tiêu thực hiện các nhiệm vụ.
Như vậy, có thể nói tư duy phê phán có vai trò rất lớn trong việc học tập
toán của học sinh. Kết quả học tập và tốc độ phát triển trí tuệ phụ thuộc rất lớn
vào phương pháp học tập của các em. Học sinh nào nắm vững phương pháp tư
duy phê phán thì chất lượng học tập càng cao và trí tuệ phát triển vững chắc.
Tư duy phê phán vận dụng không chỉ tri thức về logic mà còn những tiêu chí
trí tuệ khác như sự rõ ràng, đáng tin cậy, sự xác đáng, sự sâu sắc, tính thiết
thực, chiều sâu và tầm rộng cũng như sự quan yếu và tính công bằng. Và kỹ
năng này không phải ngày một ngày hai để có được mà phải là một quá trình học
tập, rèn luyện kiên trì và lâu dài của mỗi cá nhân.
1.4. Hệ thống bài tập phương trình vô tỉ như thế nào để phát triển tư duy
phê phán cho học sinh
Căn cứ vào những kiến thức lý luận về tư duy phê phán, đồng thời dựa
vào nội dung kiến thức phương trình vô tỉ, cho thấy đây là nội dung kiến thức
phù hợp để khai thác trong dạy học nhằm phát triển tư duy phê phán cho học
sinh phổ thông. Với mục đích hệ thống bài tập để phát triển tư duy bậc cao cho

Bên cạnh đó, các em cũng rút ra được những kinh nghiệm mình trong quá trình
học tập giải quyết vấn đề. Từ đó, rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho
học sinh một cách toàn diện trong dạy và học bộ môn toán.

23


CHƯƠNG 2
CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương
2.1.1. Nâng lên lũy thừa
x3  x 2  x 2  3x  2 .

Ví dụ 1. Giải phương trình

(1)

 Lời giải. Điều kiện xác định x  1.
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được
x2

 x  1  

x 1 x  2.
Phương trình này có nghiệm x  1 hoặc x  2 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 

1;

2 .

đương 

f



 x  g  x tương

g



f x g x
x 



ho

ặc f  x  g
đương 

 x tương
f x g x .








tương

đương