LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT
CHUYÊN ĐỀ ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀO GIẢI HỆ PT

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu 2 phương pháp đánh giá chính để giải hệ phương trình mà
thường được sử dụng trong các đề thi, đó là:
 Phương pháp đánh giá hàm số
 Phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức
I. Phƣơng pháp đánh giá bằng hàm số
Ta sẽ vận dựng nội dung của kết quả:” Hàm số f (t ) đơn điệu một chiều trên khoảng
(a;b) và tồn tại u, v  (a; b) thì f (u)  f (v)  u  v ”
1.Một số dạng cơ bản sử dụng phƣơng pháp hàm số.
a.Dạng 1:Hệ chứa ax  (ax)2  1 by  (by)2  1  1 (1) dạng liên hợp


Do





(by)2  1  (by)2  by  by  (by)2  1  by  0

 ax  (ax)2  1 by  (by ) 2  1   (by) 2  1  by 


 1
(1)  
2
 (by )  1  by 



t 2 1

0

Do đó hàm số f (t ) luôn đồng biến trên R.
Suy ra: f (ax)  f (by) ,ax=-by.Đã có mối quan hệ giữa x và y.
Lƣu ý:Ngoài phương pháp hàm số ta có thể dừng phương pháp liên hợp tương tự kết quả
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT

Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:



8 x3  2 y  y 5 x  2 (1)
(3 x  19 x 2 )( y  1 y 2 ) 1(2)

( Trích đề thi HSG Lâm Đồng năm 2014)
 Lời giải: y  5x  2  0
Do

y 2  1  y 2  y  y  y 2  1  y  0 nên liên hợp (2) được:

(2)  (3x  1  9 x 2 )

1
y 1  y

t2 1  t
t 2 1

 0, t  R

 0 .Do đó hàm số f (t ) luôn đồng biến trên R.

Suy ra: f (3x)  f ( y)  3x   y  y  3x thế vào (1) ta được:

 
 2 

(1)  8x3  6 x  2 x  2 (3)Đặt x  cos t ; t  0;

(3)  2(4cos3 t  3cos t )  2cos t  2  2cos3t  2(1  cos t )
 cos 2

t
t
t
 
 cos 3t  cos 3t  cos (t  0;   cos  0)
2
2
2
 2

 3t  2t  k 2
 t  k 45
  t


3x  y

 3x   y Do: 1 

1  9 x2  1  y 2

Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:





3x  y
1  9 x2  1  y 2

)0

3x  1  9 x 2  1  y 2  y
1  9 x2  1  y 2

0

( x  1 x 2 )( y  1 y 2 ) 1(1)
4 x  2  22 3 x  y 2 8(2)

( Trích đề thi HSG tỉnh Nam Định năm 2013)
 Lời giải:Điều kiện: 
Do


t 1
2



t t
t 1
2

t
t 2 1



t2 1  t
t 2 1

 0, t  R

 0 .Do đó hàm số f (t ) luôn đồng biến trên R.

2
Suy ra: f ( x)  f ( y) x=-y và thế vào (2)  4 x  2  22  3x  x  8

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT




x 1
y 1

& xy2 2

4
1
22 


 3  0,  2; 
3
3 x  2  ( x  4) 3 22  3x  (14  x)


Kết luận nhé:
b.Hệ chứa đa thức bậc 3:a1x3+b1x2+c1x+d1=a2y3+b2y2+c2y+d2

(1)

Về nguyên tắc tổng quát ta sử dụng đồng nhất thức để xây dựng hàm đặc trung
dạng: f (t ) =mt3+nt, tức biến đổi:
(1)  m(ax  b)3  n(ax  b)  m(cy  d )3  n(cy  d )  f (ax  b)  f (cy  d )

Từ đó chứng minh hàm số f (t ) đơn điệu một chiều trên miền D.
Suy ra: f (ax  b)  f (cy  d )  ax  b  cy  d và thế vào phương trình còn lại.
Lƣu ý:Đối với những phương trình đơn giản ta dùng CASIO để tìm a,b.Ngoài ra
miền D  D1  D2 , với D1,D2 là miền của ax+b và cy+d

2
Thế vào (2) ta được: 4  x  3x  2  x  0 , suy ra:y=1.
Kết luận:So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(0;1).

Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:



x3  y3  3 y 2 3 x  2 0(1)
x 2  1 x 2 3 2 y  y 2  2  0(2)

(Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh)
Phân tích:Thấy (1)  x3-3x-2=y3-3y có x, y độc lập nhau nên sẽ nghĩ đến phương pháp
sử dụng hàm số đặc trưng : f (t )  t 3  3t 2 . Nếu nhạy bén, các em có thể viết ngay:

(1)  ( x  1)3  3( x  1)2  y3  3 y 2 f(x+1)=f(y).Nhưng hàm đặc trưng ở hai vế
f(t)=t3-3t2.không đơn điệu một chiều trên R.Khi đó cần tìm điều kiện cho x+1 và y. rồi hợp
hai điều kiện này sẽ được miền D đi xét với hy vọng f(t) luôn đơn điệu một chiều trên D.
Thật vậy,, từ (2) có điều kiện: 1  x  1;0  y  2 nên suy ra điều kiện sau:
x  1 D1  0;2 ; y  D2  0;2  D  D1  D2 .Lúc này ta luôn có f’(t)=3t2-6t=3t(t-2)  0

Nên hàm số đặc trưng f(t) nghịch biến trên  0; 2
 Lời giải:Điều kiện 1  x  1;0  y  2

(1)  ( x  1)3  3( x  1)2  y3  3 y 2 f(x+1)=f(y)
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT

vào màn hình biểu thức: 2X3+12X2+25X+18=2A3+A và bấm shift SOLVE, được
X=998=1000-2 , nghĩa ta viết được (1)  2( y  2)3  ( y  2)  2( x  4)3  x  4
 f ( y  2)  f ( x  4) với hàm đặc trưng f (t )  2t 3  t luôn đồng biến trên R nên ta
có lời giải chi tiết như sau:
1
 Lời giải: Điều kiện: x  ; 2  10  y  2  10
3

(1)  2( y  2)3  ( y  2)  2( x  4)3  x  4  f ( y  2)  f ( x  4)
2
3
Xét hàm số f (t )  2t  t trên R có f '(t )  6t  1  0; t  R

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT
Do đó hàm số đồng biến trên R. Suy ra: f ( y  2)  f ( x  4)

 y  2  x  4  x  y 2  4 y; y  2
2
Thế vào phương trình (2)  3x  1  6  x  3x  14 x  8  0(3)
Do sử dụng CASIO tìm được x=5 là nghiệm duy nhất của phương trình (3), nên
ghép hằng số liên hợp như sau:

(3)  ( 3x  1  4)  (1  6  x )  3 x 2  14 x  5  0
3( x  5)
x 5


luôn đơn điệu trên R.Ta có lời giải như sau:
 Lời giải:Điều kiện: x  1;

3
3
 y
2
2

 2 y3  y  2( 1  x )3  1  x  f ( y)  f ( 1  x )
3
2
Xét hàm số f (t )  2t  t trên R.Có: f '(t )  6t  1  0; t  R .

Do đó hàm số f(t) luôn đồng biến trên R.
2
Suy ra: f ( y)  f ( 1  x )  y  1  x  y  1  x;0  y 

3
2

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT
2
Thế vào phương trình (2)  4 x  5  2 x  6 x  1(3)

Phương trình (3) dạng: ax  b  cx 2  dx  e , có rất nhiều hướng giải.Sau đây anh sẽ


Kết luận:
Hƣớng 2:Lũy thừa lên sau khi biết nhân tử là x  4 x  1
2

(3) 



2 x2 6 x 10
x4 6 x3 8 x2  2 x 10





2 x2 6 x 10
( x2  4 x 1)( x 2  2 x 1) 0


 2
  2 xx2 4 x6x1010  x  1  2  y   4 2

  x2 2 x10
Hƣớng 3:Đặt 2a  3  4 x  5 



4 a 2 12 a 9 4 x 5
2 x2 6 x 1 2 a 3


(3)  2 4 x  5  4 x2  12 x  2  ( 4 x  5  1)2  (2 x  2) 2
Đến đây các em giải tiếp nhé 
2.Một số kĩ năng làm xuất hiện hàm đặc trƣng
a.Chia để xuất hiện hàm đặc trưng
Trong một số trường hợp, biến x, y chưa độc lập ở 2 vế,ta cần chia để chúng độc lập nhau
hoặc sau khi chia chúng chưa độc lập nhau nhưng vẫn xác định được hàm đặc trưng ở 2
vế.Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ số 1:Giải hệ phương trình sau:



y3 (4 x 2 1)  2( y 2 1) y 6(1)
y 2 x (2  2 4 x 2 1)  y  y 2 1(2)

(Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam năm 2015)
Phân tích:Từ (2) nếu chia cả 2 vế cho y2>0, thì sẽ độc lập được x,y ở 2 vế nên khả năng
2
sử dụng hàm là rất cao.Thật vậy (2)  2 x  2 x (2 x)  1 

1 1 1 2

( )  1 với hàm đặc
y y y

trưng f (t )  t  t t 2  1 và có lời giải chi tiết của anh như sau:
 Lời giải:Điều kiện y  0 .Do y=0 không là nghiệm của phương trình nên ta xét y>0,
và từ (2) để hệ phương trình có nghiệm thì x>0.
1

y
3
2
Thế vào (1) ta được(1)  y  y  2( y  1) y  6  0(3)

Sử dụng CASIO, ta tìm được y=1 là nghiệm duy nhất của phương trình(3) và quan sát
vế trái của (3) có khả năng dương nên anh sẽ sử dụng đạo hàm bài này để giải.
3
2
Xét hàm số f ( y)  y  y  2( y  1) y  6 trên (0; ) có:

y2 1
f '( y )  3 y  y  4 y 
 0; y  0 .
y
2

Do đó f(y) là hàm số đồng biến trên (0; ) .
Do đó phương trình f(y)=0 có tối đa 1 nghiệm.Mà f(1)=0 =>y=1 nên x 

1
2

Kết luận nhé:
b.Kết hợp 2 phương trình bằng phương pháp cộng để tạo ra hàm số đặc trưng
Trong nhiều bài toán, ta cần kết hợp cả 2 phương trình mới tìm được hàm đặc trưng.Vấn đề
cần xác định ở đây là khi nào cộng, khi nào trừ, khi nào lấy phương trình này cộng n lần
phương trình kia, xác định giá giá trị n này như thế này và dáu hiệu ra sao? Để áp dụng tốt
sau đây anh sẽ giải cho các em một số ví dụ giải theo cách anh đã làm, anh sẽ phân tích và
chỉ cho các em một số thủ thuật và phương pháp hiệu quả.

Đến đây,nếu viết f ( x  1)  f (y) sẽ khó khăn cho việc xét hàm: f (t )  t 2  t 2  1 , vì
t
nếu f '(t )  2t  2
chưa khẳng định được dáu và tìm điều kiện của x-1 và y nên
t 1
2
2
sẽ dài dòng.Nhưng nếu xét f (( x  1) )  f ( y ) hàm đặc trưng f (t )  t  t  1 với

f '(t )  1 

1
 0, t  0 luôn đồng biến trên khoảng xét.
2 t 1

 Lời giải:Lấy phương trình (1) cọng với phương trình (2) ta được:
x2  2 x  1  x2  2 x  5  y 2  y 2  4  ( x  1)2  ( x  1)2  4  y 2  y 2  4


f (( x  1)2 )  f ( y 2 )

Xét hàm số f (t )  t  t  1 trên  0;   có f '(t )  1 

1
 0, t  0
2 t 1

Do đó f(t) luôn đồng biến trên  0;   .
2
2



x x  y y  xy  y  2 y  x  20(1)
3 x  y 5 x  xy  y  0(2)

( Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2015)
Phân tích:Nếu cộng hai phương trình cho nhau ta sẽ triệt tiêu được đại lượng

xy

và độc lập x,y ở 2 vế, tức biến đổi: (1)+(2): x x  3x  4 x  2  y y  y hay

( x )3  3x  4 x  2  ( y )3  y gán 1000  A vào CASIO,rồi nhập phương
trình :X3+3X2+4X+2=A3+A, với X= x và bấm shift SOLVE cho ta X=999=1000-1
3
3
hay X=A-1 nên viết ( x  1)  ( x  1)  ( y )  y .Xét hàm đặc trưng như sau:

f (t )  t 3  t; t  R luôn đồng biến trên R.
 Lời giải:Điều kiện x  0; y  0
3
3
Lấy (1)+(2) ta được: ( x )  3x  4 x  2  ( y )  y
3
3
 ( x  1)  ( x  1)  ( y )  y  f ( x  1)  f ( y )

2
3
Xét hàm số: f (t )  t  t; t  R .Có f '(t )  3t  1  0, t  R

thường thì các biến bằng nhau, tức là x=y.Từ đó dựa đoán được điểm rơi và tách
ghép hợp lý để sử dụng đánh giá phù hợp.
3)Các BĐT cổ điểm thường được sử dụng trong các dạng này :
Bất đẳng thức Cô si
o Với a,b  0 thì a+b  2 ab .Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b
o Với a,b,c  0 thì a+b+c  3 3 abc .Dấu”=” cảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bất đẳng thức Bunnhiacopxki:
o Với a,b,x,y ta luôn có:



( ax by )2 (a 2 b2 )( x 2  y 2 )
ax by  (a 2  b2 )( x 2  y 2 )

a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
x y
o Với x,y,z bất kì ta có:



( ax by  cz )2  (a 2 b2  c2 )( x 2  y 2  z 2 )
ax by  cz  (a 2 b2  c2 )( x 2  y 2  z 2 )

a b c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:  
x y z
o Với a,b,c là các số thực và x,y,z là các số dương thỏa mã:
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!

x3 8 x 1 2 y  2 (2)

(Đề thi khối A năm 2014)
Phân tích:Từ phương trình (1) ta thấy bóng dáng của BĐT Cô si viết ngược dạng:

2 ab  a  b .Do 2  y  12 nên 12  x2  0 nên sẽ áp dụng BĐT Cô-Si được:
y  12  x 2
2
y (12  x ) 
(1’).Còn x 12  y  x (12  y) do chưa khẳng định được x có
2
2

u 2  v2
 (u  v)2  0
dương hay không.Nhưng ta luôn có BĐT quen thuộc dạng: uv 
2

x 2  12  y
luôn đúng với mọi u,v.Nghĩa là x 12  y 
(2’).Khí đó (1’)+(2’) ta có:
2
x 12  y  y(12  x 2 )  12 và dấu “=” xảy ra khi trong đó (1’), (2’) phải đồng thời xảy
ra, từ đó tìm được mối quan hệ của x,y là y=12-x2 và có lời giải 1 nhé 
 Ngoài ra, nhìn vào phương trình (1) ta cũng thấy dáng quen của BĐT Bunnhi,dạng
2
2
2
2
của nó là: ax  by  (a  b )( x  y ) nghĩa là từ (1) ta luôn có:

(12

x
)  12
2

Ta có: x 12 y  x 12 y


2
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 



0 x  2 3
y 12  x2

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT
Thế vào (2) ta đƣợc :
x3  8 x  1  2 10  x 2  x3  8 x  3  2(1  10  x 2 )  0
 ( x  3)( x  3x  1) 
2




Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
12  y
y



0 x  2 3
y 12  x 2

Thế và (2) và làm tƣơng tự nhƣ lời giải 1 bên trên nhé !
3
2
Nhận xét: Sauk hi thế vào (2) x  8x  1  2 10  x và sử dụng CASIO nhập vào và

bấm shift SOLVE trong miền 0; 2 3  , chẳng hạn shift SOLVE 1 được x=-1, nghiêm bị vi
phạm nên tiếp tục ấn shift SOLVE 2, thu được x=3, nghiệm này thỏa mãn liên ra ghép hằng
số liên hợp thỏa mãn như phhuwong pháp giải bên trên.
Ví dụ số 2:Giải hệ phương trình sau:



x2  y 2 1 2( x  y )(1)
x (2  y )  y (2 x )  2(2)

( Đề thi thử HSG thầy Nguyễn Văn Khái-THPT Lục Nam)
Phân tích: phương trình (2) có dáng vẻ của BĐT Cô-si từng cụm căn,rồi cộng lại,
nhưng do điều kiện:



Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!


LƢƠNG ĐỨC KHIÊM –KHÓA 49 THÂN TẶNG CÁC EM 99ER CHUYÊN ĐỀ HỆ PT

(1)  ( x  1)  ( y  1)  1 
2

Từ


Ta có: 


x  2 y
2
y  2 x
y (2  x ) 
2

x (2  y ) 

2



( x 1)2 1
( y 1)2 1

  00 xy22

ANH

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tài liệu này là a tổng hợp và tự đánh lời giải của a , em nào có cách khác cmt hoặc ib cho a nhé!