www.huongdanvn.com

Nội dung
A. Tên đề tài:
Một số kinh nghiệm giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải phương
trình vô tỷ ở lớp 9 THCS
B. Lý do chọn đề tài
I. Cơ sở phương pháp luận:
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về phương trình vô tỷ
của chương trình Đại số 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa,
sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành còn đơn giản, chưa sâu, chưa
đáp ứng đầy đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về
phương trình vô tỷ rất đa dạng, phong phú và là một thể loại toán khó của
Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh khá giỏi đòi hỏi
giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn ... vì thế mà nội dung giảng
dạy chưa thống nhất. Là giáo viên, chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho
học sinh “chiếc chìa khoá” để giải từng dạng cụ thể của phương trình. Song
không phải dạng phương trình nào cũng có một quy tắc nhất định. Qua quá
trình giảngdạy, tham khảo đồng nghiệp và học hỏi các thầy cô tôi mạnh dạn
phân dạng phương trình vô tỷ và cách giải từng dạng đồng thời đưa ra một
số cách giải phương trình vô tỷ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc
phương trình vô tỷ dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình giải
phương trình vô tỷ cho học sinh.
Khi dạy học sinh giải phương trình vô tỷ HS cần nắm được
những vấn đề sau:
1. Khái niệm về phương trình, tập xác định, nghiệm của phương trình.
- Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phương trình tương đương.
- Cách giải các loại phương trình cơ bản.
2. Phương trình vô tỷ.
- Định nghĩa phương trình vô tỷ, các bước giải phương trình vô tỷ
nói chung.

a. Khái niệm:
Phương trình là một đẳng thức (mệnh đề) có chứa biến số f(x) = g(x).
+ Biến số x trong biểu thức gọi là ẩn số.
+ f(x) và g(x) là hai vế của phương trình.
+ Quá trình tìm x gọi là giải phương trình.
+ TXĐ: Là tập xác định của phương trình.
2


www.huongdanvn.com

+ Mỗi giá trị của biến x thuộc tập xác định để có một đẳng thức đúng
gọi là một nghiệm của phương trình.
+ S: Là tập hợp nghiệm của phương trình.
b. Tập xác định của phương trình.
Là những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình
đều có nghĩa.
c. Hai phương trình tương đương.
Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm hoặc nghiệm của
phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và ngược lại.
2. Phương trình vô tỷ.
a. Định nghĩa:
Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa ẩn số trong căn thức.
Ví dụ:

3x − 3 + 1 = 1 − x

b. Các bước giải phương trình (dạng chung)
- Điều kiện xác định của phương trình.
- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.


Sơ đồ cách giải:

f ( x) = g ( x) <=>

g (x) > 0

(2)

f(x) = [g(x)]2

(3)

Giải (2) tìm điều kiện của ẩn
Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện của ẩn để kết luận nghiệm.
f ( x ) + g ( x ) = h( x )

b. Dạng 2:

(1)

Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình:
f(x) > 0
g(x) > 0

(2)

h (x) > 0
Với điều kiện (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình
phương vế của phương trình (1) rồi rút gọn ta được:


F ( x) − G ( x) = H ( x)

Tuỳ theo từng trường hợp để giải phương trình vô tỷ (căn bậc n).
e. Dạng 5:

f ( x) + g ( x) + n f ( x).g ( x) = h( x)

Điều kiện: f(x) > 0

4

(1)


www.huongdanvn.com

g(x) > 0
Đặt ẩn phụ a =

f ( x ) + g ( x) (a > 0)

=>

f ( x).g ( x) =

a 2 − f ( x) − g ( x)
2

Đưa phương trình (1) về các phương trình đã biết cách giải rồi giải.


<=> x2 + 22x - 48

<=> (x - 2)(x + 24)

=0

<=>

=0

x=2
x = - 24

Thử lại: + Với x = 2 ta có

3

25 + 2 + 3 3 − 2 = 3 + 1 = 4

+ Với x = - 24 ta có

3

− 24 + 25 + 3 3 + 24 = 1 + 3 = 4

Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 2; x = -24
5



x+5

Điều kiện x > - 5

(*)

Với điều kiện trên: (1) <=> x 2 – 3x +
2

3
1


<=>  x −  =  x + 5 + 
2
2



2

<=> x −

3
1
= x+5 +
2
2

Nếu x >


9
=x +5+
4

3
2

x - = − x+5 −

1
2

<=>

<=>

x+5 +

(Vì

x+5 +

x>2

x>2

x + 5 = x2 - 4x + 4

x2 - 5x -1 = 0

5 + 292
; x = -1
2

Ví dụ 2: Giải phương trình
x + 2 + 2 x +1 + x + 2 − 2 x +1 = 2

(1)

Điều kiện: x > -1

(*)

Với điều kiện trên:
(1) <=> ( x + 1 + 1) 2 + ( x + 1 − 1) 2 = 2 <=> x + 1 + 1 + x + 1 − 1 = 2
(vì

x + 1 + 1 > 0)

<=>

x +1 −1 = 1− x +1

 x +1 −1 ≤ 0

 x + 1 − 1 ≥ 0

 x + 1 − 1 = 1 − x + 1

⇔ −1 ≤ x ≤ 0

x ≥ 0) . Đến đây phương trình

(1) có dạng: (1 - t 2)2 = (3 - t2)(1 - t)2 <=> (1 - t)2(1 + t)2 - (3 - t2)(1 - t2) = 0
<=> (1 - t)2(1 + 2t + t2 - 3 + t2) = 0 <=> (1 - t) 2(2t2 + 2t - 2) = 0
<=>
(1 - t)2 = 0

t=1

<=>

t2 + t - 1 = 0

t=

Vì t > 0 nên

− 1+ 5
2

t=1
t=

− 1+ 5
2

Với t = 1 ta có x = 0
Với t =

− 1+ 5

Đặt t = u . v (t > 0) ta có: (16 - 2t) 2 - 2t2 = 82 (2) <=>t 2 - 32t + 87 = 0
<=> t1 = 3, t2 = 29

8


www.huongdanvn.com

u + v = 4
u.v = 3

Ta có hai hệ phương trình sau: 

u + v = 4
(4)
u.v = 29

(3) và 

Hệ (3) có hai nghiệm (1, 3); (3,1). Hệ (4) vô nghiệm.
97 − x = 1
 x − 15 = 81

97 − x = 81
 x − 15 = 1

Vậy ta có: 

(5) và 


Nếu u = 5 - 2 6 thì
<=>

(5 − 2 6 ) x = 5 − 2 6

(5 − 2 6 ) x = (5 − 2 6 ) 2

<=> x = 2

x
Nếu u = 5 + 2 6 thì (5 − 2 6 ) = 5 + 2 6 =

<=>

1
u

(5 − 2 6 ) x =

1

(5 − 2 6 )

2

(

⇔ 5−2 6

)

(*)

x−2 + 4− x

)

2

= 2 + 2 ( x − 2)(4 − x ) = 2 + 2 − x 2 + 6 x − 8

=2

+ 2 1 − ( x − 3) 2
=>

(

x−2 + 4− x

)

2

< 4 vì

1 − ( x − 3) 2 ≤ 1

=>

x−2 + 4− x < 2

x = 8 − x 2 <=> x = 2

=> vế trái đạt GTLN bằng 4 khi x = 2
Mặt khác 9y2 + 6y + 5 = (3y + 1) 2 + 4 > 4 => vế phải đạt GTNN bằng
4 khi y = −

1
3

Phương trình (4) có nghiệm <=> vế trái = vế phải
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2 và y = −
e. Phương pháp bất đẳng thức.

10

1
3


www.huongdanvn.com

Ta dùng bất đẳng thức đánh giá mỗi vế của phương trình để từ đó
suy ra nghiệm của phương trình. Khi giải phương trình vô tỷ thường dùng
phương pháp bất đẳng thức ở nhiều dạng khác nhau.
* Chứng tỏ tập giá trị ở 2 vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình:
ĐKXĐ: ∀x ∈ R

x 2 +1 + x 2 + 4 = 2 .



Nếu x < 1 thì

3

3

2 x −1 > 1
x −1 > 0
2x −1 < 1
x −1 < 0

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
* Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
Ví dụ: Giải phương trình:
36
x−2

+

4
y −1

= 28 - 4 x − 2 − y − 1

Điều kiện: x -2 > 0

x>2

y-1>0


www.huongdanvn.com

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có:
9
x−2
4
y −1

9

+ x−2 ≥ 2

+ y −1 ≥ 2

. x − 2 − 2.3 = 6

x−2
4
y−2

. y − 2 − 2.2 = 4


  4
+ x − 2  + 
+ y − 1  > 4.6 + 4 = 28

 x−2
  y − 4

Ví dụ: Giải phương trình
x 2 + x −1 + − x 2 + x +1 = x 2 − x + 2

ĐKXĐ:

x2 + x - 1 > 0

(1)
(*)

x - x2 + 1 > 0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mỗi số hạng ở vế trái của (1)
Ta có:

x 2 + x −1 ≤
x − x 2 +1 ≤

=>

x 2 + x −1+1
2
x − x 2 +1+1
2

x 2 + x −1 + − x 2 + x +1 ≤ x +1

Kết hợp với phương trình (1) ta được: 0 ≤ x2 - x + 2 < x+1

12


y1 =
Với y1 =

− x − 2 + 3x + 2 − x
− x − 2 − 3x − 2 x + 1
=
=
, y2 =
−8
2
−8
4

−x
ta có
4

x+3 =

−x
4

<=> x + 4 x + 3 = 0

<=> x +3 + 4

x +3 −3 = 0
∆' = 4 + 3 = 7

=>


<=> x = 1 + 2 3 (thoả mãn)

13


www.huongdanvn.com

Vậy x = 1 + 2 3 là nghiệm của phương trình (1)
h. Phương pháp đưa về dạng tổng của đa thức không âm bằng
không.
Ví dụ: Giải phương trình.
x + y + z + 4 = 2 x −2 + 4 y −3 +6 z −5

(1)

ĐKXĐ: x > 2 ; y > 3 ; z > 5

(*)

(1) <=> (x - 2 - 2 x − 2 + 1) + ( y − 3 − 4 y − 3 + 4) + ( z − 5 − 6 z − 5 + 9) = 0
<=> ( x − 2 − 1) 2 + ( y − 3 − 2) 2 + ( z − 5 − 3) 2 = 0
x − 2 −1 = 0

<=>

x −3 −2 = 0

<=>


a+
Vì
3

a2 − x =

3

a+ x +3 a− x =3 b

(2)

nên (2) <=> 3. 3 a 2 − x .3 b = b − 2a <=>

b − 2a
33 b

(b ≠ 0) <=> a - x =
2

(b − 2 a ) 3
27b

<=> x = a

8a 3 − b 3 + 6ab 2 + 15a 2 b
27b

14



(a + b) 2 (8a − b)
27b

- Nếu a + b = 0 phương trình (1) có nghiệm x = 0
- Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vô số nghiệm x > 0
Kết luận: Nếu a > 0 và 0 < b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm
Nếu a > 0 và b < 0 hoặc b > 8; Phương trình (1) có nghiệm
(a + b) 2 (8a − b)
x=
27b

Nếu a = - b ≠ 0

: Phương trình (1) có nghiệm x = 0

Nếu a = b = 0

: Phương trình (1) có vô số nghiệm x > 0

Nếu a < 0

: Phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:
( a − x ) 4 x − b + ( x − b) 4 a − x
4

ĐKXĐ:


=
<=> u5 + v5 - u4v - uv4 = 0
u+v
2

<=> u4(u - v) - v 4 (u - v) = 0 <=> (u - v)(u 4 - v4) = 0 <=> (u - v) 2 (u + v)(u 2
+ v 2) = 0
15


www.huongdanvn.com

Vì u2 + v2 ≠ 0 nên u + v ≠ 0 nên u -v = u => u =v
<=>

4

x − b = 4 a − x <=> x - b = a – x <=> x =

a+b
(thoả mãn điều kiện (2)
2

+ Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm
Kết luận: Nếu a > b: Phương trình (1) có nghiệm x =

a+b
2

Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2; x =

1
6

Phân tích sai lầm: ở đây học sinh không chú ý đến điều kiện có
nghĩa của căn thức.
Trong ví dụ trên: Điều kiện x >

3
1
3
1
. Do vậy < nên x = không
2
6
2
6

là nghiệm của phương trình (1). Để khắc phục sai lầm này ta tìm ĐKXĐ của
16


www.huongdanvn.com

phương trình hoặc giải rồi thử các giá trị tìm được của ẩn vào phương trình đã
cho để kết luận nghiệm.
- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các phương trình.
ở ví dụ trên: các phương trình (2) và (3) không tương đương mà
Phương trình (2) <=>

2
 2
2
6
10 x − 17 x + 13 = 1 + 4 x − 4 x
6 x 2 − 13 x + 2 = 0
 x = 2, x = 1
2

 1
6

Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vô nghiệm.
Phần 3: Tác dụng của đề tài
I. Tác dụng
Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả
trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán thuộc dạng
này. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu như bài tập có
phương pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán
khác và giải.
Đối với khối lượng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn
đề xung quanh SGK nếu nhận được sự dìu dắt tận tình cụ thể thì việc học
của các em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn. Đối với loại toán này học sinh
không chỉ dừng lại ở cấp THCS mà các em còn vận dụng đến lớp 12 thậm
chí thi vào cả Đại học và Cao đẳng. Đây là dạng toán chúng ta cần quan
tâm nó đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trường phổ thông
17


www.huongdanvn.com

18


www.huongdanvn.com

nhiều khiếm khuyết mong bạn đọc đóng góp ý kiến. Tôi xin chân thành
cảm ơn !
Sông Mã, ngày 25 tháng 03 năm 2011
NGƯỜI VIẾT

19