SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tâm
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác:



Có đính kèm:
 Mô hình
 Phần mềm

 Phim ảnh

Năm học: 2011 – 2012
Tên đề tài


2


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán nói chung, của Hình học nói riêng,
không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải truyền đạt những tri thức căn bản mà
còn phải giúp cho học sinh rèn luyện các kỹ năng cần thiết và phát triển tư duy.
- Theo phân phối chương trình bộ môn toán THPT, lớp 12 chỉ có 1,5 tiết
hình học mỗi tuần.Với thời lượng hạn chế như vậy, giáo viên và học sinh gặp rất
nhiều khó khăn trong việc dạy và học bộ môn Hình học, đặc biệt là phần Phương
pháp toạ độ trong không gian của lớp 12 . Do đó, việc hệ thống lý thuyết, phân
dạng và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán trong chương này theo đúng
Chuẩn kiến thức và kỹ năng là thực sự cần thiết, giúp cho giáo viên và học sinh có
tài liệu phục vụ cho việc dạy và học đạt kết quả cao nhất. Thiết nghĩ, trong mỗi tiết
học, cùng với tài liệu học tập này, giáo viên chủ yếu rèn luyện kỹ năng giải toán,
kỹ năng suy luận cho học sinh, thông qua đó giúp các em khắc sâu kiến thức trọng
tâm của bài học, và có một hệ thống bài tập phù hợp với khả năng để luyện tập
thường xuyên.
- Trong quá trình dạy học, tôi luôn cố gắng tìm tòi các ví dụ điển hình, tổng
hợp thành phương pháp giải cụ thể cho học sinh.Từ đó, tôi đã viết ra chuyên đề
“Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian”
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
- Các kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian được tổng hợp từ
hai bộ sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 (Ban cơ bản và Ban khoa học tự
nhiên) do Bộ giáo dục ban hành.

4) Phương trình mặt cầu
- Phương trình của mặt cầu.
- Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.

4


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng
r r r
với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là i, j , k .
 O: gốc tọa độ
 x ' Ox : trục hoành
 y ' Oy : trục tung
 z ' Oz : trục cao
2. Tọa độ của vectơ trong không gian
r
r
r
r
r
2.1. Định nghĩa: u  ( x; y; z )  u  x.i  y. j  z.k
Với định nghĩa trên, ta có:
r
r
0  (0;0;0)
i  1;0;0 

 1


x1 y1 z1

 (với điều kiện: x2 y2 z2  0 )
x2 y2 z2

e) Tích vô hướng của hai vectơ:
rr r r
r r
Định nghĩa: a.b  a b cos a, b

 

rr
Biểu thức tọa độ: a.b  x1 x2  y1 y2  z1 z2

5


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Hệ quả:
r
a  x12  y12  z12

 

r r
cos a, b 

;
y1 y1

x2 

y2 

Tính chất:
r r
r
r r
r
 a, b   a và  a, b   b
 
 
r r
r r
 a, b    b, a 
 
 
r r
r r
r r
a, b   a b .sin a, b
 
r r
r
r
r
a và b cùng phương   a, b   0


3. Tọa độ của điểm trong không gian
uuuur
3.1. Định nghĩa: M  x; y; z   OM   x; y; z 
Với định nghĩa trên, ta có:
6


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
O  0;0;0 
M  Ox  M  x;0;0 

M   Oxy   M  x; y;0 

M  Oy  M  0; y;0 

M   Oxz   M  x;0; z 

M  Oz  M  0;0; z 

M   Oyz   M  0; y; z 

3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
Cho A  xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; zB  , C  xC ; yC ; zC 
uuur
AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A 
AB 

 xB  x A 


r r r
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a   1;2; 5 , b  2i  3 j .
r
a) Tìm tọa độ b .
r uur
r
b) Tìm tọa độ u  3a  4b .
r
r
r r
c) Tìm tọa độ v thỏa 3v  2a  b .
Giải:
r
a) Từ định nghĩa tọa độ của vectơ suy ra b   2; 3;0  .
r
b) Gọi u   x; y; z 
r r
r
u  a  4b
 x  3.(1)  4.2  11

  y  3.2  4.(3)  18
 z  3.(5)  4.0  15


r
Vậy u   11;18; 15
7



d  2  1  4
d  1
 3
 3
Vậy D  5;3; 1 .
c) E   Oxy   E  e1; e2 ;0 
uuur
AB  1;2;3
uuur
AE   e1  1; e2  1; 1
uuur uuur
A, B, E thẳng  AE, AB cùng phương
2

e

1

e  1 e2  1 1
3

 1


1
2
3
e  1
 2 3
2 1 

1
2

Suy ra h 

3VS . ABC
S ABC

uuur uuur
 AB, AC   83



21 83
83

BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm
A 1; 2;4  , B  3;2;0  , C  3; 1;0 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
a) Tìm tọa độ các véc tơ: AB; BA; AC; CA; BC; CB .
r
uuur r
uuur uuur
b) Tìm tọa độ u  2. AB ; v  2. AB  AC ; điểm E thỏa
uuur
uuur
uuur
uuur
EA  2.EC  3.BE  4. AB

với A  2;0;2  , B  4;2;4  , C  2; 2;2  , D ' 8;10; 10  .Tìm toạ độ các đỉnh còn
lại của hình hộp.
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
n

P

r
r
- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá của
r
n vuông góc với   .
r
r r
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm

trên mặt phẳng   thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r
r r
  là n   a, b  .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
Ax  By  Cz  D  0 , với A2  B 2  C 2  0
10


Một
r số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Trong đó, n   A; B; C  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.


Ax  Cz D  0
Ax  By  D  0

Tính chất mặt phẳng ()
() đi qua gốc toạ độ O
() // Ox hoặc ()  Ox
() // Oy hoặc ()  Oy
() // Oz hoặc ()  Oz
() // (Oxy) hoặc () 
(Oxy)
() // (Oxz) hoặc () 
(Oxz)
() // (Oyz) hoặc () 
(Oyz)

(Tương tự cho các trường hợp khác)
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm
x y z
 a;0;0 , 0;b;0 ,C  0;0;c  (abc  0) ) là:    1
a b c
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng   và    :   A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

   A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

ur
Hai mặt phẳng   và    lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1   A1 ;B1 ;C1  ,
uur
n2   A2 ;B2 ;C3  .

n1  k n2
( k ¡ )
        
 D1  kD2
A
B
C
D
 1 1 1 1
(nếu A2 B2C2 D2  0 )
A2 B 2 C 2 D 2
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng   và    :

  : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
   : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

Gọi  là góc giữa   và    . Ta có:

cos 

A1A2  B1B2  C1C 2
A12  B12  C12 . A22  B22  C 22

6.Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0

d  M 0 ,( )  

Ax 0  By 0  Cz0  D
A2  B 2 C 2

x y z
   1 (abc  0)
a b c
Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số a, b, c thoả điều kiện.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4).
Giải
r  uuuur uuuur 
n
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(5; 1; 3) và nhận   AB, AC   (2;1;1) làm VTPT
có phương trình là: 2( x  5)  y 1 z  3  0
 2 x  y  z 14  0
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7),
B(4; 1; 3).
Giải
Mặt phẳng trung
trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm của đoạn AB là I(3; 2; 5)
uuuur
và có VTPT AB  (2; 2; 4) có phương trình là:
x  y  2z  9  0
Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt
phẳng (Q): 2 x  y  3z  4  0 .
Giải
Cách 1:
r
Vì (P) song song (Q) nên (P) nhận VTPT của (Q) là n  (2; 1;3) làm VTPT
 (P): 2 x  y  3z 11  0
Cách 2:
Vì (P) song song (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2x – y + 3z + c = 0 c  4 

a) ( ) đi qua điểm M  3;3;3 và song song với mặt phẳng

   : 2x  3 y  z  6  0 .
b) ( ) đi qua hai điểm A  2; 1;4  , B  3;2; 1 và vuông góc với mặt phẳng
   : x  y  2z  3  0 .
c) ( ) đi qua M  2; 1;1 và vuông góc với mặt phẳng Oxz và mặt phẳng
   : x  y  2z  3  0 .
d) ( ) đi qua M 1; 1;1 và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
   : x  3 y  2 z  1  0 và   : 2 x  y  3z  1  0 .
e) ( ) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng    : 3x  2 y  z  3  0 và
  : x  2 z  0 và vuông góc với mặt phẳng  Q  : x  2 y  z  5  0 .
f) ( ) đi qua điểm M 1; 1;1 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,
C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.
g) ( ) đi qua điểm M 1;4;2  và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn
thẳng bằng nhau.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 1;2;3 và cắt các tia Ox,
Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với OA  a, OB  b, OC  c sao cho:
a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
b) OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất.
Dạng 2. –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳngCÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:
(P): 2 x  my  3z  5  0 và (Q): nx  8 y  6z  2  0
Giải
(P)//(Q)  2  m  3  5
n 8 6 2
m  4

n  4
14


r
uuur uuur
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận n   AB, AC   24;12;8
làm VTPT có phương trình: 6x  3y  2z  12  0
Đường cao DH hạ từ đỉnh D của tứ diện chính là khoảng cách từ D đến (ABC)
15


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
12  12  12  1 24
DH  d D;(ABC)  

7
36  9  4
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnh A  1; 2;4  , B  4; 2;0  , C  3; 2;1
và D 1;1;1 .
a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A.
b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt
phẳng (ABC).
Bài 2: Cho hai mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  3  0 và    : x  2 y  2 z  12  0 .
Tìm trên Oz điểm cách đều   và    .
Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:   : x  y  z  5  0 và

  : x  y  z  5  0 .
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
  : 4 x  4 y  7 z  3  0 , biết rằng khoảng cách từ điểm M  4;1; 2  đến
mặt phẳng   bằng 4.
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua hai điểm A  2;0;0  ,
B  0;3;0  và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến (P) bằng

- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với
r
r r
 thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u   a, b  .

2. Phương trình của đường thẳng.
a)Phương trình tham số của đường thẳng:
- Đường thẳng  đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương
r
a  (a1 ; a2 ; a3 ) , có phương trình tham số là :

x  x 0  a1t

2
2
2
y  y 0  a2 t (t  R), (a1  a2  a3  0)
z  z  a t
0
3

- Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của
một điểm M thuộc đường thẳng.
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của
đường thẳng  là:
x  x 0 y  y 0 z  z0


(a1.a2 .a3  0)

 B C 1 C 1 A1 A1 B1 
r
r r
a   n1 , n2    1
;
;

B
C
C
A
A2 B 2 
2
2
2
2


3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

r

Cho hai đường thẳng: 1 đi qua A và có vectơ chỉ phương a .
r
2 đi qua B và có vectơ chỉ phương b .
Ta có các trường hợp sau:
17


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không

,
b

0
 


1 và 2 trùng nhau

uuu
r
r
 ar , AB   0


 r r
r


a
,
b

0
 

r r uuur
a

1 và 2 chéo nhau

Hệ có vô số nghiệm  1 và 2 trùng nhau

18


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
r
b

1
2

r
a

r
A a

B

A

1

r
b
B

2


b

B

( 1 caé
t 2 )

4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

x  x 1  at1 1
x  x 2  b1t 2


b) Cho hai đường thẳng 1 :  y  y 1  a2t 1 và 2 :  y  y 2  b2t 2 có vectơ chỉ
z  z  a t
z  z  b t
1
3 1
2
3 2


r
r
phương lần lượt là : a  ( a1 ;a2 ;a3 ) và b  ( b1 ;b2 ;b3 )
r r
a
.b
r
ab  a b  a b

a2  b 2  c 2 . A 2  B 2  C 2
5. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.

r

a) Cho đường thẳng  đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương a và điểm M. Khi
đó :
uuuuur r
 MM 0 ,a 


d  M ; 
r
a
b) Cho hai đường thẳng 1 và 2 chéo nhau .
19


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
r
1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a  ( a1 ;a2 ;a3 )
r
2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b  ( b1 ;b2 ;b3 )
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 được tính bằng công
thức sau:
r r uuuuuur
a , b  .M 1M 2



trình tham số là:
x  2t

y  3 t
 z  1  5t


Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng  đi qua điểm A(2;4;3) và vuông góc với
mặt phẳng ( P):2 x  3 y  6 z 19  0 .
20


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Giải
r
Vì   (P) nên một VTCP của  là a = (2;–3;6)
 x  2  2t

 PTTS của :  y  4  3t
 z  3  6t

BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:
r
a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương a = (1 ; – 4 ; – 5).
b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0).
c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (): x + y – x + 5 = 0.
 x  1  2t

d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:  y  3  3t .


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
Bài 7: Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–
1; 2; 0) và C(2; –3; 2).
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường
 x  3  2 t

thẳng d: y  1  t . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, cắt và
 z  1  4 t

vuông góc với đường thẳng d.
Dạng 2. –Vị trí tương đối.
x  7  t

x  3 y 1 x 1


Ví dụ: Cho hai đường thẳng  :  y  3  2t và  :
1 7
1
2
3
z  9  t


a) Chứng minh 1 và 2 chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa 1 và 2.
Giải
ur
a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1 7;3;9  và có VTCP u1  1;2; 1 .

và d: y  1  2t '


z  3  t
z  2  2t '

22


Một số dạng bài tập chương Phương pháp toạ độ trong không gian
x  1  t
 x =1+ t'


d: y  2  2t và d:  y = 3- 2t'

z  3t
z =1

d:

x  3  t

y  4  t

z  5  2t

và

d:

x  3  2t '


d1: y  1  t và d2: y  3  t '
z  5  t
z  1  t '


a) Chứng minh d1 và d2 song song với nhau.
b) Lập phương trình mặt phẳng () chứa d1 và d2.
Bài 5: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

x y 1 z3
y 1 z  3

d1: x  1 
và d2: 

3
2
2
1 1
2
c) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Tìm giao điểm của chúng.
d) Lập phương trình mặt phẳng () chứa d1 và d2.
Bài 6: Cho mp(P): 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1, d2:
y  3 z 1
y

d1: x 

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
r
Cho đường thẳng  đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a và đi qua điểm A.
Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , ta có thể sử dụng một
trong hai cách sau:

Cách 1:
Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng .
d( M ;  )  MH

Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
uuuur r
 AM ,a 


d  M ;  
r
a
Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Phương pháp:
Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng (P). Ta có:
d  ;( P )  d  M ;( P )

Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng  (chọn M từ phương trình cuả )
Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2.
r
1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a  ( a1 ;a2 ;a3 )
r

2
1

x  1  t

b) Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng  :  y  2  2t
z  2t


Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  3; 2;6  ,B  2;4;4  . Hãy tính
độ dài đường cao OH của tam giác OAB.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y 1 z  2


và
3
2
2

x  1  3t

d 2 :  y  2  2t .
z  1


a) Chứng minh d1 ,d 2 chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 ,d 2 .
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 6 x  y  4 z  5  0 đường