LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

An Giang, tháng 6 năm 2016

Trần Minh Hiếu

1


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trần Vui,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi có đủ niềm tin và nghị lực để
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
-

Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa toán trường Đại học Sư phạm Huế đã tận

-

tình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu.
TS. Trần Kiêm Minh, TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc, TS. Nguyễn Thị Tân An,
TS. Nguyễn Thị Duyến đã có những lời khuyên, những bài giảng và tài liệu hết

-


THPT

Trung học phổ thong

SGK

Sách giáo khoa

3


MỤC LỤC

Chương 1
MỞ ĐẦU
1. Tầm quan trọng và cơ sở khoa học của đề tài
Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp
bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Công cuộc đổi mới này đòi hỏi
phải có sự cải cách về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có
những tiếp cận mới về phương pháp giáo dục.
Việc dạy học toán hiện nay có nhiều sự đổi mới. Vài thập kỷ trước đây, việc học
các thuật toán, giải các phương trình, các bài tập ở sách giáo khoa thường là những bài
tập được giải quyết theo hướng áp dụng những kiến thức, những thuật toán vừa dạy
một cách máy móc. Giáo viên cố gắng để truyền tải kiến thức cho học sinh được quy
định trong sách giáo khoa, đánh giá học sinh học tập thông qua định nghĩa hoặc áp
dụng quy tắc một cách quy định (Amirali & Halai, 2010; Mohammad, 2002).
Mohammad (2002) báo cáo: " học tập Toán học chủ yếu là ghi nhớ các quy tắc cho các

4


6


dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các hiểu nhầm này thì năng lực giải toán của
học sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục toán học sẽ tốt hơn.
Phần lớn giáo viên phổ thông dạy phần khái niệm toán học còn nặng tính thuyết
trình chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng tự tiếp cận kiến thức, khả năng
nhận dạng và thể hiện khái niệm. Một bộ phận không nhỏ học sinh không nắm được
bản chất của khái niệm toán học, có những học sinh có thể học thuộc lòng một khái
niệm toán học nhưng không hiểu bản chất của khái niệm đó là gì. Điều này khiến các
em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện, không đầy đủ bản
chất nên thường gặp khó khăn khi giải đối diện với một bài toán.
Việc học khái niệm toán của học sinh không thể tránh khỏi những hiểu nhầm,
do đó nghiên cứu đề tìm ra những phương án giảm thiểu những hiểu nhầm đó là rất cần
thiết. Tuy nhiên, làm thế nào để giúp các em vượt qua những khó khăn do hiểu nhầm
khái niệm và học toán tốt hơn? Có lẽ đây là điều mà bất kì giáo viên dạy toán nào cũng
quan tâm và cố gắng thực hiện. Bởi nó còn là trách nhiệm của nhà giáo trên con đường
thiết kế và phát triển môi trường học tập nhằm nâng cao chất lượng học toán cho HS.
Để giải quyết vấn đề này, trước hết, người giáo viên cần ý thức được những khó khăn
do hiểu nhầm khái niệm của các em trong quá trình học toán. Trên cở sở đó giáo viên
đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế phần nào những hiểu nhầm và khó khăn của
HS hay mắc phải. Bằng cách đó, chắc rằng việc học của các em sẽ đạt hiệu quả hơn, tư
duy toán học sẽ được cải thiện và không ngừng nâng cao. Từ đó đem lại cho các em
niềm say mê, hứng thú với môn toán và có thể giải quyết tốt các vấn đề trong cuộc
sống.
Với những lí do cơ bản trên chúng tôi chọn “Nâng cao thành tích học tập của học
sinh gặp khó khăn do hiểu nhầm khái niệm trong đại số” làm đề tài nghiên cứu của
luận văn này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu những khó khăn của HS trong quá trình học toán;

•
•

Phương pháp quan sát sư phạm;
Phương pháp điều tra, phỏng vấn;
Phương pháp dạy thực nghiệm.

Thực nghiệm sư phạm
•
•
•

Sử dụng bảng hỏi;
Đề kiểm tra;
Phiếu thăm dò ý kiến.

5. Đối tượng và phạm vi tham gia
Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:
•

Người nghiên cứu;
8


•
•

Giáo viên dạy toán;
Học sinh lớp 10 Trung tâm Giáo dục thường xuyên An Giang.


1. Dạy học khái niệm toán học
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa
1.1.1. Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng (Nguyễn Bá
Kim, 2015). Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:
ngoại diên: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm.
nội hàm: là toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này.
Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật: nội hàm càng
được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Ví dụ, nếu mở rộng nội hàm
của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách bổ sung đặc điểm “có một góc

10


vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thật sự của lớp các hình
bình hành.
Khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về một
đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái
niệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinh
còn mơ hồ về khái niệm quan hệ khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương
trình hệ quả” như là nói về một phương trình, hoặc phát biểu: “Tiếp tuyến là một
đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn”.
1.1.2. Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng
xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của
khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới
(biểu thị khái niệm mới)


không định nghĩa, được thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên
thủy, chẳng hạn, người ta có thể thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những
khái niệm nguyên thủy.
Bên cạnh những khái niệm không định nghĩa, ở trường phổ thông còn có một số
khái niệm khác cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể
được định nghĩa trong Toán học.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, dù là những
khái niệm nguyên thủy hay vì lí do sư phạm, cần mô tả, giải thích thông qua những ví
dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách
trực giác.
1.2. Vai trò của khái niệm
Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy. Khái niệm
vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát triển của toán học.

12


Hình thành khái niệm toán học cho HS là một trong những nhiệm vụ mấu chốt
của dạy học toán ở trường phổ thông. Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học
bất cứ một môn khoa học nào khác ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình
thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn
bộ kiến thức toán học, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các
kiến thức đã học. Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí
tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức
đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm toán học).
1.3. Nhiệm vụ dạy học khái niệm
Nhiệm vụ của dạy học khái niệm bao gồm: Dạy học tiếp cận khái niệm, củng cố
khái niệm.
 Dạy học tiếp cận khái niệm


c) Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
d) Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn
e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
2. Khó khăn trong học toán do hiểu nhầm khái niệm
Một trong những kết quả nghiên cứu quan trọng về giáo dục toán đã khẳng định:
Học sinh không ngừng “phát minh” ra những qui tắc để giải thích các “dạng mẫu” mà
các em thường xuyên phát hiện ra chung quanh mình (Askew và Wiliam, 1995). Có
nhiều qui tắc được phát minh là đúng, nhưng chúng chỉ áp dụng được trong một phạm
vi hạn hẹp nào đó mà thôi. Khi học sinh sử dụng các qui tắc sai, hay các qui tắc đúng
nhưng vượt ra khỏi phạm vi áp dụng một cách có hệ thống, thì các em sẽ tạo nên một
hiểu nhầm khái niệm.
Ví dụ:
Khi nhân một số với 10, học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc tính nhanh kết quả có
được bằng cách thêm số 0 vào số đã cho: 15 × 10 = 150. Nhưng điều gì sẽ xảy ra đối
với qui tắc này và việc hiểu của học sinh khi yêu cầu các em nhân số thập phân hay
phân số với 10.
Khi nhân với số thập phân: 1,5 × 10 = 15, quy tắc đó không còn đúng nữa. Có
thể học sinh sẽ phát hiện ra quy tắc chuyển dấu thập phân sang bên phải một hàng. Nếu
nhân với phân số: , khi đó học sinh sẽ phát hiện ra qui tắc khác.
Askew và Wiliam (1995) đã lưu ý rằng:
14


Chúng ta thường tránh cho học sinh tạo ra các hiểu nhầm khái niệm. Điều đó
không thể thực hiện được. Vì học sinh trong quá trình học toán sẽ sáng tạo ra
các tổng quát hóa không đúng và nhiều hiểu nhầm khái niệm như thế này sẽ
hình thành dưới dạng tiềm ẩn. Để vượt qua những hiểu nhầm khái niệm này,
người giáo viên cần có những nỗ lực cụ thể để giúp học sinh điều chỉnh và hiểu

khái niệm sẽ gây nên những tư duy toán học không đúng, không chính xác và bị lỗi.
Những điều đó gây nên hạn chế cho học sinh trong việc nắm bắt toán học từ những
khái niệm cơ bản nhất.
Theo nhiều nghiên cứu, một khi các hiểu nhầm khái niệm đã khắc sâu vào trí
nhớ của học sinh, chúng rất khó bị xóa đi. Các nghiên cứu (Champagne, Gunstone, &
Klopfer, 1983; Osborne & Wittrock, 1983) về khái niệm toán của học sinh đã chỉ ra
rằng:
1. Trước khi học chính thức, con người thường mang trong mình các hệ thống
khái niệm có tính mô tả để giải thích về các hiện tượng toán học và khoa học, đó chính
là các hệ thống niềm tin.
2. Các hệ thống niềm tin này khác với những gì được đưa vào chương trình
chuẩn ở nhà trường.
3. Một số điểm nổi bật trong hệ thống các niềm tin này chỉ ra sự nhất quán theo
lứa tuổi, khả năng và quốc gia.
4. Hệ thống các niềm tin này là khó thay đổi thông qua cách dạy học truyền
thống.
Ngoài ra, nghiên cứu này cũng cho rằng việc lặp lại hay cố gắng làm cho một
khái niệm rõ ràng hơn sẽ không giúp ích đối với những học sinh mà suy luận của các
em dựa chủ yếu vào các hiểu nhầm khái niệm đã tiếp nhận. Học sinh thường gắn mình
một cách cảm xúc và trí tuệ với các hiểu nhầm khái niệm, một phần bởi vì các em đã
tích cực kiến tạo nên chúng, và một phần chúng đưa ra những phương pháp có sẵn để
giải nhiều dạng bài toán.

16


Điều quan trọng là giáo viên phải nhận ra các hiểu nhầm khái niệm của học sinh
và hướng dẫn các em điều chỉnh, tháo bỏ thông qua kiến tạo lại các khái niệm đó.
2.2. Các hiểu nhầm khái niệm trong đại số
Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày một số hiểu nhầm khái niệm trong đại số

5. Độ lớn đối với số âm
Ví dụ, số nào lớn hơn, -8 hay -5? Vấn đề ở đây là học sinh đã thừa nhận “lớn”
theo nghĩa như thế nào. Một số giáo viên phạm sai lầm khi sử dụng các mệnh đề
như: “giá trị âm lớn hơn”. Điều đó gây nhầm lẫn cho nhiều học sinh.
6. Thứ tự của các phép toán
Có lẻ đây là hiểu nhầm khái niệm thường gặp nhất.
a. Nhiều học sinh tính 4 + 3x2 =7x2, hoặc 4 + 3x = 7x.
b. Học sinh thường dùng sai qui tắc phân phối. Chúng ta có thể thấy x2 – 2(x –
3) được viết thành x2 – 2x – 6.
7. Lũy thừa
Học sinh gặp khó khăn với sự ưu tiên thứ tự của các phép toán.
a. Nhiều học sinh sẽ tính sai là – 42 = 16.
b. Tính 16(–1/4). Các đáp số của học sinh được ghi lại có thể là –2 hoặc 2 thay vì
đáp số đúng là .
c. a × a × a có giống với 3a hay không? Tương tự a3 có giống với a × 3 hay
không? Một số học sinh không nắm chắc ý nghĩa toán học đúng đắn cho các
ký hiệu khác nhau. Điều này một phần do lỗi là có nhiều biểu diễn khác nhau
cho cùng một đối tượng toán học. Một phần là các hiểu nhầm khái niệm do
không hiểu đầy đủ và không thực hiện đúng các phép toán.
8. Định nghĩa căn số bậc hai
Nhiều học sinh gặp khó khăn với một định nghĩa đúng.

Tổng quát hơn, học sinh sẽ gặp khó khăn với:

Hay tổng quát hơn nữa là học sinh sẽ gặp khó khăn khi định nghĩa một đối
tượng được phân chia theo trường hợp.
Ví dụ: . Nhiều học sinh đưa ra đáp số là – 8. Trong trường hợp tổng quát hơn,
nhiều học sinh hay viết thay vì viết đúng là .
9. Căn số bậc hai với các tổng
18

⇔ 3x = 9
⇔ x=3

13. Bất phương trình

19


Học sinh gặp khó khăn khi giải những loại bài toán về bất phương trình. Các bài
toán bất phương trình gây khó khăn nhiều nhất có liên quan đến bình phương,
căn bậc hai, giá trị tuyệt đối.
a. Giải x2 – 8 > 0.
b. Giải

Học sinh cần có kỹ năng cơ bản về phân tích thành thừa số và các số hạng thực
sự có ý nghĩa như thế nào.
Trong ví dụ thứ nhất , một trong những quy trình là phân tích ra thừa số
( x − 8)( x + 8)

. Sau đó, chú ý tích số là dương khi và chỉ khi cả hai cùng dương

hoặc cùng âm. Chúng ta giải

x− 8 >0

từng số hạng âm. Chúng ta có thể viết

và

x+ 8 >0


b. Tương tự, chúng ta thường thấy

e ab = e a eb

16. Hàm số

Tìm tập xác định của hàm hữu tỉ khi một nhân tử chung là có mặt tử số và mẫu
số.
f ( x) =

Ví dụ Tìm tập xác định của hàm số
Rõ ràng, tập xác định là

x−3
x − 4x + 3
2

{ x | x ≠ 3, x ≠ 1}

Học sinh có khuynh hướng giản ước nhân tử chung và làm việc với những gì
còn lại.
2.3 Một số hiểu nhầm khái niệm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình
Để có cơ sở cho việc phân tích các hiểu nhầm khái niệm thường gặp của học
sinh trong chương trình đại số phổ thông và nêu những hướng khắc phục sau đây tôi
xin trình bày một kết quả nghiên cứu của nhóm tác giả Bradis, Minkovskii và
Kharcheva (2006). Những hiểu nhầm khái niệm đưa đến những kết luận thật vô lí
khiến các em lúng túng, hoài nghi và cũng từ đó các em sẽ nhận ra do hiểu nhầm khái
niệm.


và nhân 2 vế với một lượng nhân

để biến vế trái thành bình phương của 2 hàm biểu diễn khác nhau. Như vậy, phương
x − (2 − x) = 0

trình (1) có dạng:

Nhân 2 vế bởi nhân tử

(*)
f1(x) = x + (2 − x)

x − (2 − x)2 = 0
Khi đó, ta có:

hay

trên, có nghiệm bằng 4, như vậy

x2 − 5x + 4 = 0

x=4

là phương trình đã biến đổi được ở

là nghiệm ngoại lai của phương trình (1), chính

22



một cuốn sách nào đó cung cấp cho các em một lượng thông tin rõ ràng, rành mạch
như thế nào đi nữa thì HS sẽ chỉ hiểu những tài liệu học tập đó sau khi các em đã kiến
tạo cho riêng mình ý nghĩa về những gì đang học.

23


Ở hội nghị quốc tế lần thứ 60 về Giáo dục Toán tổ chức tại Budapest năm 1988,
Steen (1989) đã đề xuất “…Giáo viên thường hành động như thể tâm trí của mỗi HS là
một tấm bảng trắng hay một cái đĩa mềm còn trống mà kết quả trên đó là GV có thể ghi
bất cứ thông tin gì họ muốn. Nghiên cứu về khoa học nhận thức nhìn nhận theo một
cách khác rằng mỗi HS mang đến trường học một tập hợp rất phong phú về những kinh
nghiệm toán học đã có, những kinh nghiệm này tạo ra một cấu trúc trí tuệ riêng mà
trong đó mỗi HS sẽ tạo ra những mô hình mới bắt nguồn từ những kinh nghiệm mới.
Việc học diễn ra không phải trong hoạt động của sự nhớ lại mà trong sự phát triển dần
dần của cấu trúc trí tuệ duy nhất trong mỗi cá nhân. Nói cách khác, HS học bằng cách
điều chỉnh, sửa đổi “chương trình” của tâm trí mình chứ không phải bằng cách lưu trữ
dữ liệu mới vào “bộ nhớ” của tâm trí mình”.
Như vậy theo quan điểm lý thuyết kiến tạo, mỗi người giáo viên cần phải nhận
thức được rằng HS đến lớp không phải như một chiếc “bảng trắng”, một cái “đĩa
trống” hay môt cái “hộp rỗng” đang đợi để được làm đầy, thay vào đó, HS đến lớp để
được tiếp cận những hoạt động học cùng với tri thức mang ý nghĩa đã có từ trước. Khi
học một vài điều mới, HS sẽ hiểu ý nghĩa thông tin mới dựa trên kiến thức có trước của
mình, kiến tạo cách hiểu riêng cho mình bằng cách liên kết thông tin mới với những gì
các em đã tin. HS có xu hướng chấp nhận những tri thức mới chỉ khi những tri thức cũ
của các em không còn hoạt động hoặc tỏ ra là không còn hiệu quả cho những mục đích
mà các em cho là quan trọng.
Để kết quả học tập tốt đòi hỏi giáo viên phải áp dụng một tầm nhìn toàn diện
của triết lý giáo dục và thực hành những tiền đề trên lý thuyết kiến tạo trong đó nhấn
mạnh vai trò lấy người học làm trung tâm trong quá trình học tập (Fosnot, 2005).

đánh giá, xác minh sự khác biệt giữa những niềm tin của mỗi cá nhân đối với tri thức
và những kết quả thực nghiệm có thật. Nếu HS được yêu cầu phỏng đoán hoặc dự báo
25