SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Phần 1: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới. Để kịp với xu hướng
này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra. Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác. Phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy.
Có rất nhiều bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thì lời giải sẽ khó
hiểu,rắc rối .Nhưng nếu áp dụng phương pháp này ,bài toán sẽ trở thành đơn giản ,gọn
hơn rất nhiều .Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này ,ngoài ra
phương pháp sử dụng tính đơn điệu còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường hợp khác
.
Nói tóm lại,phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị
ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi đại học và cao đẳng.Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất ,hay nhất và chính
xác nhất .
Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông, chúng ta gặp rất
nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương
trình.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác
nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường
để giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác .
Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hoá lại bài tập ,để học sinh và giáo viên
bớt lúng túng hơn.
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán ,chiếm một vị trí đặc
biệt quan trọng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất
phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa tính đồng biến
và nghịch biến của một hàm số với đạo hàm của nó .
[Type text]




SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN
I.
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH
1.Phương phỏp :
Sử dụng cỏc tớnh chất đơn điệu của hàm số để giải các phương trỡnh là dạng toỏn khỏ quen
thuộc. Ta có các hướng ỏp dụng sau:
Hướng 1 : Thực hiện theo các bước :
Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng : f(x) = k (1)
Bước 2 : Xột hàm số y = f(x)
Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến)
Bước 3 : Nhận xột :
 Với x = x0 f(x) = f(x0) = k , do đó x = x0 là nghiệm.
 Với x > x0  f(x) f(x0) = k , do đó phương trỡnh vụ nghiệm.
 Với x < x0  f(x)

Vậy phương trỡnh (1) nếu cú nghiệm thỡ nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khỏc x = -1 thỏa phương trỡnh (1) nên phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x = -1.
Ví dụ 2.Giải phương trình:

(2)

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn .Nhưng nếu
ta quan sát thấy trong căn có chung “ x2 – x ” và đạo hàm

luôn dương

(với t = x2 – x ) trên tập xác định của nó thì ta áp dụng tính đơn điệu sẽ hay hơn.
Giải : Điều kiện :
Đặt t = x2 – x
[Type text]

 -1≤ x ≤ 2


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Phương trình trở thành :

, đk 3≤ t ≤ 2
với -3≤ t ≤ 2

Xét hàm số f(t) =
Ta có f '(t) =


= (x

1)2



(*)

Xột hàm số f(t) = t2
Đạo hàm f '(t) = 2t +
Khi đó : (*) 

với t > 0
> 0 , t > 0 nờn hàm số đồng biến trờn ( 0 ; +)
=

x=4vx=2

Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 4 và x = 2.
[Type
V ớtext]
dụ

4. Giải phương trỡnh : x3

x2 + 78x

(4)



dễ dàng hơn.

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

 x < 1-

Giải : Điều kiện :
(5) 

v x > 1+

.

.



(a)

Đặt t = x2 – 2x – 4 ( t > 0 ), khi đó :
(a) 

(b)

Đặt y =
(b) 



+x–1=

+ x2 – x

 f(x – 1) = f(x2 – x ) (*)

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Xét hàm số f(t) =

+t

TXĐ: D = R
f '(t) =

.ln2 + 1 > 0  tD  hàm số đồng biến trên (-;+)

Vậy (*)  x2 – x = x – 1  x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
V ớ d ụ 7. Giải phương trỡnh :

x>0

Giải : Điều kiện :
Đặt t =


[Type text]

. (8)


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì VT có logarit và số mũ .Nhưng ta quan
sát thấy biểu thức trong căn và số mũ đưa về

nên đặt ẩn phụ rồi tìm cách đưa

về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ giải dễ dàng hơn.
Giải : Điều kiện : x ≤ 1 v x ≥ 2
Đặt t =

= 1 – t 2.

, t ≥ 0. Suy ra

Khi đó (8) có dạng :
–

. (*)
–

Xét hàm số f(t) =
f '(t) =

+

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

2. Áp dụng :
V ớ d ụ 1. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét :Trong phương trỡnh (1) xuất hiện dạng hàm số f(x) = f(y) và đạo hàm luôn
dương nên ta dùng phương pháp hàm số cho phương trỡnh (1).
(1) 



(*)

Xột hàm số f(t) =
f '(t) =

.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

(*) x = y thế vào (2) ta được : 3

= 12  x =

.

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (2;2) ; (-2;-2)
V ớ d ụ 2. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét :Trong hệ phương trỡnh trờn là loại hệ phương trỡnh đối xứng loại 2.Khi đó
ta trừ hai phương trỡnh cho nhau ,ta thấy xuất hiện hàm số f(x) = f(y).
Hệ phương trỡnh 


Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó. Nhưng ta quan sát kỹ phương
trỡnh (5) là phương trỡnh bậc hai theo x(xy+2) và cú duy nhất nghiệm nên ta rút được
.Do đó ta dự đoán đưa về hàm số f(

y=

và dựng hàm số để giải.

Điều kiện : x ≠ 0



(5) 



Ta được:


(*)

Xột hàm số f(t) =
.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

f '(t) =
(*)

=


Suy ra hàm số đồng biến trờn R
(*)  2x =



4x2 +

thế vào (7) ta được:
( 8)

Nhận thấy x = 0 và x = khụng phải là nghiệm của phương trỡnh (8).
Xột hàm số g(x) = 4x2 +

trờn (0;

g '(x) = 8x – 8x

trờn (0;

Suy ra g(x) nghịch biến trờn (0;
Tại x =  g(
Suy ra pt(8) cú nghiệm duy nhất x =
[Type text]



.


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

[

.

(*)  x – 1 = y + 1  y = x – 2 thế vào (10) ta được :
4x – 8x + 3 = 0 
2




Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (

;

Phần 3 : HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI .
Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh
giỳp cho bài toỏn trở nờn ngắn gọn và cú hiệu quả cao.Nú giỳp cho học sinh và giỏo
viờn
[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

trỡnh bày một cỏch lụgic và làm vấn đề đơn giản hơn nhiều so với ban đầu.Phương pháp
này gúp phần rất lớn trong giải toỏn ,khụng phải chỉ có phương trỡnh ,bất phương trỡnh
và
hệ phương trỡnh mà cũn ỏp dụng cho nhiều bài toỏn khỏc : như tỡm giỏ trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số,chứng minh bất đẳng thức,...Thậm chớ , một số phương trỡnh và bất
phương trỡnh chớ ỏp dụng phương pháp này mới giải quyết được vấn đề.

Đức(chủ biờn) của Nhà xuất bản Đại học sư phạm , năm xuất bản 2004.
2. Một số đề thi Đại học của các năm và bài tập tham khảo.

Biờn Hũa ngày 25 thỏng 05 năm 2013
Người thực hiện

Ninh Thế Phụng

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

[Type text]