Trường THPT Long Phước

SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT LONG PHƯỚC

Mã số:……

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“GIÚP HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU GIẢI QUYẾT
BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH
”

Người trình bày:Trần Thị Kim Lan
Lĩnh vực nghiên cứu:
-Quản lí giáo dục
-Phương pháp dạy học bộ môn : Toán
- Lĩnh vực khác
Có đính kèm:Các sản phẩm khác không thể hiện trong bản in sáng
kiến kinh nghiệm
Mô hình:

GV: Trần Thị Kim Lan

Phần mềm:

Phim ảnh:

Hiện vật khác:


GV: Trần Thị Kim Lan

1


Trường THPT Long Phước

SKKN

5. Đổi mới phương pháp kiểm tra bài cũ và hoạt động nhóm

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

I/

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

II/ TỔ CHÚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
A/ Cơ sở lí luận-Cơ sở thực tiễn
B/Nội dung chuyên đề- biện pháp thực hiện
 Biện pháp thực hiện
1)Hệ thống lại các kiến thức cũ
2)Phân loại hình đa diện và dạy theo từng dạng
 Nội dung chuyên đề
1)Tính thể tích khối đa diện theo công thức
2) Tính thể tích các khối đa diện theo công thức tính tỉ số thể tích
III/ HIỆU QUẢ
IV/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
V/


A/ CƠ SỞ LÍ LUẬN- CƠ SỞ THỰC TIỂN
1/ CƠ SỞ LÍ LUẬN
Khi giải một bài toán về hình học không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài,
phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố
khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình
vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ?
Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên
quan đến vấn đề được đặt ra, trình bài nó như thế nào cho đúng đắn…..Ngoài ra
chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp làm đối với từng dạng

GV: Trần Thị Kim Lan

3


Trường THPT Long Phước

SKKN

toán…có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà
không gặp phải khó khăn.

2/ CƠ SỞ THỰC TIỂN
 Về thời gian:
Thời gian giảng dạy chương I: “Khối đa diện” chỉ có 10 tiết , riêng bài “
Thể tích khối đa diện” chỉ có 3 tiết, 2 tiết ôn tập chương I và theo phân
phối chương trình tự chọn của tổ dành 2 tiết cho bài tính thể tích. Thời
lượng dành cho giải quyết bài toán tính thể tích không nhiều
Về phía học sinh( đối với học sinh trường THPT Long Phước)
 Tính tự giác, khả năng tự học của học sinh chưa cao.

học bài mới.
2)Phân loại hình đa diện và dạy theo từng dạng
a)Các dạng hình đa diện:
Trong quá trình dạy, giáo viên nên dạy theo theo dạng hình đa diện, cụ thể :
hình chóp và hình lăng trụ
Hình chóp : hình chóp đều, hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy,
hình chóp có xác định vị trí của hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy
không trùng với đỉnh của đa giác đáy
Lăng trụ : lăng trụ đứng , lăng trụ xiên
b) Các dạng bài tập
a)Tính thể tích các khối đa diện theo công thức tính thể tích :tìm chiều cao và
diện tích đáy.
b)Tính thể tích các khối đa diện theo công thức tính tỉ số thể tích
 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
1)Tính thể tích khối đa diện theo công thức
*Thể tích khối chóp :
(B: diện tích đáy

V=

1
B.h
3

h: chiều cao khối chóp)
*Thể tích khối lăng trụ:
(B: diện tích đáy

V = B. h


mặt phẳng kia”
 Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm

trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Đường cao là cạnh chung của hai tam
giác nằm trên hai mặt bên đó.
Cơ sở của việc xác định là dựa theo định lí 2 trong bài “ Hai mặt phẳng
vuông góc”: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt
phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.”
 Hình lăng trụ đứng , hình lập phương, hình hộp chữ nhật , hình hộp đứng có
đường cao là cạnh bên
 Tính độ dài đường cao của khối đa diện
Để tính độ dài đường cao của khối đa diện, học sinh cần nắm các kiến thức sau
 Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác

vuông.
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH
Ta có các công thức sau :
* AB 2  AC 2  BC 2

* AH 2  BH.CH

1
1
1


2
2
AH
AB

B

A

d



d'

B’

.
Chú ý. + 0    90 .
0



0

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng   và    :
+ Tìm giao tuyến a của hai mặt phẳng   và   
+ Tìm trong   đường thẳng b vuông góc với a
+ Tìm trong    đường thẳng c vuông góc với a

Góc giữa hai mặt phẳng   và    là góc giữa hai đường thẳng b và c
0
0
Góc giữa hai mặt phẳng   và    là  thì   0 ;90 


S ABC  BC. AH  . AB. AC.SinA
2
2.

B

H

C

B
Diện tích tam giác ABC vuông
1
tại A: S ABC  AB. AC
2
A

C

A

ABC đều cạnh a :
a2 3
* S ABC 
4
a 3
*AH=
2

B


B
Cho hình thang vuông
ABCD
S ABCD 

1
.( AD  BC ). AB
2

Diện tích hình thang
1
S ABCD  ( AB  CD ).DH
2
GV: Trần Thị Kim Lan

D
A

D
H

C
8


Trường THPT Long Phước

SKKN
A


Sau đây là một số bài tập minh họa
Trước tiên, giáo viên chỉ cho các ví dụ đơn giản mà học sinh dể dàng nhìn ra
đường cao của khối chóp nhằm giúp học sinh làm quen với công thức tính thể
tích.
Bài 1.(Bài 1 trang 25 -HH 12 CB))
Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh a.
Giải
HD:Cần xác định chiều cao và diện tích đáy: Chọn đa giác đáy là tam giác
DCB ,DCB là tam giác đều cạnh a nên diện tích tam giác đã có( ta có thể chọn
đa giác đáy là tam giác ABC hoặc ABD hoặc ADC) , dựa vào tính chất hình
chóp đều suy ra vị trí chân đường vuông góc hạ từ A.
A

a
D
C
H

B
GV: Trần Thị Kim Lan

9


Trường THPT Long Phước

SKKN

Hạ đường cao AH của tứ diện. Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam

4

Vậy thể tích tứ diện:

1 a 2 3 a 6 a3 2
V 

(dvtt )
3 4
3
12
Bài 2Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA,
SB, SC đều tạo với đáy một góc 60o.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
Giải
S

600

C

A
H

a
B

a) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC), ta có H là trọng tâm tam giác
ABC. AH là hình chiếu của SA lên mp(ABC) nên  (SAH) = 60o


Vậy VSABC =
(đvtt)
3 4
12

b)Gọi d là khỏang cách từ A đến mp(SBC)
3VSABC
1
Ta có: VSABC = VASBC = SSBC .d  d 
3
SSBC
2

a 3
3a 2 39a 2
a 39
2
2
2
2
2

a


 SE 

SE = SH + HE = a + 
36

V 

2

2

1
1
S ABCD .SO  a 2 4b 2  2a 2 (đvtt)
3
6

B

C

O
A

D

Bài 4 : Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA= 2a, tam giác ABC vuông ở C
có AB=2a, góc CAB bằng 300. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. B’ là điểm
đối xứng của B qua mặt phẳng (SAC).
a)Tính thể tích khối chóp S.ABC ;
b)Chứng minh BC  (HAC ) ;
c)Tính thể tích khối chóp H.AB’B.

H



Diện tích tam giác AB: S ABC  AC.CB 

a2 3
2

a3 3
Thể tích khối chóp S.ABC: V=
(đvtt)
3

Hoặc nhận xét tam giác ABC là nửa tam giác đều có cạnh 2a nên

S ABC

a2 3

2
1
1 a2 3
a3 3
 Bh 
.2a 
3
3 2
3

VS . ABC

b) Ta có:


 AH 

HC 

S HAC

2 3a
7

AC 2  AH 2 

3a
7

1
3 3a 2
 AH .HC 
2
7

GV: Trần Thị Kim Lan

12


Trường THPT Long Phước

VHABC



a)Do tam giác ABC vuông tại A cho nên :
BA  AC  BA   AA'C'C  BA  AC ' . Vì

C'
B'

thế AC' là hình chiếu của BC' trên mặt

300

A

phẳng (AA'C'C) suy ra góc BC'A bằng 300 .

600

C

Trong tam giác vuông ABC ta có
B

AB  AC.tan 600  b 3 ,

BC  AB2  AC 2  3b2  b2  2b .

b) Tính thể tích khối lăng trụ .
Trong tam giác vuông ABC' ( vuông tại A )
Có: AC '  AB cot 300  b 3. 3  3b . BC'=2AB= 2b 3
Trong tam giác BCC' ta có : CC '   BC '   BC   12b2  4b2  2 2b .

O

b) Tính thể tích khối chóp OA’B’D’ theo a.

A

B

Giải
a) * VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD * A ' A
+ S ABCD  2a

D’

2

A’

3
+ VABCD. A ' B 'C ' D '  6a

C’
B’

b) *Chiều cao của khối chóp OA’B’D’ bằng chiều cao của khối hộp h=3a
+ VOA ' B ' D ' 
+

1
S A' B ' D ' * h


C

14


Trường THPT Long Phước

SKKN

Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có: SI  (ABCD)
IC= ID 2  DC 2 =a 2
=a 5 và BC= CJ 2  JB 2 =a 5

IB= IA 2  AB 2
1
2

SABCD= AD(AB+CD)=3a2
1
2

1
2

1
2

SIBA= IA.AB=a2 và SCDI= DC.DI.=. a2

đều ba điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích
khối lăng trụ đó.
Giải
B1

A1

C1

A

B
G

I

H

C

a2 3
Ta có: tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=
4
GV: Trần Thị Kim Lan

15


Trường THPT Long Phước


Giải
Giả sử ta vẽ hình như bên . Gọi H và H' lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và A'

xuống mặt phẳng SBC . Gọi góc giữa SB và SC là

CSB   .

1
VS . A' B 'C '  SSBC .A ' H '
3

Ta có :

VS . A ' B ' C ' 

VS . ABC 

A’
F

11
SB '.SC 'sin  . A ' H '
32

Tương tự , ta cũng có :
11
SB.SC sin  . AH
32

A

16


Trường THPT Long Phước

SKKN

AH
SA

Nhưng tam giác SA'H' đồng dạng với tam giác SAH suy ra : A ' H ' SA ' . Thay
V
SA SB SC

.
.
vào (1) : V ' SA ' SB ' SC ' .

Ta có thể sử dụng kết quả của bài này như một công thức để tính tỉ số thể tích
của hai khối cũng như tính thể tích của một khối dựa trên thể tích của một khối
khác
Bài 10: :(Bài 5 trang 26-HH 12 CB)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB=a . Trên đường thẳng qua C và
vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD=a . Mặt phẳng qua C
vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF
theo a.
Giải
Từ giả thiết AB=a và CD=a , tam giác ABC vuông cân tại A suy ra tam giác
CAD là tam giác vuông cân tại C . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD , thì từ C
kẻ CF vuông góc với BD . Trong mặt phẳng (ABD) kẻ FE vuông góc với BD




DC DB
DB DB 2

DF
a2
1
 2
 . Cho nên
Hay :
2
DB a  2a
3

VD.CFE CD DE DF
1 1 1
1

.
.
 1. .   VD.CFE  VD. ABC
VD. ABC CD DA DB
2 3 6
6

GV: Trần Thị Kim Lan

17

2

CF là đường cao trong tam giác vuông CDB nên:
2a 2





 CF 
3
CF 2 CB 2 CD 2 2a 2 a 2 2a 2
1

1

1

1

1

3

2

2a 2 a 2 a 2
a 6



1
11
1 a 2 a 6 .a 3 a 3
VD.CFE  S EFC .DF 
CE.EF .DF 

3
32
6 2
6
3
36

Qua hai cách giải trên, ta thấy với cách giải thứ nhất, học sinh ít tính toán hơn,
mà đối với học sinh trung bình , yếu kỹ năng tính toán của các em còn yếu nên
càng ít tính toán thì càng tốt đối với các đối tượng học sinh này.
Bài 11: :(Bài 6 trang 26 -HH 12 CB)

GV: Trần Thị Kim Lan

18


Trường THPT Long Phước

SKKN

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a . Các cạnh bên SA, SB, SC
tạo với đáy một góc bằng 600 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua
BC và vuông góc với SA.


S

a 3
5a 3
1
AM=
, suy ra SD=SA-AD=
4
12
2

D

VS . BCD
SD
5

.
VS . ABC
SA
8

600

A

5 1 a2 3
5 3 3
5


SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
B'

Giải

D

- Kẻ AB' vuông góc với SB , AD '  SD . Vì

 AB '  SB
 AB '  SC . (1)


 AB '  BC  BC  SAB 
GV: Trần Thị Kim Lan

a
B

A

b

C

19


Trường THPT Long Phước

;
SA SB
SB SB 2 a 2  c 2
SD ' SA
SD ' SA2
c2




.
SA SD
SD SD 2 b 2  c 2
Tam giác SC'A và SAC đồng dạng suy ra:

SC ' SA
SC ' SA2
c2




.
SA SC
SC SC 2 a 2  b 2  c 2
Ta có :

VS . ABC  VS . ADC
VS . A ' B ' C '
SB ' SC '

 2

.VS . ABC

2
2
2
2 
2
2
a

c
b

c

a  b  c  

GV: Trần Thị Kim Lan

20


Trường THPT Long Phước

SKKN

1
c4


Gọi O là tâm của ABCD
Nối AM cắt SO tại G . Kẻ qua G một dường thẳng song song với BD cắt SB tại
B’ và cắt SD tại D’ .
Vì B’D’// BD suy ra :

SB ' SD ' SG


(*)
SB
SD SO

Vì M là trung điểm của SC và O là trung điểm của AC suy ra G là trọng tâm của
tam giác SAC , suy ra
0
SO = OB tan 60 

SG 2
 (1). Trong tam giác vuông SOB ta có :
SO 3

a 2
a 6
3
(2)
2
2

GV: Trần Thị Kim Lan

VS . ABC
SB SC 3 2 3
VS . ADC
SD SC 3 2 3

VS . AEM  VS .AFM 1 1 2
  
V'
3 3 3
2
1
1 a3 6 a3 6
 VAB ' C ' D '  V '  VSABCD 

3
3
3 6
18


Bài 14:(Bài 10 trang 27 -HH 12 CB)
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Hãy tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.
b) Mặt phẳng đi qua A’B’và trọng tâm tam giác ABC cắt AC,BC lần lượt tại
E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A’B’FE.
Giải
a/ Cách 1:Vì lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng a suy ra tam giác hai đáy là
tam giác đều và các mặt bên là các hình vuông cạnh a.
Gọi I là trung điểm của AB.Ta có CI  (AA’B’C)



V 1 a2 3
a3 3

a
(đvtt)
3 3 4
12

C

E
B

I

F

A'

C'
K
B'

GV: Trần Thị Kim Lan

22


Trường THPT Long Phước

 . . 
 V '  V (2) . Ta có :
V 3 3 3 27
27

VC . A ' B ' C ' 

1
1
1
1
S A ' B ' C ' CC '  S A ' B ' C ' SC '  V (3)
3
3
3
3


Vậy : VC . A ' B ' FE  V  V ' VC . A ' B 'C '   V  

8
1 
V V
3 
 27

VC . A ' B ' FE

10
10 1 1 2 3

SKJC = SKIC =
3
6
d(C,(A’B’EF) = d(C,KJ) =

2 S KJC
2a 13
=
KJ
13

EF  A ' B '
5a 2 13
KJ 
SA’B’EF = 
2
12 3

Vậy

5a3
VC.A’B’EF =
(đvtt)
18 3

GV: Trần Thị Kim Lan

23



Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh bằng a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA= h, gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a/ Xác định chân đường vuông góc I hạ từ H đến mặt phẳng ( SBC ).
b/ Chứng minh I là trực tâm tam giác SBC.

a2h 3
c/ Tính thể tích hình chóp H.SBC theo a và h.(V =
)
36
Bài 3 : Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc
600, đáy là tam giác cân AB=AC=a và  BAC=1200 . Tính thể tích khối chóp đó.
ĐA: VSABC=a3/4.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA (ABC). Tam giác ABC vuông
cân tại B, AB  a 2
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH
Bài 5:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a,

SB=a 3 và mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN

GV: Trần Thị Kim Lan

24