Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 10/01/2006
Tiết PPCT: 62
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 1: Phơng pháp đổi biến số)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh hiểu đợc các định lí về các dạng đổi biến số, nắm vững các qui tắc đổi biến. Từ
đó biết cách sử dụng phơng pháp đổi biến số để các tích phân.
Trọng tâm: Học sinh nắm vững các quy tắc đổi biến và các công thức.
B. hớng đích và gợi động cơ.
HĐ 1: Trong thực tế giải toán tích phân, có nhiều trờng hợp nếu chỉ sử dụng định nghĩa,
các tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản cùng với các phép phân tích thì sẽ rất khó khăn. Để tính
đợc các tích phân loại đó chúng ta phải sử dụng một số kỹ thuật khác. Đó chính là vấn đề chúng
ta sẽ tìm hiểu.
C. Làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:
VD: Tính
1
2
1
0
I 1 x dx=

?
Hãy chứng minh (1)?
HĐ 3:
Phát biểu các bớc thực hiện
quá trình trên?
HĐ 4:
Xác định các cận theo biến t?



= =

(3)
Từ (2) và (3) suy ra ta có (1).
Qui tắc đổi biến số dạng 1.
1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên
[; ], f(u(t)) xác định trên [; ] và u() = a; u() =b.
2) Biến đổi f(x)dx = f(u(t).u(t)dt = g(t)dt.
3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t).
4) Kết luận
b
a
f(x)dx G(t)


=

Ví dụ 1. Tính
1
2
1
0
I 1 x dx=

.
Đặt x = sint
t ;
2 2

Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Tính dt?
BT tổng quát hơn?
Đa về dạng a
2
+x
2
?
HĐ 5:

b
a
f(x)dx =

?
Qui tắc?
Tính I
3
và I
4
?
và dx = cost.dt. Do đó:
1
2 2 2 2
1
0 0 0
1 cos2t
I 1 x dx cos t.dt dt
2


+ =
)
b) Đổi biến số dạng 2.
Lấy t = v(x) làm biến số mới, khi đó ta biến đổi đợc f(x) thành
biểu thức dạng g(v(t)).v(t). Đặt t = v(x) dt= v(x)dx và ta
có:
( )
b b v(b)
a a v(a)
f(x)dx g v(x) .v'(x)dx g(t)dt= =

Qui tắc đổi biến số dạng 2.
1) Đặt t = v(x), v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục.
2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt.
3) Tính một nguyên hàm G(t) của g(t).
4) Tính
v(b)
v(b)
v(a)
v(a)
g(t)dt G(t)=

Ví dụ 3. Tính
( )
1
3
0
I 5x 3 dx= +

Ví dụ 4. Tính

(Tiết 2: Phơng pháp tích phân từng phần)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân từng phần, từ đó biết cách vận dụng để giải
toán tích phân. Rèn luyện đợc kỹ năng tính tích phân thông qua các ví dụ.
Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tích phân từng phần.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính các tích phân sau:
2
2 2
1 2
0 0
dx
a) I 4 x dx; b) I
2 cosx

= =
+

C. Làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:
Hãy chứng minh (1)?

[ ]
u(x).v(x) ' ?
=
Tính du, dv theo x và dx?

b
a

Ta có:
[ ]
u(x).v(x) ' u'(x).v(x) u(x).v'(x)= +

[ ]
b b b
a a a
u(x).v(x) 'dx u'(x)v(x)dx v'(x).u(x)dx= +


[ ]
b b
b
a
a a
u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx=

Vì du = u.dx; dv = v.dx nên ta có:
b b
b
a
a a
udv uv vdu=

áp dụng.
Ví dụ 1. Tính
1
1
3
0




Do đó:
2
2 2
1
3 2 3
1 1
1
ln x lnx 1 dx
I dx
x 2x 2 x

= = +
ữ=
2
2
1
ln 2 1 1 ln 2 1 1 1 1 3 ln 2
. .
8 2 2x 8 2 8 2 2 16 8

+ = + =
ữ

Ví dụ 2. Tính

2
2
2
0
0
0
I x.sin x sin xdx cosx 1
2 2




= = + =

Ví dụ 3. Tính
1
x
3
0
I xe dx=

Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =



= =


= = 1
1 1 1
x x x x
4
0 0 0
0
2
I ( xe ) e dx ( xe ) ( e ) 1
e

= + = + =

Ví dụ 5. Tính
e
5
1
I ln xdx=

.
Đặt
1
u ln x
du dx
x
dv dx
v x

dv cosxdx v sin x
= =



= =

D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: Nắm vững qui tắc tích phân từng phần?
Dấu hiệu? Cách đặt?
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 2, 3, 5, 6 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
126
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 12/01/2006
Tiết PPCT: 64
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 3: Luyện tập)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh thành thạo kỹ năng vận dụng phơng pháp đổi biến số để giải toán tích phân. Biết
cách phân tích, biến đổi, tính các tích phân hàm số hữu tỉ.
Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tính đợc các
tích phân hàm hữu tỉ.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Tính các tích phân sau:

Đổi cận?
Bài số 1. Tính
1
4
1 2
0 2
6
dx
a) I cot gxdx; b)I
4 x


= =


Hớng dẫn giải.
a) Có
4 4
1
6 6
cosx
I cot gxdx dx
sin x= =

Đặt sinx = t dt = cosxdx
( )
2


=
Đặt x = 2sint với
0 t dx 2 cos tdt
6

=
Có
2 2 2
4 x 4 4sin t 4cos t 2 cos t = = =

(Vì
0 t cos t 0
6

>
)

6 6
6
2
0
0 0
2 cos tdt
I dt t
2 cos t 6



= = = =

2
= ?
HĐ 4:
Chúng ta biết tính tích phân hữu
tỉ dạng nào?
HS:
dx
x a+

?
Vậy hãy đa về dạng đó?
Xác định A, B?
J
1
=?
Tơng tự tính J
2
?
( )
2
e 2 2 1 3
2 2
1
1 1 1
1
1 ln x 2 2
I dx tdt t dt t 2 2 1
x 3 3
+
= = = = =

Hớng dẫn giải.
a) Giả sử:

2
1
1 1
1
0 0
0
3x 2 A B
3x 2 (A B)x B 6A
x 5x 6 x 1 x 6
1
A
A B 3
7
B 6A 2 20
B
7
dx 20dx 1 20
J ln x 1 ln x 6
7(x 1) 7(x 6) 7 7
1 20 10
ln 2 ln 5 ln6
7 7 7
+
= + + = + +
+

=

0 0
dx dx
J ln x 2 ln x 2 ln3
x 2 x 2
= + = + + =
+

D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 5: Nắm vững phơng pháp đổi biến số? Rút ra dấu hiệu, trờng hợp vận dụng.
Ghi nhớ cách tính tích phân các hàm số hữu tỉ.
Bài tập về nhà: Làm các bài tập 3.25, 3.26, 3.27 Tr33, 34 SBT.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
128
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 12/01/2006
Tiết PPCT: 65
Đ3. các phơng pháp tính tích phân
(Tiết 4: Luyện tập)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh củng cố đợc phơng pháp tích phân từng phần và thành thạo kỹ năng vận dụng
phơng pháp này để giải toán tích phân, cũng nh nắm đợc một số dạng tích phân tính đợc bằng ph-
ơng pháp tích phân từng phần.
Trọng tâm: Học sinh nắm đợc các trờng hợp vận dụng của phơng pháp tích phân từng
phần.
B. kiểm tra và đánh giá.

0
e sin xdx


Bài số 1. Tính
2 6
1 2
0 0
a) I (x 1) cos xdx; b) I (2 x)sin 3xdx

= =

Hớng dẫn giải.
a) Đặt
u x 1 du dx
dv cosxdx v sin x
= =



= =

[ ]
[ ]
2
2
1
0
0
2

=



[ ]
6
6
2
0
0
6
6
0
0
1 1
I (x 3)cos3x cos3xdx
3 3
1 1 1 1 5
(x 2) cos3x sin 3x 2.
3 9 3 9 9





= = = =


( )
2
2 2x x x
2
1
0 0
0
I e sin x e sin xdx e e sin xdx



= =

Đặt
x
x
1
1
u e
du e dx
dv sin xdx v cosx


=
=



= =


?
( )
2
2 2x x x
1
0 0
0
e sin xdx e cos x e cos xdx 1 I


= + = +

Ta có:
( )
2
2
1 1 1
e 1
I e 1 I I
2



= + =
b) Đặt
( )
2
2 ln xdx
du
u ln x


c) Đặt
dx
u ln(x 1)
du
x 1
dv 2xdx
v x

=
=





=


=

5
5
2
3
2
2
5
2
2



( )
1
1 1
2 x x 1 x
4
0 0
0
I x e 2 xe dx e 2 xe dx

= + = +

Đặt
1 1
x x
1 1
u x du dx
dv e dx v e

= =

= = ( )
1

(Tiết 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x),
trục Ox và các đờng thẳng x =a; x=b; Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y=f(x), y = g(x) và các đờng thẳng x =a; x=b .
Trọng tâm: Học sinh nắm vững các công thức, vận dụng đợc để giải toán.
B. Hớng đích và gợi động cơ.
HĐ 1: Nhắc lại phơng pháp tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f(x) liên tục, f(x)0 trên [a; b], trục Ox và các đờng thẳng x = a, x=b?
C. làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:
Công thức tính diện tích của
hình thang cong?

S
aABb
=?
Công thức tính S?
HĐ 3:
Công thức? S=?
HĐ4:
1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=f(x), trục Ox và các đờng thẳng x = a, x = b.
Nếu hàm số y = f(x) liên tục và
không âm trên [a; b]. Diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của f(x), trục Ox và các đờng thẳng
x = a, x = b là:
b b

2
3
2 2
2 2
1 1
1
x 7
S x dx x dx
3 3
= = = =

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y x 2x 3= , trục Ox và các đờng thẳng
1 5
x ;x
2 2
= =
Thầy giáo Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi
131