BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả



7

Chương 2. Phương trình vi phân đại số với hệ số hằng .

11

2.1. Phương trình vi phân đại số với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2. Đặc trưng của phương trình vi phân đại số với hệ số hằng

18

Chương 3. Phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên .
50
3.1. Phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên . . . . . . . . . .

50

3.2. Đặc trưng phương trình vi phân đại số chính quy bởi dãy phép
chiếu chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3. Tách các phương trình chỉ số 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66




2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các đặc trưng của phương trình vi
phân đại số với hệ số biến thiên.
Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách, các bài báo và các tài liệu liên quan
đến lí thuyết phương trình vi phân đại số, chủ yếu là cuốn sách [5].

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ của đại số tuyến tính, giải tích số và giải tích hàm để
tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài
liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận
văn đề cập tới.

6. Đóng góp của luận văn
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho
sinh viên và học viên cao học về phương trình vi phân đại số với hệ số
biến thiên.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị



∗ 0 ··· 0

3


với các phần tử ở vị trí ∗ là tùy ý, khi đó ma trận Q là một phép chiếu
lên không gian con một chiều span bởi vector cột đầu tiên của Q dọc theo
không gian con (m − 1) chiều
{v : v = [v1 v2 . . . vm ]T , v1 = 0}.
¯ = I − P¯ là
Bổ đề 1.1. Cho P và P¯ là hai phép chiếu và Q := I − P, Q
phép chiếu bù. Khi đó, các tính chất sau là đúng:
(1) z ∈ im Q ⇐⇒ z = Qz;
¯ chiếu lên cùng một không gian con S thì Q
¯ = QQ
¯
(2) Nếu Q và Q
¯
và Q = QQ;
(3) Nếu P và P¯ chiếu lên cùng một không gian con S thì P¯ = P P¯
và P = P¯ P ;
(4) Q chiếu lên S khi và chỉ khi P = I − Q chiếu dọc theo S;
(5) Với Z là ma trận bất kì thì mỗi ma trận có dạng I + P ZQ là
không suy biến và ma trận nghịch đảo là I − P ZQ;
(6) Mỗi phép chiếu P là chéo hóa được. Các giá trị riêng là 0 và 1.
Bội của giá trị riêng 1 là r = rankP.
Bổ đề 1.2. (Lemma A.9, [5]) Cho A, B ∈ L(Rm ), và rankA = r

(3) A + BQ là suy biến với mỗi phép chiếu Q lên N ;
(4) N ⊕ S = Rm ;
(5) Cặp {A, B} là chính quy với chỉ số Kronecker 1;
(6) Cặp {A, B + AW } là chính quy với chỉ số Kronecker 1 với mỗi
W ∈ L(Rm ).
Bổ đề 1.3. (Lemma A.10, [5]) Cho A, B ∈ L(Rm ), và A là suy biến,
N = Ker A, và S = {z ∈ Rm : Bz ∈ Im A} và N ⊕ S = Rm . Khi đó,
phép chiếu Q lên N dọc theo S thỏa mãn
Q = Q(A + BQ)−1 B.
Bổ đề 1.4. (Lemma A.11, [5]) Cho trước ma trận A ∈ L(Rm ), k =
indA, r = rankAk và cho s1 , . . . , sr ∈ Rm và sr+1 , . . . , sm ∈ Rm tương
ứng là các cơ sở của Im Ak và Ker Ak . Khi đó, với S = [s1 . . . sm ] tích
S −1 AS có cấu trúc đặc biệt


M 0

S −1 AS = 
0 N
trong đó M ∈ L(Rr ) là không suy biến và N ∈ L(Rm−r ) là lũy linh,
N k = 0, N k−1 = 0.
Với hai hàm ma trận khả vi liên tục F : I → L(Rm , Rk ) và G : I →
L(Rl , Rm ), I ⊂ R. Tích F G : I → L(Rl , Rk ) được xác định bởi
(F G)(t) := F (t)G(t),
5

t ∈ I.


Ta có quy tắc tính đạo hàm

1.2. Một số không gian hàm
a. Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.2. Một chuẩn trên X là một ánh xạ đi từ X vào R, kí
hiệu là

·

và thoả mãn các điều kiện:

1) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không của X);
3) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;
4) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian
ấy được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo P
là thực hay phức).
Định nghĩa 1.3. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x0 ∈ X nếu
lim xn − x0 = 0.

n→∞

Khi đó, ta kí hiệu
lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞.

n→∞

Định nghĩa 1.4. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Dễ dàng kiểm tra được A + B ∈ L (X, Y ) , αA ∈ L (X, Y ) và hai phép
toán trên thoả mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L (X, Y ) trở thành

8


một không gian tuyến tính trên trường P. Ta trang bị một chuẩn như sau
trên L (X, Y )
A = sup Ax , ∀A ∈ L (X, Y ) .
x ≤1

Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lý 1.1. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.

b. Không gian C[a, b]
Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn
[a, b], (−∞ < a < b < +∞). Các phép toán cộng và nhân với vô hướng
trên C[a, b] xác định bởi
Phép cộng:
+ : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b]
−→ x + y

(x, y)

xác định bởi (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b].
Phép nhân với vô hướng:
· : R × C[a, b] −→ C[a, b]
−→ λx



c. Không gian C[I, X]
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn · và giả sử I =
[0, T ], 0 < T < ∞.
Định nghĩa 1.9. Không gian C([0, T ]; X) bao gồm tất cả các hàm liên
tục f : [0, T ] → X với
f

C([0,T ];X)

= max f (t)
0≤t≤T

X


1


E = 0

0

số là:



0 0
−1 0 0






1 0 và F =  0 0 1 ,



0 0
0 1 0

khi đó ta có


λ−1 0 0

0 ≤ l ≤ m, 0 ≤ µ ≤ l sao cho


I
}m − l

LEK = 
,
N }l


W
LF K = 




}m − l

.

(2.3)

I }l

Do đó, ma trận không chứa N nếu l = 0 và trái lại N là lũy linh cấp µ,
tức là N µ = 0, N µ−1 = 0. Các số nguyên l và µ cũng như cấu trúc riêng
của các khối N và W được xác định duy nhất bởi cặp {E, F }.
Chứng minh. Nếu E không suy biến, ta có thể đặt l = 0, L = E −1 , K =
I và khẳng định của mệnh đề là đúng.

Ta có


˜
I − cM
0
−1 ˜
−1 ˜
.

S F S = I − cS ES =
˜
0
I − cN
˜ là không suy biến vì tính lũy linh của N
˜ . Kí hiệu
Khối I − cN


−1
˜
M
0
 S −1 (cE + F )−1 ,
L := 
−1
˜)
0 (I − cN
K := S,


˜ . Do đó, N µ = 0 và N µ−1 = 0.
và do đó N cũng có tính lũy linh như N
Đặt l := m − r. Ta còn phải kiểm tra rằng, các số nguyên l và µ cũng
như cấu trúc riêng của N và W là không phụ thuộc vào các phép biến
đổi L và K. Giả sử rằng, tồn

I
˜ K
˜ =  r˜
LE
0

˜ K,
˜ r˜ = m − ˜l sao cho
tại ˜l, µ
˜, L,



˜ 0
0
W
˜ K
˜ =
 , LF
.
˜
0 I˜l
N



V
U U N
 11 12  =  11
˜ V21
N
U21 U22 N





˜
M 0
W 0
˜ K=
 V,
 = LF
U
0 I
0 I

minh ta có


 

˜ V11 W
˜ V12 N
V12 N

Định nghĩa 2.2. Chỉ số Kronecker của một cặp ma trận suy biến
{E, F }, E, F ∈ L(Rm ) và chỉ số Kronecker của một phương trình vi
phân đại số (2.1) là bậc lũy linh µ theo dạng Weierstrass-Kronecker
(2.3). Kí hiệu Ind {E, F } = µ.
Dạng Weierstrass-Kronecker của một cặp ma trận suy biến {E, F }
giúp ta biết được cấu trúc của phương trình vi
 phân
 đại số liên kết (2.1).

y
Đổi biển trong (2.1) bởi L và biến đổi x = K   ta thu được hệ phương
z
15


trình tương đương
y (t) + W y(t) = p(t), t ∈ I,

(2.4)

N z (t) + z(t) = r(t), t ∈ I,

(2.5)

 
p
với Lq =   . Phương trình (2.4) là phương trình vi phân thường dạng
r
hiện. Phương trình (2.5) chỉ xuất hiện khi l > 0 vì khi l = 0 thì N không
xuất hiện. Vì từ (2.5) ta có

m+1

αi ηi = 0.

và một tổ hợp tuyến tính không tầm thường
i=1
m+1

Hàm x(t) =

αi eλi t ηi không đồng nhất không và hàm này thỏa mãn

i=1

phương trình (2.2) và điều kiện ban đầu x(0) = 0. Với các tập (m + 1)
phần tử phân biệt {η1 , . . . , ηm+1 } luôn có các nghiệm khác nhau, và do
đó không gian nghiệm của bài toán giá trị biên thuần nhất đối với (2.2)
là vô hạn.
Ví dụ 2.2. (Nghiệm của phương trình vi phân đại số không chính quy).
Xét cặp ma trận {E, F }

1 1 0


0 0 0
E=

0 0 0

0 0 1


0 0 0
,

0 1 0

0 0 0

m = 4,

là suy biến.
Khi đó, phương trình vi phân đại số thuần nhất (2.2) có dạng
(x1 + x2 ) + x2 = 0,
x4

= 0,
x3 = 0,

x3

= 0.

Ta tìm không gian nghiệm của hệ trên. Ta thấy, thành phần x3 là đồng
nhất bằng 0 và x4 là một hàm hằng bất kì. Phương trình còn lại (x1 +
17


x2 ) + x2 = 0 thỏa mãn với bất kì x2 là hàm liên tục, khi đó x1 được biểu
diễn dưới dạng
t

 = 0.

1 0

λ 0

Lưu ý rằng, trong trường hợp q là không tầm thường, với hệ phương
trình vi phân đại số nhiễu liên kết (2.1) điều kiện q3 = q4 cần thiết để
giải được bài toán.

2.2. Đặc trưng của phương trình vi phân đại số với
hệ số hằng
2.2.1. Dãy ma trận chấp nhận được và các phép chiếu chấp
nhận được
Trong mục này, ta sẽ biểu diễn phương trình
Ex (t) + F x(t) = q(t)

(2.7)

với các hệ số E, F ∈ L(Rm ) qua dạng Weierstrass-Kronecker. Để thực
hiện điều này ta làm như sau.

18


Đặt G0 = E, B0 = F, N0 = Ker G0 và lấy Q0 ∈ L(Rm ) là một phép
chiếu lên N0 . Đặt P0 = I − Q0 là phần bù của Q0 . Áp dụng tính chất cơ
bản của phép chiếu ta có
Q20 = Q0 , Q0 P0 = P0 Q0 = 0, P0 + Q0 = I, G0 Q0 = 0 và G0 = G0 P0 .
Khi đó, phương trình (2.7) trở thành

(2.8)

=B2

=G2

(2.9)
và tiếp tục quá trình trên. Ta thu được ma trận có thể có hạng cực đại
mà chứa đạo hàm x .
Với i ≥ 0 ta có
Gi+1 := Gi + Bi Qi ,

Ni+1 := Ker Gi+1 ,

Bi+1 := Bi Pi ,

(2.10)

gọi Qi+1 ∈ L(Rm ) là phép chiếu lên Ni+1 với Pi+1 := I − Qi+1 . Đặt
ri := rankGi và đặt tích các phép chiếu Πi := P0 · · · Pi . Từ Bi+1 =
Bi Pi = B0 Πi ta suy ra Ker Πi ⊆ Ker Bi+1 . Vì Gi = Gi+1 Pi nên ta có
Im G0 ⊆ Im G1 ⊆ · · · ⊆ Im Gi ⊆ Im Gi+1 ,
19


và do đó
r0 ≤ r1 ≤ · · · ≤ ri ≤ ri+1 .
Dãy (2.10) có tính chất
Ni−1 ∩ Ni ⊆ Ni ∩ Ni+1 ,









G0 = E = 0 0 1 , B0 = F = 0 1 0 .




0 0 0
1 0 1
Phép chiếu lên kerG0 ta chọn



0 0 0




Q0 = 0 1 0


0 0 0
20







Q1 = −1 0 0


1 0 0


và thu được



3 1 0




G2 = G1 + B1 Q1 = 0 1 1 .


2 0 0
Ma trận G2 là không suy biến, do đó hạng cực đại được tìm thấy và ta
dừng lại việc xây dựng dãy. Ta tìm đa thức p(λ) = det(λE + F ) = 2λ
ta biết rằng phương trình vi phân đại số này là chính quy. Sau đó, ta
thấy rằng ma trận không suy biến G2 là chính quy với chỉ số Kronecker
là 2. Hơn nữa, các không gian không N0 và N1 giao nhau bằng rỗng,
và phép chiếu Q1 được chọn sao cho Π0 Q1 Q0 = 0 hoặc tương đương với
N0 ⊆ kerΠ0 Q1 .