Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy
học chủ đề Phương pháp tọa độ trong
không gian Hình học 12

Phạm Kim Mai


MỤC LỤC

Phạm Kim Mai


BẢNG CỤM TỪ VIẾT TẮT DÙNG TRONG KHÓA LUẬN
Viết tắt
PH&GQVĐ
GV
HS
PPDH
SGK
Vtcp
Vtpt
mp

Viết đầy đủ
Phát hiện và giải quyết vấn đề
Giáo viên
Học sinh
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Vectơ chỉ phương

không gian quan trọng nó cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình
học phổ thông có hiệu quả, tổng quát, đôi khi không cần đến vẽ hình. Nó có
tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực
phân tích, tổng hợp... Hơn nữa, chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không
gian” có vai trò quan trọng trong hình thành kiến thức toán phổ thông cho HS.
Tuy nhiên, chủ đề này có tính trừu tượng cao, lượng kiến thức và kĩ năng
nhiều vì phải tiếp thu, kế thừa kiến thức hình học phẳng, hình học không gian
mà các em đã được học trước đó.


5

Trong những năm gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về việc
tổ chức PPDH trong dạy học toán cho HS với nhiều hướng tiếp cận, chủ đề
khác nhau, tiêu biểu như: Luận văn Thạc sỹ Trần Văn Quỳnh, Dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong không gian” cho học sinh lớp 12 THPT theo
hướng phân hóa nội tại. Luận văn Thạc sỹ Hà Thị Thu Oanh, Vận dụng
phương pháp PH và GQVĐ vào dạy học chương “Phương pháp tọa độ trong
không gian” cho HS lớp 12 THPT tỉnh Cao Bằng. Tuy nhiên, hiện nay chưa
có nghiên cứu cụ thể nào nhằm bồi dưỡng năng lực PH và GQVĐ thông qua
dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Vì vậy, trên cơ sở kế
thừa những kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học đi trước tôi tiếp tục tìm
hiểu, phân tích làm rõ vấn đề này, từ đó đề xuất một số biện pháp nhằm bồi
dưỡng năng lực PH và GQVĐ cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng
dạy học Toán nói chung, dạy học Hình học ở trường phổ thông nói riêng và
phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của HS.Với những lý do
trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong
không gian” Hình học 12 là nội dung nghiên cứu của mình.
2. Mục tiêu khóa luận

quyết vấn đề cho học sinh.

-

Tổ chức thử nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về lý luận về dạy học bộ môn toán như: giáo
trình PPDH môn Toán, Các văn kiện Nghị quyết, chỉ thị của Đảng và Nhà
nước để xác định phương hướng của đề tài.
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: SGK hình học
12 THPT, sách tham khảo, các văn bản hướng dẫn của Bộ Giáo dục và
Đào tạo xung quanh vấn đề PPDH Toán nói chung và chủ đề “Phương
pháp toạ độ trong không gian” nói riêng.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận
dạy học bộ môn Toán có liên quan đến đề tài.
4.2. Phương pháp điều tra, quan sát


7

- Dự giờ quan sát những biểu hiện của giáo viên và học sinh (về nhận
thức, thái độ, hành vi) trong hoạt động dạy và học (trước và trong khi thử
nghiệm).
- Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp đã và đang giảng dạy.
- Điều tra tình trạng tiếp thu kiến thức của học sinh.
- Điều tra, tìm hiểu khả năng vận dụng phương pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề của giáo viên trong dạy học bộ môn toán.
- Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác.


Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Phương pháp tọa
độ trong không gian” Hình học 12
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.


9

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy trong dạy học môn Toán
1.1.1.

Đặc điểm của tư duy trong dạy học môn Toán
Tư duy của con người có những đặc điểm như có tính vấn đề, tính gián

tiếp, tính chất lý tính, tính trừu tượng và khái quát. Nhưng trong hoạt động
dạy học thì đặc điểm nổi bật nhất của tư duy là tư duy có mối quan hệ chặt
chẽ với ngôn ngữ. Vì tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn
ngữ làm phương tiện và không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ. Ngược lại,
ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào quá trình tư duy của
con người.
Một yêu cầu quan trọng của việc học Toán là phải biết vận dụng các
kiến thức toán học để giải quyết những bài toán thực tiễn. Và để giải được
những bài toán đó thì đòi hỏi người học phải biết tư duy, biết chuyển từ tình
huống cụ thể sang ngôn ngữ toán học bằng những hình ảnh trực quan hay kí
hiệu toán học và biết chuyển ngược lại các kết quả toán học có được sang
ngôn ngữ của thực tiễn.

quát hóa.
So sánh: So sánh là cơ sở của tư duy và mọi sự hiểu biết. Nó là sự xác
định thể hiện rõ sự bằng nhau hay không bằng nhau, sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các sự vật, hiện tượng.
Các thao tác tư duy cơ bản như: Phân tích – tổng hợp, Trừu tượng hóa –
khái quát hóa, so sánh đều có mối quan hệ mật thiết với nhau, chúng hỗ trợ,
bổ sung thống nhất cho nhau theo một hướng nhất định và phụ thuộc vào
chiến lược tư duy hay do nhiệm vụ tư duy quy định. Vì vậy, trong quá trình
dạy học GV cần quan tâm rèn luyện cho HS các thao tác tư duy này.
Ví dụ 1.1: Tìm công thức tính
Ta phân tích làm biến đổi
ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ

cos3x

cos3x

cos3x

như sau:

thành

cos ( 2x + x )

với công thức

. Sự phân tích diễn



Phân tích
Phân tích
Khái quát hóa
Phân tích
Phân tích

cos 2 x cosx − sinxsin 2 x

1 − 2sin 2 x
2sinxcosx

cosx − 4cosxsin 2 x

sin 2 x = 2sinxcosx

. Từ đó biến

. Tiếp tục thao tác phân tích khi tách

4cos3 x − 3cos x

.

Có thể minh họa ví dụ trên bằng sơ đồ sau:
cos ( a + b )

và

là sự tổng hợp dẫn đến kết quả



Phương trình chính tắc:

với

x − x0 y − y0
=
a
b

a2 + b2 ≠ 0

với

a2 + b2 ≠ 0

Khái quát hóa đường thẳng trong không gian thì đường thẳng cũng có
ba dạng phương trình sau:
Phương trình tổng quát:

Phương trình tham số:

ax + by + cz + d = 0

 x = x0 + at

 y = y0 + bt
 z = z + ct
0


chất bài toán.
Ví dụ 1.3: Cho

A ( 1;2;3)

,

B ( 2; −1;1)

,

C ( 3;4;2 )

định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

,

ABCD

D ( 2; −3; −2 )

. Xác

.

Đây là dạng toán quen thuộc nên để tìm tâm và bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện

ABCD



cần giải hệ phương trình là có thể tìm được tâm và bán kính của mặt cầu.
Tổ chức và huy động kiến thức: Huy động kiến thức là tách ra từ trí nhớ
các yếu tố có liên quan đến bài toán. Còn tổ chức kiến thức là kết nối các yếu
tố có liên quan đến bài toán lại với nhau.
Tách biệt và kết hợp: Tách biệt là tách một bộ phận cụ thể ra khỏi cái
toàn thể bao quanh nó và chuyển sự tập trung vào chi tiết của bộ phận này.
Còn kết hợp là liên kết những bộ phận cụ thể sau khi xem xét với nhau thành
cái toàn thể và cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước.
Theo sơ đồ, tập hợp các hành động trí tuệ cùng những mối quan hệ giữa
chúng cho ta thấy rõ cấu trúc của hoạt động trí tuệ trong giải toán. Chẳng hạn,
khi giải quyết một bài toán cụ thể thì thao tác nhận biết được thể hiện qua việc
đưa bài toán về dạng quen thuộc; thao tác nhớ lại được thể hiện qua việc nhớ
lại định nghĩa, định lý, tính chất, hệ quả; thao tác bổ sung được thể hiện qua
việc bổ sung những yếu tố phụ như đặt ẩn phụ để giải phương trình , bất
phương trình, hệ phương trình,...Hay kẻ thêm đường phụ khi giải nhiều bài
toán hình học. Ngoài ra, những dấu hiệu của hoạt dộng trí tuệ trong giải toán
cũng được thể hiện rõ như: có cảm giác hiểu được bài toán là dấu hiệu nhận
biết; tri giác một cách rõ ràng các chi tiết là dấu hiệu tách biệt; nhận định bài
toán một cách chính xác là dấu hiệu nhóm lại; người giải cảm thấy tự tin,
sung sướng khi mình nắm được tư tưởng chủ đạo để giải bài toán là dấu hiệu
dự đoán đúng;...
1.2.

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong Toán học


15

1.2.1. Năng lực và năng lực toán học


16

với lĩnh vực đó. Ngược lại, khi có tri thức, kĩ năng và kĩ xảo về một lĩnh vực
nào thì người đó không nhất thiết phải có năng lực trong lĩnh vực đó.
Một trong những vấn đề cơ bản của chiến lược giáo dục nước ta hiện
nay là vấn đề phát hiện và bồi dưỡng năng lực cho người học nhằm nâng cao
dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. Năng lực của mỗi người chịu
ảnh hưởng của đặc điểm tâm lí cá nhân, các yếu tố bẩm sinh di truyền, điều
kiện của môi trường sống,...Nhưng điều chủ yếu là năng lực được hình thành,
phát triển, thể hiện trong hoạt động của con người dựa vào quá trình dạy học,
giáo dục và tự rèn luyện. Vì vậy, mỗi cá nhân khác nhau thì năng lực cũng
khác nhau. Ta nên tiếp cận vấn đề phát triển năng lực theo hướng tiếp cận
nhân cách của người học vì việc hình thành và phát triển nhân cách là phương
tiện có hiệu quả nhất để phát triển năng lực.
b) Năng lực toán học
Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học được hiểu là năng lực
trong học tập, trong việc nắm vững các khái niệm, định lí, tính chất, hệ quả
toán học với tư cách là môn học. Ở đây, người học có năng lực học toán sẽ
nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toán học và thực hiện thành thạo
các kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. Có thể khẳng định có năng lực học toán là điều
kiện cần của năng lực sáng tạo toán học. Bởi vì năng lực sáng tạo toán học có
thể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lí mới, nó
hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được những định lí toán học đã được
chứng minh và thừa nhận trước đó.
Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học. Con người có
những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ
được hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môi
trường sống. Năng lực toán học được cho là có mối quan hệ mật thiết với hoạt
động trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu.


( x − 4)

( a − b)

= a 2 − 2ab + b 2

2

không phải là một vấn đề. Vì chỉ cần áp

là có thể giải được. Nhưng khi yêu cầu HS giải

2

lại là một vấn đề đối với HS. Việc giải được bài toán này

hằng đẳng thức đối với hai số
2

2

2

đòi hỏi HS phải biết biến đổi

( a − b + c)

( a − b)


biến đổi đối tượng hoạt động hay điều chỉnh hệ thống kiến thức sẵn có nhằm
thích nghi với điều kiện hành động mới.
Ví dụ 1.5: GV tạo tình huống gợi vấn đề cho HS phát hiện định lí côsin
trong tam giác như sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A như
hình vẽ. Để tính độ dài cạnh BC ta
dựa vào công thức nào?
Đáp án GV mong đợi ở HS
là dựa vào định lí Pitago:

BC 2 = AB 2 + AC 2 = b 2 + c 2
Hình 1.1

Để tính độ dài cạnh còn lại của tam giác nếu biết góc đối diện cạnh đó
là góc vuông ta dùng định lí Pitago. Vậy nếu biết góc đối diện không là góc
vuông mà là một góc có số đo bất kì thì ta có tính được độ dài cạnh còn lại
của tam giác không?
Bài toán thỏa mãn ba điều kiện của tình huống gợi vấn đề là:
-

Vấn đề tồn tại vì HS chưa được trang bị công thức để tính độ dài cạnh

-

BC.
Vấn đề gợi nhu cầu nhận thức ở HS. Vì bài toán tuy khác lạ nhưng rất
quen thuộc vì liên quan đến tìm các cạnh của tam giác mà các em đã

-



uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AC. AB = AC . AB cos AC , AB

(

Theo công thức tích vô hướng ta có:
Từ đó suy ra:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cosA

(Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A thì
tức là

BC 2 = AC 2 + AB 2

Thay

)

BC = a

ABC bất kì là:

,

cos A = cos900 = 0

,


20

cho vấn đề đã được chấp nhận giải quyết, lý giải, chứng minh, kiểm tra; tìm
được kết quả cuối cùng và đánh giá kết quả tìm được.”
Theo John Dewey, GQVĐ gồm 5 bước: “Tìm hiểu vấn đề; xác định vấn
đề; đưa ra những giả thuyết khác nhau để GQVĐ; xem xét hệ quả của từng
giả thuyết dưới ánh sáng của những kinh nghiệm trước đây; thử nghiệm giải
pháp thích hợp nhất”.
Dù được phân chia theo cách nào thì GQVĐ vẫn bao gồm ba bước
chính sau đây:
Bước 1: Tìm hiểu vấn đề
+ Tạo tình huống gợi vấn đề;
+ Giải thích để hiểu đúng tình huống;
+ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
+ Phân tích, làm rõ những mối quan hệ giữa những cái chưa biết và
những cái đã biết;
+ Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề, ở đây thường vận
dụng quy tắc tìm đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, khái quát hóa, xét tính
tương tự, suy ngược suy xuôi,...
+ Trình bày cách giải quyết vấn đề.
Bước 3: Nghiên cứu cách giải quyết vấn đề
+ Kiểm tra sự đúng đắn của lời giải;
+ Kiểm tra tính tối ưu, tính hợp lí của lời giải;
+ Đề xuất những vấn đề mới có liên quan và giải quyết vấn đề nếu có.
Ví dụ 1.6: Giải phương trình:

a sin 2 x + b cos 2 x + c sinxcosx + d = 0



tìm nghiệm của phương trình bậc nhất có dạng:

cos 2 x =
,

1 + cos 2 x
2

a sin 2 x + bcos 2 x = c

; biết

.

Bước 1: Tìm hiểu vấn đề: GV nêu yêu cầu là giải phương trình lượng giác

a sin 2 x + b cos 2 x + c sinxcosx + d = 0

(1)

Bước 2: Giải quyết vấn đề: GV gợi ý cho HS hai phương pháp giải:
+ Phương pháp đưa về

Xét trường hợp
x=
nghiệm

π
+ kπ


π
+ kπ ,k ∈ ¢
2

. Chia hai vế phương

ta được phương trình mới là gì? Phương trình mới có ở

dạng quen thuộc không? Nếu quen thuộc thì giải phương trình đó như thế
nào?


22

+ Phương pháp đưa về phương trình bậc nhất đối với

sin 2x

và

cos 2x

.

sin 2 x cos 2 x
Từ phương trình (1) dùng công thức hạ bậc đối với
,
ta được
phương trình mới như thế nào? Giải phương trình đó?

khái niệm, định lí, bài toán,…) thì năng lực giải quyết vấn đề là một trong
những thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học Toán. Trong Toán
học, năng lực giải quyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng
phân môn: Đại số, Hình học,… Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính


23

chất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt
chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải quyết vấn đề và năng lực học
Toán thông qua quá trình dạy học Toán (yếu tố giáo dục). Mặt khác, nếu xét
theo các tình huống dạy học điển hình của môn Toán thì có năng lực học khái
niệm, năng lực suy luận chứng minh định lí, giải toán… trong năng lực học
Toán nói chung. Trong đó năng lực giải quyết vấn đề đều có mặt và đóng vai
trò quan trọng ở mỗi năng lực thành phần (nhất là năng lực giải Toán bởi tính
vấn đề trong bài toán và hoạt động giải Toán tự nó thể hiện rõ đặc thù giải
quyết vấn đề).
+ Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi học sinh luôn phải tự
nhận biết và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có
những vấn đề của việc học Toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúc
phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực học
tập (nói riêng là năng lực học Toán). Nhưng nếu xét riêng ở phạm vi học
Toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải Toán thì mỗi bài toán có thể
chứa nhiều vấn đề. Khi đó, năng lực giải quyết vấn đề lại là một bộ phận
trong năng lực giải Toán, năng lực học Toán…
+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải quyết
vấn đề ở mức độ cao.
+ Năng lực học Toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh
tương đối cao) để hình thành nên năng lực Toán học.
+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát

cầu giải quyết vấn đề
Theo Nguyễn Bá Kim [4], thì hoạt động nhận thức một vấn đề Toán
học nói chung bao gồm hai giai đoạn chính: hình thành, xây dựng và củng cố,
vận dụng. Mặt tâm lí của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong hoạt
động này là hứng thú tìm tòi, lòng ham hiểu biết nên nếu sự hứng thú không
được hình thành thì bản thân sự lĩnh hội kiến thức sẽ diễn ra thấp hơn nhiều
so với tiềm năng sẵn có của học sinh.
Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của học sinh
đã là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi
trong học tập. Động cơ đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toán
học, động cơ này lại được cụ thể hoá thành từng nhiệm vụ học tập - là từng


25

đơn vị (tế bào) của hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề. Để giải quyết
nhiệm vụ đó, nhất thiết học sinh phải tiến hành một loạt các hành động như
huy động và tổ chức kiến thức có liên quan đến tình huống chứa vấn đề; tách
biệt và kết hợp các kiến thức; dự đoán và kiểm tra điều dự đoán;…với các
thao tác tương ứng như: nhận biết, nhớ lại (ở đây đóng vai trò năng lực huy
động, tái hiện kiến thức), bổ sung, phân nhóm,…
Như vậy học sinh cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề, tức là
nhận thấy có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của
bản thân.Từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên
trong tình huống. Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện quy gọn, tránh
được tình trạng lan man không định hướng.
Để hình thành, xây dựng nhu cầu phát hiện và giải quyết vấn đề từ tình
huống đã có, học sinh cần huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến
các dữ kiện trong tình huống đó. Trên cơ sở xác định mối liên hệ giữa các
kiến thức, kĩ năng đã có với vấn đề đang cần giải quyết, từ đó học sinh sẽ