Lời cảm ơn
Khóa luâ ̣n “Rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài tâ ̣p Tổ hơ ̣p – Xác suấ t cho ho ̣c
sinh lớp 11 đươ ̣c hoàn thành dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo tâ ̣n tình của thầ y giáo Tiế n si ̃
Nguyễn Triê ̣u Sơn - Phó Hiệu trưởng Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắ c. Em xin bày tỏ lòng
biế t ơn và kính tro ̣ng tới Thầ y – người đã trực tiế p giúp đỡ em hoàn thành khóa luâ ̣n.
Em trân tro ̣ng cám ơn sự quan tâm và giúp đỡ của các thầ y cô Trường THPT
Nhi ̣ Chiể u – Huyê ̣n Kinh Môn – Tỉnh Hải Dương cùng các em ho ̣c sinh lớp 11A và
11B của trường cùng sự giúp đỡ và ủng hô ̣ nhiê ̣t tiǹ h cùng các ba ̣n sinh viên lớp K53
– Đại học sư phạm Toán Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắ c.
Em cũng xin đươ ̣c bày tỏ lòng biế t ơn sâu sắ c tới ban chủ nhiê ̣m khoa Toán,
các phòng ban, thư viê ̣n nhà trường đã giúp đỡ, chỉ bảo và ta ̣o điề u kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i về
nguồ n tài liê ̣u tham khảo trong quá trình nghiên cứu Khóa luâ ̣n.
Đã có nhiề u cố gắ ng, tuy nhiên Khóa luâ ̣n không khỏi có những thiế u xót, em rấ t
mong nhâ ̣n đươ ̣c các ý kiế n đóng góp, phê bình của các thầ y cô và các ba ̣n sinh viên
để khóa luâ ̣n đươ ̣c đầ y đủ và hoàn thiêṇ hơn.
Sơn La, tháng 5 năm 2016.
TÁC GIẢ
Pha ̣m Thu Hằ ng

1


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 5
1. Lý do cho ̣n khóa luâ ̣n .............................................................................................. 5
2. Mu ̣c đích nghiên cứu ............................................................................................... 6
3. Nhiêm
̣ vu ̣ nghiên cứu .............................................................................................. 6
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 6
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luâ ̣n:....................................................................... 6

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng phân chia trường hợp trong dạy học giải
toán thuộc chủ đề Tổ hợp - Xác suất. ...................................................................... 39
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng toán học hoá các bài toán thực tiễn, và liên
hệ với các môn học khác trong dạy học giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất. ...... 43
2.3. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 52
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 53
3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 53
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................................... 53
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................... 53
3.2.2. Nội dung thực nghiệm. .................................................................................... 53
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................................................... 55
3.3.1. Đánh giá định tính ........................................................................................... 55
3.3.2 Đánh giá định lượng......................................................................................... 55
3.4. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 58
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 60
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 61

3


Bảng ký hiệu các chữ viết tắt

THPT

Trung học phổ thông

PPDH

Phương pháp dạy học

1.1. Lý thuyết xác suất là ngành Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi
phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng, tính toán
Xác suất của một biến ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ trao đổi
giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa-xcan (1623-1662) và Phéc-ma (16011665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ
bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pa-xcan. Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở
thành một ngành Toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của
khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ
hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII. Trong một thời gian dài, nó nằm ngoài hướng phát
triển chung và những ứng dụng của toán học. Sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp
sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn. Ngày nay phương pháp Tổ hợp
được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trò là công cụ tính xác suất,
trong thống kê, trong quy hoạch toán học, trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp,
trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại số không kết hợp, …
Ngành toán ho ̣c này rấ t cầ n thiế t với đời số ng của con người nhằ m khám phá ra
các quy luâ ̣t của tự nhiên và xã hô ̣i. Mă ̣t khác, các vấ n đề thuô ̣c phương pháp và kỹ
thuâ ̣t tính toán về tổ hơ ̣p và xác suấ t áp du ̣ng rấ t nhiề u trong giải quyế t những bài toán
thực tiễn phức ta ̣p của đời số ng xã hô ̣i.
Vì vâ ̣y lí thuyế t xác suấ t đã đươ ̣c đưa và chương trình toán 11 nhằ m cung cấ p
cho ho ̣c sinh THPT những kiế n thức cơ bản về ngành toán ho ̣c quan tro ̣ng này.
1.2. Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, rèn
luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của
thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể,
khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác. Để có thể ho ̣c tố t chủ
đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t ho ̣c sinh không những nắ m đươ ̣c các khái niê ̣m các công thức
5


cơ bản như: không gian mẫu, biế n cố , biế n cố xung khắ c,…biế t sử du ̣ng linh hoa ̣t các
quy tắ c cô ̣ng, nhân, giải bài toán tiń h xác suấ t quan tro ̣ng hơn là biế t vâ ̣n du ̣ng các

+Đo ̣c phân tích, hê ̣ thố ng hóa, khái quát hóa, tài liêụ liên quan đế n khóa luâ ̣n
+ Nghiên cứu mô ̣t số tài liêụ về lý luâ ̣n da ̣y ho ̣c, nghiên cứu SGK và mô ̣t số tài liêụ
tham khảo như sách, báo ta ̣p chí liên quan đế n da ̣y và ho ̣c Tổ hơ ̣p – Xác suấ t
4.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thư ̣c tiễn
- Phương pháp quan sát: dự giờ, chủ đô ̣ng quan sát viê ̣c ho ̣c toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t
của ho ̣c sinh lớp 11
- Phương pháp điề u tra: điề u tra bằ ng hê ̣ thố ng câu hỏi và bài tâ ̣p chương Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t
- Phương pháp thử nghiê ̣m
- Phương pháp lấ y ý kiế n chuyên gia
5. Cấ u trúc của khóa luâ ̣n
Tên khóa luâ ̣n: Rèn luyê ̣n kỹ năng giải một số bài toán Tổ hợp – Xác suấ t cho
học sinh lớp 11
Ngoài phầ n mở đầ u khóa luâ ̣n có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn
Chương 2: Các biêṇ pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài toán xác suấ t cho
ho ̣c sinh lớp 11
Chương 3: Thử nghiê ̣m sư pha ̣m
Kế t luâ ̣n
Tài liêụ tham khảo

7


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng giải toán và vấ n đề rèn luyêṇ kỹ năng giải toán cho ho ̣c sinh
1.1.1. Kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vâ ̣n du ̣ng tri thức khoa ho ̣c và thực tiễn. Trong đó, khả năng
đươ ̣c hiể u là: Sức đã có (về mô ̣t mă ̣t nào đó) để thực hiêṇ mô ̣t viê ̣c gì”
Theo tâm lý ho ̣c, kỹ năng là khả năng thực hiêṇ có hiêụ quả mô ̣t hành đô ̣ng nào

bài toán tính xác suấ t bằ ng quy tắ c cô ̣ng, quy tắ c nhân, tri thức và kỹ năng giải bài
toán tiń h xác suấ t theo đinh
̣ nghiã cổ điể n…
Cầ n chú ý là tùy theo nô ̣i dung kiế n thức toán ho ̣c mà có những yêu cầ u rèn luyê ̣n
kỹ năng khác nhau.
1.1.3. Phân loa ̣i kỹ năng trong môn toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, do đó chủ
thể giải toán cần phải: nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo
các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện
khác nhau. Trong giải Toán thì kĩ năng của học sinh chính là khả năng vận dụng sáng
tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải các bài toán cụ thể,
thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán
một cách khoa học. Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp
độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải Toán, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau:
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán;
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;
+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;
+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán;
+ Kỹ năng thu nhâ ̣n hợp thức hoá bài toán thành kiến thức mới của người giải toán.
Ngoài ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
Nhóm kĩ năng thực hành.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Toán.
+ Kĩ năng tính toán.
+ Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc,
vẽ hình, ...chính xác, rõ ràng.
9


+ Kĩ năng ước lượng đo đạc.

Sự hình thành kỹ năng là làm cho ho ̣c sinh nắ m vững các kiế n thức mô ̣t hê ̣ thố ng
các thao tác nhằ m biế n đổ i và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài
tâ ̣p.
Vì vâ ̣y muố n hình thành kỹ năng cho ho ̣c sinh, chủ yế u là kỹ năng ho ̣c tâ ̣p và kỹ
năng giải toán, người thầ y giáo cầ n phải:
- Giúp ho ̣c sinh hin
̀ h thành mô ̣t đương lố i chung (khái quát) để giải quyế t các đố i
tươ ̣ng, các bài tâ ̣p cùng loa ̣i.
- Xác lâ ̣p đươ ̣c mố i liên hê ̣ giữa những bài tâ ̣p khái quát và các kiế n thức tương
ứng
Ví du ̣: Khi rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán xác suấ t bằ ng quy tắ c cô ̣ng, cầ n chú ý
giúp ho ̣c sinh nhâ ̣n ra cách xác đinh
̣ biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p từ đó tiń h xác suấ t của
biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p
Chẳ ng ha ̣n:
1.Mô ̣t hô ̣p đựng 8 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấ y ngẫu nhiên 3 viên bi. Tiń h xác
suấ t để
a. Lấ y đươ ̣c 3 viên bi cùng màu.
b. Lấ y đươ ̣c 3 viên bi khác màu
c. Lấ y đươ ̣c ít nhấ t 2 viên bi xanh.
Những bài tâ ̣p da ̣ng này giúp ho ̣c sinh củng cố kỹ năng sử du ̣ng quy tắ c cô ̣ng để
tính xác suấ t của biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p. Ngoai ra còn sử du ̣ng kỹ thuâ ̣t đế m và cách
xác đinh
̣ biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p.
Vâ ̣y viê ̣c truyề n thu ̣ kiế n thức, rèn luyê ̣n kỹ năng là nhiê ̣m vu ̣ quan tro ̣ng hàng đầ u
cuả bô ̣ môn toán trong nhà trường phổ thông nói chung và chủ đề toán Tổ hơ ̣p – Xác
suấ t lớp 11 nói riêng.
1.2. Nô ̣i dung chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11
1.2.1. Vai trò về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11
Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là tăng cường

huố ng có yế u tố may rủi, những vấ n đề không thể dự đoán trước đươ ̣c chắ c chắ n xảy ra
hay không xảy ra. Lý thuyế t xác suấ t là ngành toán ho ̣c nghiên cứu tìm ra các quy luâ ̣t
chi phố i các hiê ̣n tươ ̣ng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lươ ̣ng tính

12


toán xác suấ t của mô ̣t biế n cố ngẫu nhiên. Bởi vây, lý thuyế t xác suấ t đươ ̣c sử du ̣ng
trong tấ t cả các ngành của đời số ng xã hô ̣i.
Như vâ ̣y, viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng giải bài toán về Tổ hơ ̣p – Xác suấ t là rấ t cầ n thiế t.
Cầ n rèn luyê ̣n cho ho ̣c sinh những nô ̣i dung cơ bản của những lý thuyế t naỳ để giải
những bài toán thực tiễn.
1.2.3. Mu ̣c đích – yêu cầ u của viêc̣ rèn luyêṇ kỹ năng giải bài toán Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t:
i) Phầ n kiế n thức về Tổ hơ ̣p – Xác suấ t đưa vào chương trin
̀ h lớp 11 nhằ m
cung cấ p cho ho ̣c sinh những hiể u biế t ban đầ u, cơ bản về nô ̣i dung này. Và mu ̣c
đích của viêc̣ rèn luyêṇ nô ̣i dung này là sau khi ho ̣c xong thì ho ̣c sinh đa ̣t đươ ̣c:
a) Về kiế n thức:
-

Nắ m đươ ̣c hai quy tắ c đế m cơ bản là quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân, phân biêṭ
đươ ̣c hai quy tắ c này.

-

Hiể u đươ ̣c các khái niê ̣m hoán vi,̣ chin̉ h hơ ̣p, tổ hơ ̣p. Đă ̣c biê ̣t thấ y rõ mố i liên
hê ̣ và sự khác nhau giữa tổ hơ ̣p và chin̉ h hơ ̣p. Nhớ các công thức tính số hoán
vi,̣ số chin
̉ h hơ ̣p và số tổ hơ ̣p.

̣ nghiã cổ điể n
của xác suấ t.
13


- Biế t vâ ̣n du ̣ng quy tắ c cô ̣ng và nhân xác suấ t để giải mô ̣t số bài toán xác suấ t
đơn giản.
ii) Rèn luyêṇ kỹ năng giải toán xác suấ t cầ n đa ̣t đươ ̣c những yêu cầ u sau:
1/ Giúp ho ̣c sinh hin
̀ h thành nắ m vững ma ̣ch kiế n thức cơ bản trong chương 2 Tổ hơ ̣p
– Xác suấ t, có thể kể tới các kiế n thức sau:
- Quy tắ c đế m
- Hoán vi –̣ Chin
̉ h hơ ̣p – Tổ Hơ ̣p
- Nhi ̣thức Niu-tơn
- Phép thử của biế n cố
- Xác suấ t của biế n cố
2/ Giúp ho ̣c sinh phát triể n các năng lực trí tuê ̣, cu ̣ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chiń h xác, trong đó có tư duy thuâ ̣t toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tươ ̣ng và trí tưởng tươ ̣ng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổ ng hơ ̣p, khái quát hóa.
- Các phẩ m chấ t trí tuê ̣ như tư duy đô ̣c lâ ̣p, tư duy linh hoa ̣t và sáng ta ̣o.
3/ Coi tro ̣ng viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng tính toán trong khi ho ̣c giải bài toán về Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t
Kỹ năng giải bài tâ ̣p toán, đă ̣c biê ̣t về giải toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t bao gồ m mô ̣t hê ̣
thố ng các thao tác tri tuê ̣ và thực hành để vâ ̣n du ̣ng tri thức (kiế n thức, phương pháp)
vào viê ̣c giải các bài tâ ̣p khác nhau đa ̣t đươ ̣c mô ̣t số yêu cầ u của chủ đề giải bài tâ ̣p về
Tổ hơ ̣p – Xác suấ t trong chương trình giải tích.
1.2.4. Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất
Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán này thuộc kiểu

Các dạng bài toán đế m và phương pháp giải:
Bài toán 1: Đế m số phầ n tử của hơ ̣p các tâ ̣p hơ ̣p (quy tắc cộng)

Một công việc được hoàn thành bởi 2 (hay nhiều) phương án. Nếu có m cách thực
hiện phương án 1 và n cách thực hiện phương án 2 (không trùng với m cách thực hiện
phương án 1) thì sẽ có m + n cách thực hiện công việc.
Bài toán 2: Đế m số cấ u hin
̀ h đươ ̣c xây dư ̣ng theo nhiề u bước (quy tắc nhân)

15


Một công việc được hoàn thành bởi 2 (hay nhiều) bước. Nếu có m cách thực
hiện bước 1 và n cách thực hiện bước 2 thì sẽ có m.n cách thực hiện công việc.
Bài toán 3: Đế m số cấ u hin
̀ h là hoán vị

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử này được gọi
là một hoán vị của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn và được tính bằng
công thức: Pn  n!
Bài toán 4: Đế m số cấ u hin
̀ h là tổ hợp

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách chọn ra k trong n phần tử đó được gọi là
k
một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là Cn và

được tính theo công thức: Cnk 

n!

 Thí du ̣ 1. cho tâ ̣p hơ ̣p A={1; 2; 3; 4; 5}.
Từ tâ ̣p A lâ ̣p đươ ̣c bao nhiêu số : Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó 1 xuấ t hiêṇ hai
lầ n, còn các số khác xuấ t hiêṇ đúng mô ̣t lầ n?
Lời giải.
Tâ ̣p B gồ m 6 vi ̣trí (ô)
Ta thấ y tâ ̣p A có 5 phầ n tử, còn số cầ n lâ ̣p có 6 chữ số (6 vi ̣ trí như hiǹ h vẽ trên).
Như vâ ̣y các phầ n tử của A sẽ cho ̣n các vi tri
̣ ́. Thực hiê ̣n các bước liên tiế p:
+ Đă ̣t số 5 vào 1 trong 6 ô trên: Có 6 cách.
+ Đă ̣t số 4 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 5 cách.
17


+ Đă ̣t số 3 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 4 cách.
+ Đă ̣t số 2 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 3 cách.
+ Cuố i cùng số 1 phải đă ̣t vao 2 ô cuố i cùng, tức là có mô ̣t cách đă ̣t.
Theo quy tắ c nhân có 6.5.4.3=360 (số ).
Da ̣ng 2. Phương pháp lâ ̣p bảng
 Thí du ̣ 2.
Đô ̣i thanh niên xung kić h của mô ̣t trường trung ho ̣c phổ thông có 12 ho ̣c sinh, gồ m
5 ho ̣c sinh lớp A, 4 ho ̣c sinh lớp B, 3 ho ̣c sinh lớp C. Cầ n cho ̣n 4 ho ̣c sinh đi làm
nhiê ̣m vu ̣, sao cho mỗi lớp có ít nhấ t 1 ho ̣c sinh. Hỏi có bao nhiêu cách cho ̣n như vâ ̣y?
Hướng dẫn giải:
Ta lâ ̣p bảng sau để phân chia các trường hơ ̣p có thể xảy ra:
Trường Lớp A

Lớp B

Lớp C


2

1

1

C51.C42 .C31  120

Kế t quả

Số cách cho ̣n

270

Da ̣ng 3: Phương pháp ta ̣o “vách ngăn”
Khi bài toán yêu cầ u xế p hai hoă ̣c nhiề u các phầ n tử không đứng ca ̣nh nhau.
Chúng ta có thể ta ̣o ra các “vách ngăn” các phầ n tử này trước khi xế p chúng.
 Thí du ̣ 3. Có 6 ho ̣c sinh và 2 thầ y giáo đươ ̣c xế p thành hàng ngang. Hỏi có bao
nhiêu các sắ p xế p sao cho 2 thầ y giáo không đứng ca ̣nh nhau?
Lời giải. Trước khi xế p, xế p 6 ho ̣c sinh thành mô ̣t hàng: Có 6! cách. Khi đó mỗi
ho ̣c sinh đóng vai trò là mô ̣t vách ngăn và ta ̣o nên 7 vi ̣trí để xế p 2 thầ y giáo vào đó.
2
+ Xế p 2 thầ y giáo vào 2 trong 7 vi tri
̣ ́: Có A7 cách

18


2
Theo quy tắ c nhân có tấ t cả: 6!. A7  30240 cách sắ p xế p


ii) Bài toán sử dụng công thức nhị thức Niu tơn

19


Tính hệ số trong khai triển nhị thức Niu- tơn
 Thí du ̣ 9: Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200
Giải: (2x-3y)200
= (2x+(-3y))200
k
k
k
(2 x) 200k (3x) k  C 200
2 200k x 200k (3) k y k  C 200
2 200k (3) k x 200k y k
= C 200

Ta có



200  k 101
 k  99
k 99

99 99
99 99
2 (3) 99  C 200
6



 .
n!n! (n  1)!(n  1)!
(n  1)!(n  1)!
2
(n  1)!(n  1)!

1 (2n  2)!
1
.
 .C2nn12
2 (n  1)!(n  1)! 2

Tính tổng các luỹ thừa của cùng một cơ số dạng

n


k 0

Tính tổng C nk
0
1
n
 Thí du ̣ 13: Tính các tổng A= C n  C n  ...  Cn

B= C n0  C n2  C n4  ...
C= C n1  C n3  C n5  ...
Giải:


6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)


(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

Khi đó, không gian mẫu

  (1,1); (1,2);...; (6,6)  ,   36

tiêu biể u, gơ ̣i mở cho ho ̣c sinh hướng giải và mở rô ̣ng bài toán.
1.3. Vài nét đánh giá thư ̣c tra ̣ng của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất
Với toán Tổ hợp – Xác suấ t đã được đưa vào chương trình Toán phổ thông từ
lâu và nội dung tương đối ổn định, nhưng các suy luận không hoàn toàn giống suy
luận toán học, lầ n đầ u tiên ho ̣c sinh đươ ̣c ho ̣c các quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân; các
khái niê ̣m hoán vi,̣ chin
̉ h hơ ̣p, tổ hơ ̣p. Làm quen với các khái niê ̣m phép thử, không
gian mẫu, các biế n cố liên quan đế n phép thử, các phép toán trên biế n cố , các đinh
̣
nghiã xác suấ t, các công thức tiń h xác suấ t. Do đó các em ho ̣c sinh thường gă ̣p khó
khăn và dễ mắ c sai lầ m khi giải các bài toán thuô ̣c chủ đề này
i) Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp
Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của
ngôn ngữ Toán học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định
nghĩa.
Ví dụ 1: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ
số đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cnk ”, hoặc

22


k

“Chỉnh hợp chập k của n là An ”, trong khi đó nói đúng phải là

“ Số Tổ hợp chập k

k

của n là Cnk ”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là An ”,

1;6























A  

21 phần tử. Vậy P(A) = 21 = 7
36

12

định không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (những khái niệm hợp lí
hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nó với độ chính xác thích hợp
(trong hoàn cảnh mà nó được áp dụng vào), thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả chấp
nhận được”
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy
luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề (các tiên đề) là
đúng thì kết luận ra cũng đúng. Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn
của Logic hình thức. “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi
được và dứt khoát”
Khi giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử
dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng
minh các kết quả đã thu được. Như đã nói kĩ năng này là hoàn toàn mới đối với học
sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định. ta xét ví dụ sau:
24


Ví dụ 4: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao
cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiện trong lần
gieo thứ nhất.
Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau:
Bước 1: Không gian mẫu là:    i; j  /1  i, j  6
Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”

B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10”
Bước 2: Ta tính A   5;1 ,  5;2 ,  5;3 ,  5;4  , 5;5 , 5;6 
B   4;6 ,  6;4  , 5;5 , 5;6 , 6;5 , 6;6 

Bước 3: Ta áp dụng công thức: P( B / A) 

P( B  A)