Hàm số

FB: />
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( x0 ) 0
2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số y

f ( x)

liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các

khoảng a; x 0 và x0 ; b . Khi đó
a) Nếu f '( x) 0 với mọi x

a; x0

và f '( x) 0 với mọi x

x0 ; b

thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '( x) 0 với mọi x

a; x0

và f '( x) 0 với mọi x

Lưu ý:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị
 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị
 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

2. CÁC VÍ DỤ
1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực
trị.
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x 2  2(m  1) x  3
y'

0

(m 2  1) x 2  2(m  1) x  3  0

♣ Hàm số có hai điểm cực trị
y' 0

có hai nghiệm phân biệt

m2 1
'
m


2m

4

0

1

1

m

0

1

m

2

.

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx  (m  9)x  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

m

có ba nghiệm phân biệt

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
m

0
2 m( m 2

'
m2

9

9)

m

0

0

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

0

m
0



1.

Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x 0

y '( x0 )

0

Giá trị của

tham số m.
b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại. Khi thử lại có thể
dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
2. VÍ DỤ
1
3

Ví dụ . Cho hàm số y  x 3   m 2  m  2  x 2  (3m 2  1) x  m  5 .
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

.

b) Điều kiện đủ:
♣ Với m 1 , ta có: y ' x 2 4 x 4 , y ' 0

x

2

Bảng biến thiên
x

2

y'

0

y

Từ BBT ta suy ra m 1 không thỏa.
♣ Với m 3 , ta có: y ' x 2 16 x 28 , y ' 0

x

14

x

2

Bảng biến thiên



Hàm số

FB: />
Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  (2m  1)x 2  (2  m)x  2 .
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành
độ dương.
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  2(2m  1) x  2  m
y'

3x 2  2(2m  1) x  2  m  0

0

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ
dương
'
y'

0



1
2

m

5
4

5
4

m

(2m 1) 2

3(2 m)

0

2 m
0
3
2(2m 1)
0
3

2

2 .

(1)

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2
y'

0

có hai nghiệm phân biệt

m2

'

13m2

4

4(3m 2

0

1)

0

2 13
13

m


x2

x1 x2
m

0

m

2
3

m
1 3m2

(**)

2
.
3

1
3

Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm
cực trị x1 và x2 sao cho x1 2 x2 1 .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  mx 2  2(m  1) x  3(m  2)
y'


6
2

m

2

6

(*)

2

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:
x1
x1 x2

x2

2(m 1)
m
3(m 2)
m

Theo đề bài : x1 2 x2 1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(2)


2

16m

8

0

2
3
2

m
m

2
3

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

(**)

và m 2 .

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x 3  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Cho điểm A(2;3) . Tìm
m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  3m

2 m3

1

Tọa độ các điểm cực trị B và C là B
♦ Tam giác ABC cân tại A
2

2

m

2 2 m

3

AB

2

m

0

AB 2

AC

2


8 m

3

0

m

0

m

1
2

(**)

1
.
2

Ví dụ 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ
thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời các điểm A, B, C tạo thành một tam
giác vuông.
Bài giải
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ



♣ Với x 0
♣ Với x

y
m

2m

m4
m4

y

m

m2

2m

Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là
A 0; 2m

Suy ra: AB

m4 ; B

m ; m 2 ; AC

♦ Tam giác ABC vuông



1

(**)

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m 1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1
3

1
2

Câu 1. Tìm cực trị của của hàm số y  x3  x 2  2 x  2 .

Cách 1.
* Tập xác định:R.
 x  1
.
x  2

Cách 2.
* Tập xác định:.
 x  1
.
x

2


Ta có: y '  x 2  x  2; y '  0  
*

y ''  2 x  1, y ''  1  3  0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 và giá trị cực đại

yCĐ  y  1  19
6

*

y ''  2   3  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu .

Câu 2. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  6
Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  6
* Tập xác định:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ



Hàm số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x  0 và giá tri ̣ cực đa ̣i y  6 ; đa ̣t cực tiể u ta ̣i x  2 và giá tri ̣ cực
tiể u y  2 .
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là M  0; 6  , điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
N  2; 2 
Câu 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số y  2 x 4  4 x 2  1 .

TXĐ: D 
y '  8 x 3 -8x  8 x ( x 2 -1) x  D
x  0
y'  0  
 x  1

Bảng xét dấu của y’:
x -
+
y’ +

-1

0

0

+

0

1
-


Câu 5. Cho hàm số

y  x  3mx  3(m  1) x  m  m
3

2

2

3

(1). Tìm m để hàm số (1) có

cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.

Ta có

y  3x 2  6mx  3(m2  1)

Hàm số (1) có cực trị thì PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt
 x2  2mx  m2  1  0 có 2 nhiệm phân biệt    1  0, m

Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) và điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)
 m  3  2 2

Ta có OA  2OB  m2  6m  1  0  

 m  3  2 2



  '  (m  1) 2  3  0
 m  1  3

(1)
 m  1  3

Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  3.
x1  x2  2   x1  x2   4 x1 x2  4
2

 4  m  1  12  4
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
 (m  1)  4
2

 m  3

m  1

(2)

y’ = 0  

2
 x   m  1

 hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m

xCT   m2  1  giá trị cực tiểu yCT  (m2  1)2  1
Vì (m 2  1) 2  1  yCT  0 max( yCT )  0  m2  1  1  m  0

Câu 10. Cho hàm số y   x3  3mx  1
cực trị A, B sao cho tam giác

OAB

(1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm

vuông tại

O

( với

O

là gốc tọa độ ).

y '  3x 2  3m  3  x 2  m 
y '  0  x 2  m  0  *


3x 2

1 1

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d : y

1 với đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm

2x

M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại
M.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d : y  2 x  1 và đồ thị (C) là:
2 x 3  3 x 2  1  2 x  1  2 x 3  3 x 2  2 x  0 (*)
Giải phương trình (*) ta được ba nghiệm phân biệt x1  0, x 2  2, x 3  
 1







1
2

Vậy d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B(2;5),C   ; 0 
2
M  d : y  2x  1  M (t;2t  1) ,


x  m

 m  0 (*)

Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị. Gọi ba điểm cực trị là:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
4

4

vuông cân, thì đỉnh sẽ là A.
Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên
để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC.
 AB   m; m4  ; AC   m; m 4  ; BC   2m;0 

Tam giác ABC vuông khi: BC 2  AB 2  AC 2  4m2  m2  m8   m2  m8 
 2m2  m4  1  0;  m4  1  m  1

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14. Cho hàm số y  x4  2m2 x2  1 (1).Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 32 (đơn vị diện tích).
x  0

x đi qua các nghiệm đó  m  0
 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:



 

A  0; m  1 , B  m ; m 2  m  1 , C



m ; m 2  m  1

1
yB  y A . xC  xB  m2 m ; AB  AC  m4  m , BC  2 m
2
m  1
m4  m 2 m
AB. AC.BC
3
R
1
 1  m  2m  1  0  
2
m  5  1
4S ABC
4m m

2



5
+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 

y


2
x

2

y  2

5

Câu 17. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x  2 (1).
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1  và vuông góc với đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của (C).
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1  và vuông góc với đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của (C).
Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4
Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½
1
2

Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là y  x 

3
2

là giá trị cần tìm.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Câu 19. Cho hàm số y   x  (2m  1) x  (m  3m  2) x  4 (m là tham số) có đồ thị là
3

2

2

(Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục
tung.

y  3x 2  2(2m  1) x  (m2  3m  2) .

(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung  PT y  0 có 2 nghiệm
trái dấu  3(m2  3m  2)  0  1  m  2
Câu 20. Cho hàm số y  x3  3mx2  4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m
để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

x  0

Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0  