ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------  ------

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
DẠNG RUNGE - KUTTA
GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------  ------

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG
DẠNG RUNGE - KUTTA
GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG
Chuyên ngành:

Toán học tính toán

Mã số:

Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo môi trường học
tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án này. Tại
đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường
nghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình
nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả.
Tác giả xin gửi lời cám ơn tới các thày cô trong khoa Toán-Cơ-Tin
học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học
Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ
nhiệm khoa Toán-Tin và Bộ môn Toán ứng dụng trường Đại học Sư
phạm Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả
học tập, công tác và hoàn thành luận án này.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được
sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS.TSKH
Vũ Hoàng Linh,... Tác giả xin chân thành cảm ơn các Giáo sư về sự giúp
đỡ quý báu này.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ,
anh chị em hai bên nội ngoại, cùng chồng và bạn bè đã góp ý và động
viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả


1

MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

Tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta . . .

15

1.2

Các phương pháp Runge-Kutta hiển . . . . . . . . . . .

16

1.3

Các phương pháp Runge-Kutta ẩn . . . . . . . . . . . .

18

1.4

Phương pháp Runge-Kutta lặp song song (PIRK) . . . .

21

1.4.1

Nội dung phương pháp PIRK . . . . . . . . . . .

23



1.5.2

Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 8- mã
DOPRI853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Phương pháp ngoại suy- mã ODEX . . . . . . . . .

31

Ba bài toán thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.5.3
1.6

27

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DẠNG RUNGEKUTTA HAI BƯỚC MỘT DỰA TRÊN CÁC ĐIỂM TRÙNG KHỚP


2

GAUSS-LEGENDRE

2.1


52

2.2.2

Sự hội tụ của quá trình lặp . . . . . . . . . . . .

54

2.2.3

Miền ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.2.4

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.5

So sánh với các phương pháp song song . . . . . .

59

2.2.6

So sánh với các mã tuần tự . . . . . . . . . . . .


Phương pháp PIPTRK với chiến lược điều khiển bước lưới 73
3.2.1

Điều kiện bậc cho công thức dự báo . . . . . . . .

75

3.2.2

Sự hội tụ của quá trình lặp . . . . . . . . . . . .

77

3.2.3

Điều khiển bước lưới . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.3.1

Xác lập phương pháp PIPTRKSC . . . . . . . . .

79

3.3.2

4.1.1

Điều kiện bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.1.2

Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Các thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2.1

Chọn phương pháp EPThRK . . . . . . . . . . .

98

4.2.2

So sánh với các mã song song . . . . . . . . . . . 100

4.2.3

So sánh với các mã tuần tự . . . . . . . . . . . . 102


ảo của số phức z.
• σ(A) là phổ của ma trận A.
• ρ(A) là bán kính phổ của ma trận A.
2. Lũy thừa của một véc tơ. Giả sử c = (c1 , c2 , . . . , cs )T , khi đó
ck = (ck1 , ck2 , . . . , cks )T
3. Toán tử exp(

d
)
dx

d
d
d2
dn
exp( ) = 1 +
+
+ ··· +
+ ...
dx
dx 2!dx
n!dxn
4. Kí hiệu véc tơ e. Véc tơ e luôn hiểu là véc tơ có tất cả các thành
phần bằng 1.
5. Véc tơ hàm. Giả sử f (x, y) là hàm thực của hai biến x, y. Nếu
thay x và y tương ứng bởi hai véc tơ v = (v1 , v2 , . . . , vs )T và w =
(w1 , w2 , . . . , ws )T thì ta được véc tơ hàm với s thành phần:
f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), . . . , f (vs , ws )]T .
Nếu x ∈ R, còn y thay bởi w = (w1 , w2 , . . . , ws )T thì ta có:
f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), . . . , f (x, ws )]T .


PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with
step size control
Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước với
chiến lược điều khiển bước lưới.
PTRK

Pseudo two-step RK methods
Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước

TBTIRKG

Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-Legendre
collocations points
Phương pháp dạng Runge-Kutta ẩn hai bước một dựa trên
các điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTRKG

Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods
based on Gauss-Legendre collocation points
Phương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước một
dựa trên điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC
methods based on Gauss-Legendre collocation points


6


112
[10] J.C. Butcher (1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta
Integration Processes", J. of the Australian Math. Soc., 3, pp.185201.
[11] J.C. Butcher (1964), "Implicit Runge-Kutta processes", Math.
Comp. 18, pp.50-64.
[12] J.C. Butcher (1964), "Integration processes based on Radau quadrature formulas", Math. Comp. 18, pp.233-244.
[13] J.C. Butcher (1964), "On Runge-Kutta processes of high order", J.
of the Australian Math. Soc. 4, pp.179-194.
[14] J.C. Butcher (1964), "On the attainable order of Runge-Kutta
methods", Math. Comp. 19, pp.408-417.
[15] J.C. Butcher (1985), "The non-existence of ten stage eighth order
explicit Runge-Kutta methods", BIT 27, pp.521-540.
[16] J.C. Butcher (1977), "A-stable implicit Runge-Kutta methods",
BIT 17, pp.375-378.
[17] J.C. Butcher (1987), The Numerial Analysys of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley,
New York.
[18] N.H. Cong (1994), "Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta
methods for nonstiff initial-value problems", J. Comput. Appl.
Math. 51, pp.117-125.
[19] N.H. Cong (1999), "Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods
for parallel computers", Int. J. Comput. Math. 73, pp.77-91.
[20] N.H. Cong (1999), "Continuous variable stepsize explicit pseudo
two-step RK methods", J. Comput. Appl. Math. 101, pp.105-116.


113
[21] N.H. Cong and T. Mitsui (1996), "Collocation-based two-step
Runge-Kutta methods", Japan J. Indust. Appl. Math. 13, pp.171183.
[22] N.H. Cong and T. Mitsui (1997), "A class of explicit parallel twostep Runge-Kutta methods", Japan J. Indust. Appl. Math. 14,
pp.303-313.

Systems, The Initial Value Problems, John Wiley & Sons.
[59] B.P. Sommeijer, W. Couzy and P.J. van der Houwen (1992), "Astable parallel block methods for ordinary and integro-differential
equations", Appl. Numer. Math. 9, pp.267-281.
[60] O. Widlund (1967), "A note on unconditionally stable linear multistep methods", BIT 7, pp.65-70.
[61] M.T. Chu and H. Hamilton (1987), "Parallel solution of ODEs by
multi-block methods", SIAM J. Sci. Statist. Comput. 3, pp.342-353.
[62] R. Weiner, G.Yu. Kulikov and H. Podhaisky (2012), "Variablestepsize doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with
global error control", Appl. Numer. Math. 62, pp.1591-1603.