VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017

Ngày 28 tháng 8 năm 2016

Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3) 4x  21x y  y
4

1) 5 x3 + 15x2 +10x
2
2) 9x  90x  225   x  7 

2

2

4

4) 4  x  5  x  6  x  10  x  12   3x 2

2

Câu 2. (6 điểm)
1

Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm
của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của
tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung
điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA,
CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng
song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng
AB = CK.
----------- Hết -----------


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Câu
1
(4,0)

Hướng dẫn giải
1) 5 x 3  15x 2  10x  5x(x 2  3x  2)  5x(x  1)(x  2)
9x 2  90x  225   x  7   9(x  5) 2   x  7   (3x  15  x  7)(3x  15  x  7)
2

2

Điểm

2

2 3
2016
 3  ....  2016
2
2 2
2

1,5đ

k k 1 k  2

 k với mọi k nguyên dương.
2k 2k 1
2

+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:
k=1 thì

1 2 3
 
2 1 21

k=2 thì

2
3 4
 1 3
2

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có
P

1 2 3
2016
2018
1009
 2  3  ....  2016  2  2016  2  2015
2 2 2
2
2
2

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị bé nhất của
biểu thức P  x 6  y6 .

1,5đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
P  x 6  y 6  (x 2  y 2 )(x 4  x 2 y 2  y 4 )  1.(x 4  x 2 y 2  y 4 )
 (x 2  y 2 ) 2  3x 2 y 2  1  3x 2 y 2  1  3x 2 (1  x 2 )
2

1
1
 3x 4  3x 2  1  3  x 2    
2  12 

2

1
1
 (x; y)  ( ;
);( ;  );( ;
);( ;  )
4
2 2
2
2
2 2
2
2

3) Tìm x nếu : (x 2  4x  1)3  (x 2  x  1)3  (3x  2)3

1,5đ

 x 2  4x  1  a
 3x  2  b  a ta được:
Đặt  2
 x  x 1  b
a 3  b3  (b  a)3  a 3  b3  b3  3a 2 b  3ab 2  a 3
 3a 2 b  3ab 2  0  3ab(a  b)  0

x  2  3
 x  4x  1  0
a  0

1 5


2

2

 1  x 2  x 2 y 2  y 2  4xy  2  x  y 1  xy 

điểm) 1)  (x 2  y 2  2xy)  (1  x 2 y 2  2xy)  2 x  y 1  xy



  x  y   1  xy   2  x  y 1  xy 
2

  x  y  1  xy 

2

2

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Là số chính phương với mọi x và y nguyên.
2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x)  (x  a)(x  4)  7 phân

2đ

tích thành thừa số được f (x)  (x  b)(x  c) .

trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa
GA và GD. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

1)Tứ giác MNIK là hình bình hành
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành
 MN // = AB

2đ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

+) Giải thích IK//= AB
Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau.

2đ

+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC.
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA)
GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành
 AI= IG= GM
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF
Câu
5: (2

Câu 5: (2 điểm)