Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

PH

NG TRÌNH

Hình h c t a đ Oxyz

NG TH NG

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Ph

ng trình đ

ng th ng thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1: Cho  ABC, bi t A = (1, 2, 5) và ph

ng trình hai trung tuy n là:

và (CP ) :




2
4
2
1
1
1

• Chuy n ph

ng trình (BN) và (CP) v d ng tham s , ta đ

c:

 x  2t  3
x  u  4


( BN ) :  y  2t  6 , t  R và (CP ) :  y  4u  2, u  R .
z  t 1
z  u  2


Khi đó t a đ B = (-2t + 3,2t + 6,t + 1);C = (u + 4,-4u + 2,u + 2) và tr ng tâm G  ( BN)  (CP ) có
t a đ G = (3, 6, 1) suy ra: GA  (2, 4, 4), GB  (2t, 2t, t ); GC  (u  1, 4u  4, u  1) .
• Xét  ABC ta có:

( AC ) :

b. Vi t ph

x 1 y  2 z  5
x  7 y  2 z 1
& ( BC )




0
2
2
0
1
1

ng trình chính t c c a đ

G i I là chân đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng phân giác trong c a góc A.

ng phân giác trong góc A lên c nh BC, ta có:
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12


10  5


zB  kzC
 1
z 

k
1

 30

12 10
 AI  
,
, 6  ch n a 
 10  5 10  5


Ph

ng trình đ

ng phân giác (AI) đ



5, 2 2, 2  5



1
2
1
ng th ng d và m t ph ng (P). Vi t ph ng trình tham

ng th ng d:

ng th ng  n m trong m t ph ng (P), bi t  đi qua A và vuông góc v i d.
Gi i:

- Ph

x  1 t

ng trình tham s c a d :  y  3  2t (t  R)
z  3  t


Vì A d  A(1  t; 3  2t;3  t )
Ta có A ( P )  2(1  t )  (3  2t )  2(3  t )  9  0  t  1
V y A(0; -4; 1)
M t ph ng (P) có vect pháp tuy n n  (2;1; 2)
ng th ng d có vect ch ph

ng u  (1; 2;1)

Vì   ( P ) và   d nên  có vect ch ph

Ph




Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

a. Ch ng minh r ng d1 và d2 chéo nhau.
b. Vi t ph

ng trình đ

ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P): 7 x  y  4 z  0 và c t hai đ

ng th ng

d1, d2.
Gi i:
a. Ch ng minh d1; d2 chéo nhau:
ng u1  (2; 1;1) ,

+) d1 qua M(0; 1; -2) có vect ch ph
d2 qua N(-1; 1; 3), có vect ch ph

ng u2  (2;1;0)

+) u1 , u2   (1;2;4) và MN  (1;0;5)
+) u1 , u2  .MN  (1;2;4).(1;0;5)  21  0  d1 và d2 chéo nhau.
b. Vi t ph



Bài 4: Cho đ

ng th ng d là:

x  2 y z 1
 
7
1
4

ng th ng (d) và m t ph ng (P) có ph
(d ) :

ng trình:

x  2 y  1 z 1


(P ) : 2x  y  z  8  0
2
3
3

a. Tìm giao đi m A c a (d) và (P).
b. Vi t ph

ng trình đ

ng th ng (  ) là hình chi u vuông góc c a (d) lên mp(P)


2(2t  2)  (3t  1)  (5t  1)  8  0  t 

Thay t 

1
vào ph
3

1
3

ng trình tham s c a (d), ta đ

b. G i a , n theo th t là m t vect ch ph

Hình h c t a đ Oxyz

8 8
c A ;0;  .
3 3

ng c a (d) và vect pháp tuy n c a mp(P), ta có:

a  (2;3;5), n  (2;1;1)  a , n không cùng ph

ng.

V y (d) không vuông góc v i mp(P)
L y A(2,-1,1)  d

ng th ng đi qua 2 đi m A, B

 2 1 3 
AB   ;  ;  / /(2; 1; 6)
3 3 3 

V y ph

8 2

x  3  3 t

ng trình (  ) là:  y  t

8
 z   6t
3


Bài 5: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho đ
:

Vi t ph

ng th ng:

x 2 y 2 z
và m t ph ng (P): x  2 y  3z  4  0 .




1  I (3;1;1)
1
 1
 x  2 y  3z  4  0
Vect pháp tuy n c a (P), n  (1; 2; 3) ; vect ch ph

ng v  n, u   (1; 2; 1)

ng th ng d c n tìm qua I và có vect ch ph

Ph

ng c a  : u  (1;1; 1)

 x  3  t

ng trình d:  y  1  2t
z  1 t


Bài 6. Trong không gian Oxyz cho đi m A1;1; 2 , đ
( P ) : x  y  z 1  0 . Vi t ph

ng trình đ

ng th ng  d  :

x  1 y 1 z  2
và m t ph ng

 d1  :

ng th ng:

x y2 z 4
x  8 y  6 z  10
; M   d1  , N  (d2 ) sao cho MN / /Ox
;  d2  :




1
2
2
1
1
1

Vi t ph

ng trình đ

ng th ng n i M , N
Gi i

Ph

ng trình (d1 ),(d2 ) d


- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

 x  18  t

ng trình MN là:  y  16
 z  32


=>ph

Bài 8. Trong không gian cho đi m I 1; 2;3 , m t ph ng ( P ) : x  y  z  0 và đ
(d ) :

Vi t ph

ng th ng

x  1 y 1 z  2


2
1
3



Vi t ph

x  1 t

ng th ng (d ) :  y  1  t , t  R và m t ph ng  P  : x  2 y  2 z  4  0
 z  1  2t


ng th ng (d ') đ i x ng v i (d ) qua m t ph ng  P  .

ng trình đ

Gi i
Cách làm: l y 2 đi m A, B thu c (d) tìm 2 đi m A’, B’ là đ i x ng c a A, B qua m t ph ng (P)
=>Ph
(d ') :

ng trình đ

x  2 y  2 z 1


19
11
2

Bài 10: Cho hai đ
Vi t ph


T ng đài t v n: 1900 58-58-12

t t i đi m

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Do đ

Hình h c t a đ Oxyz

ng th ng d đi qua M(3;10;1)=> MA  kMB

MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b 
3a  1  kb
3a  kb  1
a  1



 a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  2
4  2a  kb
2a  kb  4
b  1




 x  1  3t

=> B(-1;0;3)=> Ptđth ng   AB :  y  2t
z  3  t

Bài 12: Trong không gian h t a đ Oxyz, cho ba m t ph ng (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 =
z
x 2
y 1
0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đ ng th ng 1 :
=
= . G i  2 là giao tuy n c a (P) và (Q).
3
2
1
Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng 1 ,  2 .
Gi i
* 1 có ph

 x  2  2t

ng trình tham s  y  1  t
 z  3t


x  2  s

 2 :  y  5  3s
z  s




Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

1 1 23
+ d đi qua A( ; ; ) và có vtcp n  (1; 2; 3)
12 12 8
=> d có ph

ng trình

Bài 13: Vi t ph

23
1
1
z
y
8
12 
12 
1
2
3

x



 t  t ' 1
3t  5t ' 2  0
 M  2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN  1; 2; 4 
 PT MN :

x  2 y z 1
 
2
4
1

Bài 14. Trong không gian v i h to đ Oxyz, vi t ph

ng trình hình chi u vuông góc c a đ

ng th ng

 x  2z  0
trên m t ph ng P : x  2y  z  5  0 .
d :
3x  2 y  z  3  0

Gi i
 x  4t

3
PTTS c a d:  y    7t . M t ph ng (P) có VTPT n  (1; 2;1) .
2



 x  4  16t

11
ng trình c a :  y   13t .
2


 10t
2
z

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

x 1 y  2 z  2
và m t ph ng (P):


3
2
2
ng th ng  song song v i m t ph ng (P), đi qua M(2; 2; 4) và

ng th ng d :

6

ng th ng chéo nhau (d1) và (d2) có d ng:

x  1
 x  3u


d1 :  y  4  2t và d 2 :  y  3  2u
z  3  t
 z  2


a. Tính kho ng cách gi a d1 và d2.
b. Vi t ph

ng trình đ

ng vuông góc chung c a d1 và d2.
Gi i

G i a1 ; a 2 theo th t là vect ch ph

ng c a d1 và d2, ta có: a1 (0;2;1); a 2 (3;2;0) .

G i AB là đo n vuông góc chung c a d1 và d2 ( A d1; B  d2 ). Khi đó, t a đ c a A, B theo th t
th a mãn ph

ng trình tham s c a d1 và d2, t c là:


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình AB, cho b i:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

 x  1  2t
qua A(1; 2; 4)

 AB :  y  2  3t
AB : 
vtcp AB(2;3;6)
 z  4  6t

Bài 17: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho đi m A(1; 2; 3) và hai đ
x 2

2
x 1
d2 :


ng th ng d1 có ph

ng trình là:

2( x 1)  ( y  2)  ( z  3)  0  2 x  y  z  3  0 .

T a đ giao đi m H c a d1 và (P) là nghi m c a h :

x  0
x 2 y 2 z3




1
1   y  1  H (0; 1; 2)
 2
2 x  y  z  3  0
z  2

Vì A’ đ i x ng v i A qua d1 nên H là trung đi m c a AA’  A'  (1; 4;1)
b. Vi t ph

ng trình đ

ng th ng  .

Vì  đi qua A, vuông góc v i d1 và c t d2 nên  đi qua giao đi m B c a d2 và (P).
T a đ giao đi m B c a d2 và (P) là nghi m c a h :

ng trình:

x  3 y 1 z 1
x7 y3 z9
, d:




2
3
1
2
7
1

ng trình đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng th ng d1 đ i x ng v i d qua  .
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)


ng vuông góc HA(3; 1; 1)

T đó suy ra t a đ A1 đ i x ng v i A qua 
A1(-1; -1; -7)
• Xác đ nh HB và B1 là đi m đ i x ng v i B qua  .
T

 72 37 40 
ng t d dàng tìm ra H B  ; ; 
 31 31 31 
 42 43 230 
 B1   ; ; 

31 
 31 31

• Ph

ng trình đ

ng th ng d1 đ

c cho b i:

qua A1 (1; 1; 7)
x 1 y 1 z  7

 d1 :


- Trang | 11 -