Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

PH

Hình h c t a đ Oxyz

NG TRÌNH M T PH NG

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Ph

ng trình m t ph ng thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1: Trong không gian h t a đ Oxyz cho hai đi m A = (1, 2, 3); B = (3, 4, -1).
a. Vi t ph
b. Vi t ph
c. Vi t ph

ng trình m t ph ng (P) là m t ph ng trung tr c c a AB.
ng trình m t ph ng (Q) qua A, vuông góc v i (P) và vuông góc v i mp(yOz).

 (Q) : 
(Q) : 
vtpt nQ   n1 , AB  (0, 4, 2) / /(0, 2.  1)

hai vtcp n1  (1, 0, 0) & AB  (2, 2, 4)


V y ph

ng trình t ng quát c a mp(Q) là: 2y – z – 1 = 0.

c. Ta có:
M t ph ng (R) qua A và song song v i (P)  (R) nh n AB làm vect pháp tuy n.
V y ph

ng trình m t ph ng (R) qua A(1, 2, 3) là:

( R) : 2( x 1)  2( y  2)  4( z  3)  0  ( R) : x  y  2 z  6  0
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)


cách t (D) đ n (P).

ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B sao cho kho ng cách t C đ n (P) b ng kho ng

Gi i:
M t ph ng (P) th a mãn yêu c u bài toán trong hai tr
Tr

ng h p sau:

ng h p 1: (P) qua A, B và song song v i CD.

Vect pháp tuy n c a (P): n   AB, CD 
AB  (3; 1;2), CD  (2;4;0)  n  (8; 4; 14).

Ph

ng trình (P): 4 x  2 y  7 z  15  0 .

Tr

ng h p 2: (P) qua A , B và c t CD. Suy ra (P) c t CD t i trung đi m I c a CD.

I(1; 1; 1)  AI  (0; 1;0) ; vect pháp tuy n c a (P): n   AB, AI   (2;0;3).
Ph

ng trình (P): 2 x  3z  5  0

V y (P): 4 x  2 y  7 z  15  0 ho c (P): 2 x  3z  5  0 .
Bài 4: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho các đi m A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và m t ph ng

 z  2t


ng th ng AB  D(2  t;1  t;2t )  CD  (1  t; t;2t )

Vect pháp tuy n c a m t ph ng (P): n  (1;1;1) .
C không thu c m t ph ng (P).
1
5 1

CD // (P)  n.CD  0  1.(1  t )  1.t  1.2t  0  t   . V y D  ; ; 1 .
2
2 2


Bài 5: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho ba đi m A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1).
a. Vi t ph ng trình m t ph ng đi qua ba đi m A, B, C.
b. Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng: 2 x  2 y  z  3  0 sao cho MA = MB = MC.
Gi i:
a. Vi t ph

ng trình m t ph ng đi qua ba đi m A, B, C.

Ta có: AB  (2; 3; 1), AC  (2; 1; 1) , tích có h

ng c a hai vect

AB, AC là n   AB, AC   (2;4; 8).
M t ph ng đi qua ba đi m A, B, C nh n n làm vect pháp tuy n nên có ph




Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Hình h c t a đ Oxyz

Gi i
(Q) đi qua A, B và vuông góc v i (P)  (Q) có VTPT n  nP , AB   (0; 8; 12)  0
 (Q) : 2y  3z  11  0 .

Bài 7. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, vi t ph
A(2;1;3), B(1; 2;1) và song song v i đ

ng trình m t ph ng (P) đi qua hai đi m

 x  1  t

ng th ng d :  y  2t
.

 z  3  2t

Gi i
Ta có BA  (1;3;2) , d có VTCP u  (1;2; 2) .

G i n là VTPT c a (P)  n  BA  ch n n   BA, u   (10;4; 1)
n  u

 Ph

=> (P) qua A, B và có VTPT là n   AB, u d1  
=> (P): x + y – 5z +10 = 0
Bài 9: Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M( ;- ; ) và hai đ
(d ) :

ng th ng

x y 1 z
x y 1 z  4
và (d ') : 



2
3
1
1
2
5

Ch ng minh: đi m M, (d), (d ) cùng n m trên m t m t ph ng. Vi t ph

ng trình m t ph ng đó.

Gi i:
*(d) đi qua M1 (0; 1;0) và có vtcp u1  (1; 2; 3)
(d ) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2  (1; 2;5)
*Ta có u1; u 2   (4; 8; 4)  O , M1M 2  (0;2;4)
Xét u1; u 2  .M1M 2  16  14  0
Hocmai.vn – Ngôi tr





Mp(P) ch a tr c Oz nên có d ng Ax + By = 0,  n p  ( A ; B ; 0) và nQ  (2 ; 1 ; 5 ) .


2 A B



Theo gt: cos(n p , nQ )  cos 60 0 

A2  B2 . 4  1  5



1
 2 2 A  B  10. A2  B2
2

 6 A2  16 AB  6B2  0

Ch n B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3
V y có hai m t ph ng (P) c n tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0.
Bài 11: Trong không gian h t a đ Oxyz , cho đi m A( ; ; 3) và đ

ng th ng d có ph

ng trình:


+) M  d  M  t; t;1  2t 
+) MOA cân t i đ nh O  OM  OA và M, O, A không th ng hàng.
5
OM  OA  t 2  t 2  (2t  1)2  11  t  1 ho c t   .
3

+) V i t = 1 ta có: M(1; -1; 3)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

+) V i t  

Hình h c t a đ Oxyz

5
 5 5 7
ta có: M   ; ;   .
3
 3 3 3




ng th ng 1 :
1
2
2

 x  1  t

và  2 : y  2  2 t
 z  2 t


ng trình m t ph ng (P) qua 1 và cách  2 m t kho ng l n nh t.
Gi i:

- D th y 1 / /  2 , do v y, kho ng cách t 1 t i (P) b ng kho ng cách t m t đi m b t kì c a 1 t i (P).
L y A(-4; -1; 3)  1 , bài toán tr v : " Xác đ nh m t ph ng (P) qua 1 và cách A m t kho ng l n nh t."
- Ta xác đ nh hình chi u H c a A trên  2 , d có H(0; 0; 2).

 m t ph ng (P) có véct pháp tuy n AH =( 4; 1; -1)
V y (P) qua H và có vtpt AH có ph

ng trình: 4x + y - z + 2 = 0

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n
Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t