hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

!
!

Bạn muốn đọc nhanh
những thông tin cần thiết ?
Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi
đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào
mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó
!
!

Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ
trang báo cáo trên màn hình ?
Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th
thưước
có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to
! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th
thưước
muốn,, Nhấn OK
hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn

Chúc bạn hài lòng
với những thông tin đđưược cung cấp

khóa luận.
Đồng Hới, ngày 20 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Hoàng Thị Mĩ Lệ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 3
PHẦN GIỚI HẠN ................................................................................................. 6
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .............................................................. 6
1.1

Các kiến thức cơ bản về dãy số ..................................................................... 6

1.1.1

Dãy số ........................................................................................................ 6

1.1.2

Dãy số bị chặn ........................................................................................... 6

1.1.3

Dãy số đơn điệu ......................................................................................... 6

1.1.4

Dãy con...................................................................................................... 7


2.1.1

Hàm số ..................................................................................................... 17

2.1.2

Đồ thị của hàm số .................................................................................... 17

2.1.3

Hàm số chẵn, hàm số lẻ ........................................................................... 17

2.1.4

Hàm số bị chặn ........................................................................................ 17

2.1.5

Hàm số đơn điệu ...................................................................................... 18

2.1.6

Giới hạn của hàm số................................................................................. 18

2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm ............................................................ 18
2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực ............................................................... 18
2.2

Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số .................................................... 19
1

1.3.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần ..................................................... 33
2. Tích phân .......................................................................................................... 33
2.1 Định nghĩa ....................................................................................................... 33
2.2 Tính chất ......................................................................................................... 33
2.3 Một số phương pháp tính tích phân ................................................................. 34
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ......................................................... 35
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 48

2


MỞ ĐẦU
Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu
về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo
dục đại học hiện nay.
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn
của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét
giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một
cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn
là tính chất "tĩnh" như trong đại số.
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài
toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết
lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là
"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp.
Giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích. Có thể nói: Không có
giới hạn thì không có giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan
đến giới hạn.
Trong Toán học, khái niệm "giới hạn" được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm

Toán trung học phổ thông”.
Mục đích của đề tài là nêu các định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp
tính giới hạn, nguyên hàm và tích phân. Sau đó là cách nhận diện, phân dạng các
bài tập.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được chia thành hai
phần lớn đó là phần Giới hạn và phần Nguyên hàm - Tích phân.

4


Trong phần Giới hạn gồm có ba chương, chương 1 giới thiệu một số bài toán
về giới hạn dãy số, chương 2 giới thiệu một số bài toán về giới hạn hàm số và
chương 3 giới thiệu các bài toán về tính liên tục của hàm số.
Trong phần Nguyên hàm - Tích phân giới thiệu các quy tắc, phương pháp và
bài tập tính nguyên hàm, tích phân.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản
thân còn khiêm tốn nên tồn tại nhiều thiếu sót trong khóa luận là điều khó tránh
khỏi. Tôi rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý chân thành của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để đề tài được hoàn thiện, có hiệu quả và có thể ứng dụng trong
giảng dạy phổ thông sau này.

5


PHẦN GIỚI HẠN
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của dãy số.
1.1 Các kiến thức cơ bản về dãy số
1.1.1 Dãy số

 Dãy un  gọi là giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu:

un  un 1, n 
( un  un 1, n  ).
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
1.1.4 Dãy con

nk 1  nk
Cho các dãy un  và 
 k 
nk 

 thì dãy un  gọi là dãy con của un .
k

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:
 nk  k , k  .
 Mọi dãy đều là một dãy con của chính nó.
 Mọi dãy con của một dãy bị chặn thì bị chặn.
 Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là dãy đơn điệu.
1.1.5 Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy un  được gọi là hội tụ đến a ( hay có giới hạn a ) nếu lim  un  a   0
Kí hiệu : lim un  a hay un  a .
n 

Dãy số có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không có giới hạn gọi là dãy phân kì.
1.2 Các định lí
Định lí 1: Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Định lí 2: Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lí 3: Dãy un  hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có

n
n

n

1.3 Các nguyên lí
1.3.1 Nguyên lí Weiestrass
a. Nếu dãy un  tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim un  Supun .
n 

n

b. Nếu dãy un  giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và lim un  inf un .
n 

n

1.3.2 Nguyên lí Bolzano – Weiestrass
Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ.
Chứng minh:

  đơn điệu (theo Định lí 4).

Gọi un  là dãy bị chặn. Hơn nữa, tồn tại dãy con unk

 

Do đó theo nguyên lí Weiestrass dãy unk hội tụ.
1.3.3 Nguyên lí Cauchy
Dãy un  được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu


n  1.

p  0
n
c. Nếu 
thì lim
 0.
n  1  p n
 
d. Nếu q  1

thì lim q n  0 .
n 

9


BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tìm giới hạn

2n  1 
1 3 5
a. lim un với un    2  3  ...  n 
n 
2 
2 2 2
Xét

2n  1 


2 1   3 2 
 n 1 n  2 
Lại xét vn    2    2  3   ...   n 2  n 1 
2 
2 2  2 2 
2
2 2
2
n2


...


22 23
2n  2 2n 1
1  n2
1 1
 1    2  ...  n 3   n 1
2  2
2 2
1  n2

 1  1  n 3   n 1
 2  2

1

Vậy un  3 


10

n2
1
 lim n
n

1
n  2
n  2

 lim


n

b. lim un với un  2.4 2.8 2...2 2
n 

Xét un

1
1
1 1
2
3
n
 2 2.2 2 .2 2 ...2 2


n

n

 lim (n. q n ). q  lim q n 1
n 

n

 A. q  0
Vì q  1 nên từ A  A. q ta được A  0
Vậy lim n.q n  0 .
n 

b. lim

n 

n

a  1 ( với a  0 )

Giải:

lim

n

n 


1
1

lim  ln y   ln( lim y)  lim  ln x   lim  0
x 
x 
x   x
 x x
Vậy ln( lim y)  0 tức là lim y  1
x 

Áp dụng cho dãy con

x 

n

n ta được lim

n 

n

n  1.

1.3.5...(2n  1)
0
n 
2.4.6...2n


un
 0 khi n  
n  2n

Dễ thấy lim

12


 1 3 2n  1 
. ...

vn  2 4
2n 
Mặt khác

. 2n  1
2n
2n

vn
 2n  1  lim u  a
 lim un . lim
n
n 2n n
n
n
2n

Nên lim

2
Nhận xét :

x
2 , nên tan 2 x .tan x  tan x  2t an x
Vì tan x 
x
2
2
1  tan 2
2
2tan

Tương tự: 2tan 2
Nên 2n 1 tan 2

x
x
x 2
x
.tan

2tan

2
t
an
2
2
22

n 

13


x
x
x

b. lim  sin 3  3.sin 3 2  ...  3n 1.sin 3 n 
n  
3
3
3 
x
x
x
Đặt Sn  sin3  3.sin3 2  ...  3n 1.sin3 n
3
3
3

x 1
x
x 
1
Nhận xét: sin3 x  (3sin x  sin3x) , nên 3n 1 sin3 n   3n sin n  3n 1 sin n 1 
4
4
3

Đặt Sn  ln cos  ln cos 2  ...  ln cos n
2
2
2

x
x
x
Ta có Sn  ln cos  ln cos 2  ...  ln cos n
2
2
2

x
x
x
x
sin x

 ln  cos . cos 2 ... cos n 1 . cos n   ln
x
2
2
2
2 

2n.sin n
2
Vậy lim Sn  ln
n 

2 2.2 2.3
2n
2n
14


xn là dãy tăng bị chặn trên nên hội tụ.

1 
1
 1 
b. xn  1  .1  2  .1  3  ...
 2  2   2 
Nhận xét: Vì 1 

1

1  n 
 2 

1
 1 nên xn 1  xn , cho nên đây là dãy tăng.
2n

1 1
1 

Mặt khác xn  3 3    ...    192 , với mọi n
2 4
2n 

 ... 
(n  1)(n  2) (n  2)(n  3)
m(m  n)



1
1
1
1
1
1
1
1
1



 ...  



n 1 n  2 n  2 n  3
m m 1 n 1 m 1 n 1

1
1

Chọn no    thì
no  1

  và do đó xm  xn  
no 2

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy xn hội tụ .
Bài 6:

1
 1 1
Chứng minh dãy xn  1    ...    ln n hội tụ
n
 2 3
Từ đó suy ra 1 

1 1
1
  ...   C  ln n   (n) , với C là hằng số và  (n)  0
2 3
n

a. Với m  n , xét:

xm  xn 




1
1
1


n 

Nên 1 

1 1
1
  ...   C  ln n   (n) .
2 3
n

16


CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy
tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của hàm số.
2.1 Các kiến thức cơ bản về hàm số
2.1.1 Hàm số
Cho X 

. Ta gọi một ánh xạ f từ X vào

là một hàm số. Tập X được gọi là

tập xác định của hàm f .
Đặt Y   f  x  : x  X  , Y được gọi là tập giá trị của hàm f .
Kí hiệu y  f  x  .
2.1.2 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số f là tập hợp G   x, f ( x)  : x  X  trong hệ tọa độ Descartes.
Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm M  x, f ( x)  ,

 Bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
2.1.5 Hàm số đơn điệu
Hàm số f : X 

, trong đó X 

được gọi là:

 Tăng nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Tăng thực sự (hay đồng biến) nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Giảm nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2  ;
 Giảm thực sự (hay nghịch biến) nếu x1, x2  X , x1  x2 , f  x1   f  x2 
 Đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
 Đơn điệu thực sự nếu nó tăng thực sự hoặc giảm thực sự.
2.1.6 Giới hạn của hàm số
2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm
Giả sử  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên
tập  a; b  \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0
(hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong tập hợp  a; b  \  x0  ( tức là

xn   a; b  và xn  x0 với mọi n ) mà lim xn  x0 , ta đều có lim f  xn   L .
Khi đó ta viết : lim f  x   L hay f  x   L khi x  x0 .
x  x0

2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a;    . Ta nói rằng hàm số f có
giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng

 a;


1
x 0 x

a. lim

ln 1  x 
1
x 0
x

b. lim

x

 1
c. lim 1    e
x  
x

ex  1
1
d. lim
x 0 x

19


BÀI TẬP CHƯƠNG II – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm các giới hạn


lim f ( x)  lim

x0
x0
1  2x
2

3

b. lim
x0

x 4
x
 1
3
4
x
1 1
2

1

3

Đặt f ( x) 

x 4
x
 1

1

1 x  2
1  
4 2 

1 1

9
16  5

1
36
4

1  x  n 1  x
x
20


Đặt f ( x) 

m

1  x  n 1  x
x

Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng

0


Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
1
1
1
1

 
1
1 

lim f ( x)  lim  .1   x  m .1   x  n  .1   x  m .1   x  n   
x0
x0 m
n

 m n

e.

x
lim f ( x)  lim

Đặt

x0

x0

x


1  cos x. cos2 x. cos3x
x0
1  cos x

f. lim

1  cos x. cos2 x. cos3x
x0
1  cos x

Đặt lim

21

n2

n  n  1 a n2

2


Nhận xét khi x  0 , f ( x) có dạng

Ta có f ( x) 

0
. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được
0


Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được

3sin 6 x
sin 2 x
3sin 6 x
sin 2 x
 sin 4 x 
 sin 4 x 
2  lim 2
2
lim 2
x0
x0
x
x
sin x
2sin .cos
2
2
9cos6 x  4cos 4 x  cos x
 9  4  1  14
x0
cosx

 lim

g.

1  cos x.
lim

3
3
3
2
2
2
sin x.cos 2 x.cos 3x cosx.sin 2 x.cos 2 x.cos 3x 3cosx.cos 2 x.sin 3x.cos 3x 

lim



x0 
2x
x
2x




1
3
 1  3
2
2
Bài 2: Tìm các giới hạn
22