1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ KHẮC CHUNG

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Chí Thành

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tư duy

1.1.1. Tư duy là gì?

1.1.2. Đặc điểm của tư duy

1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy

1.1.4. Các thao tác của tư duy

1.2. Tư duy sáng tạo

1.3. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.3.1. Tính mềm dẻo

1.3.2. Tính nhuần nhuyễn

1.3.3. Tính độc đáo

1.3.4. Tính hoàn thiện

1.3.5.Tính nhạy cảm vấn đề

1.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.5. Dạy học giải toán



2.1.3. Dạng 3. Tính giới hạn của hàm số

2.1.4. Dạng 4. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một
khoảng, một đoạn

2.1.5. Dạng 5. Chứng minh phương trình có nghiệm

2.2. Biện pháp 2: Phát triển tư duy kiểu “vô hạn, liên tục”

2.3. Kết luận chương 2

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm

3.2.1. Nội dung thực nghiệm

3.2.2. Tổ chức thực nghiệm

3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3. Kết luận chương 3


Nhà xuất bản
Trung học phổ thông
Sách giáo khoa
Trường hợp
Trung học phổ thông
Ví dụ

6
MỞ ĐẦU

quan tới tư duy sáng tạo vẫn là cần thiết, đặc biệt là vận dụng vào quá trình
dạy học các chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở THPT.
Gần đây có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này, như
Khoa Thị Loan – trường Đại học Giáo dục năm 2008 với luận văn thạc sĩ
“Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian
lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo của HS” [15]; Dương Mai
Hương – trường Đại học Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển
tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian
lớp 11 trung học phổ thông” [11]; Đặng Thị Thanh Xuân – trường Đại học
Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo của HS
thông qua dạy học phần đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ
thông” [35]; Dương Quang Thọ - trường Đại học Giáo dục năm 2012 với luận
văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học tính tích
phân ở lớp 12 THPT” [28]. Như vậy chưa có luận văn thạc sĩ nào nghiên cứu
về phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn
trong chương trình toán THPT.
Mặt khác, trong giải tích toán học khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm.
Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng vì nó cung cấp nhiều kiến thức,
phát triển nhiều tư duy. Ví dụ như tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy thuật
toán, tư duy sáng tạo. Việc tiếp thu khái niệm này đòi hỏi tiến hành nhiều thao
tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hóa.
Nó cũng đòi hỏi nhiều phẩm chất tư duy như: Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán
chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Mặt khác giới hạn là một
khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình
giới hạn chiếm một thời gian ít nên việc nắm vững lí thuyết, vận dụng lí thuyết
vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn và gặp nhiều lúng túng.

8
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Phát triển
tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học toán giới hạn trong chương

học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT.
Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng trên cùng một đối tượng.
7. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình dạy học chủ đề giới hạn trong chương trình toán
THPT, nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến tư duy sáng tạo.
Thời gian: Năm học 2010 – 2012.
8. Khách thể nghiên cứu
Chương trình SGK môn toán lớp 11 lớp 12 ở cả hai ban là ban chuẩn và
ban nâng cao.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,
luận văn trình trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
10
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì ?
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái

cảnh mới.
Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng, tư duy toán học có các đặc tính sau [23]:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích;
- Phân chia rành mạch các bước suy luận;
- Sự chính xác các kí hiệu;
- Lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo Nguyễn Quang Uẩn thì tư duy do con người tiến hành với tư cách
là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau [34]:
- Tính “có vấn đề” của tư duy: Muốn kích thích được tư duy phải đồng
thời có hai điều kiện sau đây:
+ Phải gặp tình huống có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới,
một cách thức giải quyết mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động
cũ, mặc dầu vẫn còn cần thiết nhưng không còn đủ sức để giải quyết vấn đề
mới đó. Muốn giải quyết vấn đề mới đó phải tìm cách thức giải quyết mới,
tức là phải tư duy.
+ Tình huống có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được
chuyển thành nhiệm vụ cá nhân và vấn đề đó phải nằm trong tầm hiểu biết
của cá nhân.
- Tính gián tiếp của tư duy: Thể hiện ở việc sử dụng công cụ, phương
tiện, các phương tiện nhận thức, dùng ngôn ngữ để tư duy.
- Tính trừu tượng và khái niệm của tư duy: Tư duy phản ánh cái bản chất
nhất, chung nhất cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm

12
trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những cái cụ thể, cá biệt. Nói
cách khác tư duy đồng thời mang tính trừu tượng và khái quát.
- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Ngôn ngữ
được xem là phương tiện của tư duy, trong sự diễn biến của quá trình tư duy

phận các thành phần khác nhau.
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã được
tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ qua lại mật thiết với nhau và không thể
tách dời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: Sự phân tích được
tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của
phân tích. Trong học tập môn toán thì phân tích và tổng hợp tiến hành trong mọi
hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
VD1. Tìm
3
x 1 x 1 2
lim
x0
x
.
Để tìm giới hạn này đòi hỏi HS phải có tư duy phân tích và tổng hợp thì
mới có thể tìm được lời giải ngắn gọn được.
Trước hết HS phân tích được đây là dạng vô định
0
0
. Thông thường HS
thấy có căn là nhân liên hợp. Tuy nhiên làm như vậy thì sẽ không giải được
bài toán này vì không xác định được biểu thức nhân liên hợp ở tử. Nếu suy
nghĩ không dập khuôn và máy móc mà tiến hành phân tích tổng thể bài toán
HS nhận thấy khi
x0
thì
x 1 1
và
3

lim
2
33
x0
6
x 1 1
( x 1) x 1 1
.
1.1.4.2. So sánh và tương tự
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức. Thao tác này liên quan chặt chẽ với thao tác
phân tích và tổng hợp.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó giống nhau ở các dấu hiệu khác.
VD2. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
x
lim ( x 2x x)
; 2)
2
x
lim ( x 2x x)
.
Quan sát hai câu và tiến hành so sánh HS nhận thấy sự giống nhau về
hình thức. Vì vậy trong tư duy HS nghĩ cách giải hai câu này sẽ tương tự
nhau. Tuy nhiên ta có lời câu 1) như sau:
1)
2

Câu hỏi đặt ra với HS là: Tại sao hình thức giống nhau nhưng cách giải
khác nhau?. HS phân tích bài toán và nhận thấy câu 1) không phải là dạng vô
định , câu 2) thuộc dạng vô định . Từ đó HS linh hoạt khi tìm
cách giải với bài toán tìm giới hạn.
1.1.4.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng
sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp đối tượng ban đầu bằng cách
nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [13].
Qua đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tư duy đi từ nhiều cái riêng
đến cái chung cái tổng quát hoặc từ cái tổng quát đến tổng quát hơn.
Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược với lại khái quát hóa.
VD3. Tìm giới hạn
3
x0
x 1 2x 1
lim
x
. Từ bài toán này có thể tổng quát
thành bài toán tìm giới hạn
3
x0
ax 1 bx 1
lim
x
, và tổng quát hơn nữa ta có
bài toán tìm giới hạn
3
xa
f(x) g(x)
lim

tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả
thì tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái
đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc
tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn
của mỗi cá nhân đã tạo ra nó” [27].
Theo G.Polya: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời
giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra
những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng
những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu
muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, ví dụ như: Lúc những cố
gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những
bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp,
chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi
ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả ” [37].
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: “Đối
với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu

17
với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết”
[31]. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn
toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm
hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho HS
sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì
đó là tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế
giới về các phương thức hoạt động .
I.Lcene [38] cho rằng quá trình hoạt động sáng tạo có những đặc điểm:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”;

Tuy nhiên tư duy sáng tạo có tính chất tương đối. Một cách thức giải
quyết coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh, điều kiện này lại chưa chắc đã
được coi là sáng tạo trong điều kiện hoàn cảnh khác. Một cách thức giải quyết
có thể coi là sáng tạo với người này nhưng không phải là sáng tạo với người
khác, sáng tạo ở thời điểm này nhưng lại không là sáng tạo ở thời điểm khác.
1.3. Các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo
Theo Rubinstein tư duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề
[21]. Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà HS đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải
quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống có vấn đề với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, thì cấu trúc
của tư duy sáng tạo có 5 thành phần đặc trưng cơ bản sau [23]:
- Tính mềm dẻo;
- Tính nhuần nhuyễn;

19
- Tính độc đáo;
- Tính hoàn thiện;
- Tính nhạy cảm vấn đề.
Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng
lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại.
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến thức
đã tiếp thu được một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ và quan niệm này
sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang
một hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang hệ thống phương
pháp tư duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang hành động
mới, gạt bỏ sự cứng nhắc mà con người đã có để thay đổi nhận thức dưới một
góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần trí

và ta có
32
2
3
23
2n 3n 2
nn
lim lim
2
1 1 2
1 n 2n
32
n
nn
đến đây ta
thấy tử số tiến tới 2 còn mẫu số tiến tới 0 nhưng rất khó xác định dấu ở mẫu.
Vì vậy rất khó xác định giới hạn đó là hay - . Như vậy với cách suy
nghĩ máy móc, dập khuôn đó việc giải bài toán gặp khó khăn lúc đó GV có
thể gợi ý chia cả tử và mẫu cho n
2
ta có lời giải sau:
3
2
2
2
32
2n
2n 3n 2
nn
lim lim

xuất được nhiều phương án khác nhau từ đó tìm được phương án tối ưu.
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không
phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
VD5. Tìm giới hạn:
3
x1
x1
lim
x1

Đối với bài toán này HS có tính nhuần nhuyễn sẽ có thể đưa ra được
nhiều cách giải như: Nhân liên hợp, đổi biến số, chia cả tử và mẫu cho (x – 1).
Đặc biệt với cách nhìn không cứng nhắc HS sẽ thấy
3
6
x ( x)
,
2
36
x ( x)

khi đó HS đưa ra lời giải tối ưu sau:

3
6
2
36
x 1 x 1
x 1 ( x) 1

lim
x1
.
Hầu hết HS giải bài toán này bằng cách nhân hợp để khử dạng vô định.
Tuy nhiên GV khuyến khích HS tìm thêm cách giải với gợi ý đặt ẩn phụ. Với
gợi ý đó HS có thể tìm ra cách giải sau độc đáo sau:
Đặt
6
t = x
ta có
3 2 2
2
3
x 1 t 1 t 1 t 1
x 1 t 1 (t 1)(t t 1) t t 1 3
lim lim lim lim
t 1 (t 1)(t 1) t 1 2
x1
.

22
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề;
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu. Từ
đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
VD7. Nêu ý kiến của em về lời giải sau:

4
2
n 2 2(n 2)
2
2
n
.
Qua bài tập này tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo được phát triển.

23
Ngoài ra còn kể đến: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng
lực định nghĩa.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho
việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính
nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể
tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ
khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy
sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
1.4. Phát triển tƣ duy sáng tạo cho HS
Theo Bùi Văn Nghị có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS theo các
cách sau [23]:
- Theo 5 thành phần của tư duy sáng tạo.
- Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hóa, tương tự hóa.
- Tìm nhiều lời giải, khai thác, đào sâu kết quả cho một bài toán.
Biểu hiện của sự sáng tạo là:
- Nhìn sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn một sự kiện dưới nhiều góc
độ khác nhau.

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau đây [13]:
- Tìm hiểu đề toán;
- Tìm kiếm phương hướng giải;
- Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải.

25
1.6. Thực trạng dạy học giải toán giới hạn trong chƣơng trình toán THPT
1.6.1. Sơ lược nội dung chương giới hạn Sách giáo khoa Ban chuẩn và
Ban Nâng cao lớp 11
Theo [1] và [26] ta có nội dung của chủ đề giới hạn cụ thể như sau:
Ban chuẩn (14 tiết)

Ban nâng cao (17 tiết)
§1
§2
§3 Giới hạn của dãy số.
Giới hạn của hàm số.
Hàm số liên tục.
Ôn tập chương.

5 tiết
5 tiết
2 tiế
2 tiết

§1

Các dạng vô định
Luyện tập.
Hàm số liên tục
Luyện tập.
Ôn tập chương.
1 tiết
2 tiết

1 tiết

3 tiết 1 tiết

1 tiết

1 tiết
1 tiết
1 tiết
2 tiết
1 tiết
2 tiết

Từ đó chúng tôi nhận thấy: Với thời lượng dành cho chủ đề giới hạn là
14 tiết của ban cơ bản và 17 của ban nâng cao, GV chỉ giúp HS giải quyết
được các bài tập cơ bản về giới hạn chứ chưa có điều kiện hướng dẫn HS làm
các bài toán khó về giới hạn để qua đó bồi dưỡng tư duy sáng tạo.

26