Chuyên đề 3:
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ & LÔGARIT
Loại 1: Phương trình mũ & lôgarit
1. Phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: Với 0 < a = 1 thì af (x)


b > 0
= b ⇐⇒
f (x) = log x
a

b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
• Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với 0 < a = 1 thì af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x).
• Phương pháp đặt ẩn số phụ: Đặt t = af (x) , t > 0 để đưa phương trình đã cho về
phương trình mới ẩn t.
• Phương pháp lôgarit hóa: Thường được sử dụng giải các phương trình af (x) = bg(x) .
Khi đó ta lấy lôgarit cơ số c (0 < c = 1) hai vế của phương trình. Để đơn giản ta
thường chọn c = a hoặc c = b.
• Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ: Thông thường ta tiến hành
theo 2 bước
– Đoán một nghiệm của phương trình (thường là nghiệm đơn giản)
– Chứng minh nghiệm này là duy nhất bằng cách sử dụng tính đơn điệu của
hàm số mũ.i

0 < a = 1
2. Phương trình lôgarit: Điều kiện tồn tại loga f (x) là
f (x) > 0.

a) Dạng cơ bản: loga f (x) = b ⇐⇒

e) 3x .8 x+2 = 6
f) 2x

2 −4

= 3x−2

g) 3x = 3 − log5 x
h) log3 (x + 1) =

4
x+2
Loại 2: Bất phương trình mũ & lôgarit1

1. Bất phương trình mũ:
a) Dạng cơ bản: af (x) > b ⇐⇒

b) Đưa về cùng cơ số: af (x)


a > 1


0 < a < 1

∪
f (x) > log b
f (x) < log b.
a
a

a) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (2x−2 + 1)
√

b)

5−2

x−1
x+1

≤

√

5+2

x−1

4
2
+
>3
log2 2x log2 x2

c)

√

d)


c) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đại số theo hai ẩn số phụ.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau

5 log x − 3 log y = −8
2
4
a)
10 log x − log y = −10
2

4

√
 x − 1 + √2 − y = 1
b)
3 log (9x2 ) − log y 3 = 3
9

c)

3


lg2 x = lg2 y + lg2 (xy)
lg2 (x − y) + lg x. lg y = 0

√

 √x + 1 − 1 .3y = 3 4 − x
x

1
=0
−3

4.2x

√
√
x
2+1 −2 2=0
√
f) (CĐ 2008) log22 (x + 1) − 6 log2 x + 1 + 2 = 0

e) (B_2007)

√

2−1

x

+

g) (A_2008) log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4
h) (D_2010) 42x+

√
x+2

√

√

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3

3

3

.


Bài tập 3: Giải các phương trình sau
a) (DB2 2002)

1
1
log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x)
2
4

b) (DB5 2002) 16 log27x3 −3 log3x x2 = 0
c) (DB2 D_2003) log5 (5x − 4) = 1 − x
1. 4x − 2x+1 + 2 (2x − 1) sin (2x + y − 1) + 2 = 0
2. log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6
d) (DB2 D_2006) 2 (log2 x + 1) log4 x + log2 41 = 0
√
e) (DB1 B_2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0
2

x2 +x−1

1
+ log2 x + 2
2

log(2x+1) 4
√
√
x
x
l) (DB2 D_2008)
5 + 1 + 2 5 − 1 = 3.2x

m) (DB1 B_2008) 2 log2 (2x + 2) + log 1 (9x − 1) = 1
2

n) (DB2 B_2008) 3 +
√

o) (DB2 2009) 4x−

1
6
= logx 9x −
log3 x
x

x2 −5

− 12.2x−1−



x=0

b) x1−lg x = 0, 01
c) lg (20 − x) = lg3 x
4

+ log9 (x − 3)2


d) logx 3xlog5 x + 4 = 2 log5 x
e) lg (x2 − x − 6) + x = lg (x + 2) + 4
1
2x

1

f) log5 5 x + 125 = log5 6 + 1 +
g) log3 (4.3x − 1) = 2x + log3 4x

2 +1

h) log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3)
i) log2 cos2 xy +

1
cos2 xy

j) log3 |πx| + log|πx| 3 =


x2 + x
x+4

√

0

g) (CĐ 2012) log2 (2x) . log3 (3x) > 1
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau
a) (DB1 2002) log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x+1 − 3.2x )
2
2
√
b) (DB2 A_2003) 15.2x+1 + 1 ≥ |2x − 1| + 2x+1
c) (DB2 B_2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0
2
4
√
d) (DB1 A_2004) log π4 log2 x + 2x2 − x < 0
x2 −2x

i) (DB1 D_2008) 22x

2 −4x−2

− 16.22x−x

2 −1

−2≤0

j) (DB2 B_2008) 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ 0
k) (DB1 A_2008) log 1
3

log2

2x + 3
x+1

≥0

l) (DB3 2010) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2
m) (DB4 2010)

√

x2 − 4x + 3 log5

x 1 √
+

2
d) (A_2009)
3x2 −xy+y2 = 81

e) (D_2010)


x2 − 4x + y + 2 = 0

2 log (x − 2) − log√ y = 0
2
2

log (3y − 1) = x
2
f) (B_2010)
4x + 2x = 3y 2


x2 + 2y = 4x − 1
g) (B_2013)
2 log (x − 1) − log√ (y + 1) = 0
3
3

x − 4 |y| + 3 = 0
h) (DB3 2002)
 log x − log y = 0
4



2xy


= x2 + y
x + √
3
2
x − 2x + 9
m) (DB2 B_2007)
2xy


= y2 + x
y + 3 2
y − 2y + 9

x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1
n) (DB1 A_2007)
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

4x−2y − 7.2x−2y = 8
o) (DB1 2009)
log (log x) − log (log y) = 1
2
3
2
3

x + log y = 3

 − 3x2 + 5x + 9 > 0.
3

7