Mục lục
Trang
Phần mở đầu
1. Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm
2. Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm
3. Cấu trúc của sáng kiến, kinh nghiệm
Phần nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận
Chương II: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải
Chương III: Giải pháp
Phần kết luận
Tài liệu tham khảo

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm


Học sinh trên địa bàn huyện Sơn Hà đa phần là con em người dân tộc
thiểu số, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ
đến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng,
không có nhiều thời gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học
sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn
Toán. Là giáo viên dạy toán, đã có 19 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm
với các em và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi
luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp
các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi
tốt nghiệp và Đại học.
Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A.Stoliar 1969
tr.5). Ở trường phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương
tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm

liên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài toán về tích phân,
thì tôi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên.
Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho
học sinh tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho
học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm"
2. Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm.
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt
được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong
quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp
tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống
chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu
quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:


- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải
quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân,
học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học
sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
4. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12C3, 12C4 trường THPT Sơn Hà.
- Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình
tính toán.
5. Phương pháp nghiên cứu:

+ Hàm số không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng vẫn sử dụng được công
thức Newtơn- Leibnitz;
+ Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và
đạo hàm liên tục trên [a; b];
+ Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện
thời;
+ Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm
được giá trị chính xác)…
II. Các giải pháp của sáng kiến.
Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thực
hiện một số giải pháp như sau :


II.1 Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững.
- Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được
bản chất các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
- Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa,
định lý.
- Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải.
II.2 Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.
- Kĩ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bài
toán.
- Tư duy: Phân tích, so sánh, tổng hợp.
- Phương pháp: Phương pháp giải toán.
II.3 Đổi mới phương pháp dạy học.
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức,
từng đối tượng học sinh: vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề…
- Sử dụng phương tiện dạy học: bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện
tử…
II.4 Đổi mới kiểm tra, đánh giá.


1.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
2 d(x − 1)
1
1 2
dx
=
−
= −1 − 1 = −2
=
∫
2
2
x −1 0
0 (x − 1)
0 (x − 1)
2

I= ∫

1.1.2 Phân tích sai lầm :
-Hàm số y =

1
không xác định tại x = 1 ∈ [0; 2] nên hàm số không
(x − 1) 2

liên tục trên [0; 2]. Do đó không tồn tại tích phân trên.
-Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn
tại phép tính tích phân đó. Học sinh không chú ý đến một điều tích phân I =

−
1
1
x2 =
x 2 dx
∫
I= ∫ 1
2
2
−1
−
1
1
+
x
x + ÷ −2
x2

x
1−

Đặt t = x+

1
1
⇒ dt = (1 − 2 )dx
x
x

 x = −1 ⇒ t = −2

− ln
= 2ln
−2 − 2
2− 2
2− 2
2

1.2.2 Phân tích sai lầm:

1−

1
x2

x −1
=
là sai vì trong [-1; 1] chứa x = 0
1
2
1 + x4
+x
x2

nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Do đó giáo viên lưu ý cho
học sinh khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x- x 0 thì cần
để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = x0.
1.2.3 Lời giải đúng:
x2 − x 2 + 1
Xét hàm số F(x) =
ln

5 dx
1. ∫
0 (x- 4)4

3

2

2. ∫ x(x -

1
1) 2 dx

-2

π
2

-x 3.e x + x 2
dx
4. ∫
3
x
-1
1

1
3.
dx
∫


α
∫ u .du =

1 α+1
u
+C
α +1

Mà

lẽ

ra

phải

vận

dụng

công

2.1.3 Lời giải đúng :
1

1

0



3. Sai lầm khi biến đổi hàm số.
3

2
3.1 Ví dụ 4: Tính tích phân I = ∫ x − 4x + 4 dx
0

thức:


3.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
3

3

3

0

0

0

I = ∫ x 2 − 4x + 4 dx = ∫ (x − 2) 2 dx = ∫ (x − 2) dx = (

3
x2
3
− 2x) = −

a

[a;b] để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi mối tính tích phân.
3.1.3 Lời giải đúng :
3

3

2

3

0

0

0

2

2
∫ (x − 2) dx = ∫ | x − 2 | dx = ∫ (2 − x)dx + ∫ (x − 2)dx

= (2x −

3
x2 2 x2
1 5
) + ( − 2 x) = 2 + =
2 0


= ∫ (sin x + cos x)dx = (sin x − cos x) = 1 + 1 = 2
3.2.2 Phân tích sai lầm :
Phép biến đổi:

(1 + sin 2x) 2 = sinx + cosx , x∈[0; π], là không đúng.

3.2.3 Lời giải đúng:
π

π

π

0

0

0

2
I= ∫ 1 + sin 2xdx = ∫ 1 + 2sin x cos xdx = ∫ (sin x + cos x) dx

π

3π
4

0


2. I= ∫

0

x 3 − 2x 2 + x dx

0
π
3

2

1
x 2 + 2 − 2 dx
∫
3. I= 1
x

2
2
4. I = ∫ tan x + cot x − 2 dx
π
6

2

4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
2

1


4.1.2 Phân tích sai lầm:
Học sinh dùng công thức ∫

1
dx = arctan x + C , không có trong SGK
x2 + 1

hiện hành. Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo
khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm
này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ
(trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong
sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì
vậy khi tính tích phân đối với hàm số dạng y =

1
ta dùng
(x − x 0 ) 2 + a 2

phương pháp đổi biến số đặt đặt: x- x0 = a tant hoặc x- x0 = a cot t. Còn tích


1

phân của hàm số dạng y =

thì đặt x- x0 = a sint hoặc x- x0 =

a 2 − (x − x 0 )2



π
4

4.2 Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân sau:
0

dx
2
−1 x + 2x + 2

8

1. I = ∫

2. I = ∫

4
1
3

1 2x 3

3. I = ∫

0

+ 2x + 3
dx

6

= 67
3
2

5.1.2 Phân tích sai lầm :
Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
5.1.3 Lời giải đúng:

udu
2

x 2 − 16
dx
x
x3
1 − x8

dx


Đặt u = 1 + 4x ⇒ u 2 = 1 + 4x ⇒ dx =

udu
2

x = 2 ⇒ u = 3
Đổi cận: 
x = 6 ⇒ u = 5

dx

5.2.1 Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt x= sint ⇒ dx= costdt
x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận : 
1
1
 x = 4 ⇒ t = arcsin 4
arcsin

Khi đó : I =

∫

0

1
4

arcsin
3

sin t dt = ∫

0

1
4


hàm số có chứa a2+ x2 thì đặt x = atant (x = atant) nhưng cần chú ý đến cận
của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm
được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp


khác. Chẳng hạn với bài toán này thì ta có thể đổi biến số theo cách đặt thông
thường bằng cách đặt u = a 2 − x 2 .
5.2.3 Lời giải đúng:
Đặt u = 1 − x 2 ⇒ u2 = 1- x2 ⇒ xdx= -udu
x = 0 ⇒ u = 1

Đổi cận : 
1
15
x = ⇒ u =

4
4
15
4

3

Khi đó: I = ∫ (u 2 − 1)du = ( u − u)
3
1
π

5.3 Ví dụ 8: Tính tích phân: I =

1 + sinx (1 + t)2
⇒∫

dx
2dt
2
−2
=∫
=
2(t
+
1)
d(t
+
1)
=
−
+C
∫
1 + sinx
t +1
(1 + t) 2
π

dx
−2 π
−2
−2
=
=

d(
− )
dx
dx
2
4 = tan( x − π ) π
I=∫
=∫
=∫
2 4 0
0 1 + sinx
0 1 + cos(x + π )
0 cos 2 ( x − π )
2
2 4
π

= tan

π

π

π
π
− tan(− ) = 2 .
4
4

* Chú ý đối với học sinh:

0 sinx

dx
0 1 + cosx

4. ∫

6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần.
π
2

6.1 Ví dụ 9: Tính tích phân I = x sin xdx
∫
0

6.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
u = x
u ' = 1
⇒
Đặt 
 v' = sinx
 v = −cosx
Khi đó I = − x cos x

π
2

π
2



e

ln x
1. ∫ 2 dx
1 x

2
2. ∫ x ln xdx
1

π
2

3. x sin 2xdx
∫

ln 3

−3x
3. ∫ xe dx
0

0

7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.
7.1 Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 – 1; x
= 2; trục Ox và trục Oy.
7.1.1 Học sinh đã trình bày như sau
2


1

S = ∫ (x 2 − 1)dx = ∫ (1 − x 2 )dx + ∫ (x 2 − 1)dx = (x −

2
x3 2 x3
) + ( − x) = 2 (đvdt)
3 0
3
0

7.2 Bài tập áp dụng:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1. x = 0; x = 1 ; y = 0 ; y = 5x4 + 3x2 + 3
2. x = 0 ; x = π ; y = cosx ; y = sinx.
3. y = x3 – x ; y = x – x2.
4. y = x3 ; y = x5.
8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích .


8.1 Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x ;
y = x – 6 và trục hoành.
8.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x = 4
x = 6 − x ⇔ x = (6 − x) 2 ⇔ x 2 − 13x + 36 = 0 ⇔ 
x = 9
9



B

8.1.2 Phân tích sai lầm:
- Phép biến đổi

x = 6 ⇔x = (6 – x)2 là không tương đương.

- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x ;
y = x – 6 (miền AOB). Trong khi miền cần tính là miền AOC.
8.1.3 Lời giải đúng :
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị :


+

6 − x ≥ 0
x =6−x ⇔ 
⇔x=4
2
x
=
(x
−
6)


+

x =0⇔x=0

2

⇒ VOy = π ∫ e2ydy = π
1

e2y
2

π
= (e 4 − e 2 ) (đvtt)
2
1
2

9.1.2 Nguyên nhân của sai lầm:
Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau :
d

2
+ Trong công thức ⇒ VOy = π ∫ x dy thì cận là các giá trị của biến y. Trong
c

bài này học sinh chưa đổi cận.
+ Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do
đường cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0; ln2].
9.1.3 Lời giải đúng:
Ta có : y = lnx ⇒ x = ey


x = 1 ⇒ y = 0


9.2 Bài tập áp dụng:
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Ox, Oy:
1. y = x2; x = 2; trục tung và trục hoành.
2. y = lnx ; x = e ; trục Ox.

III. Kết quả
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng
tích phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách
phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích
phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai
lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước
tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.


Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số
bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong
các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của
các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và
đã giải được một lượng lớn bài tập đó.

2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011-2012.

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải
quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của
Giả thuyết khoa học.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn.

dx
x3
−1

3/ ∫ 14 dx
0 cos x

4/ ∫
Kết quả

xếp loại

giỏi

khá

tb

yếu


đối tượng
12A1
12A4

5%
0%

24%
13%

∫ ( x − 1)

2

dx .

0

Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đưa ra ví dụ trên để
học sinh tự làm. Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh
nhận xét để đưa ra ghi nhớ cuối cùng.
Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi
làm các bài tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
Kết quả thu được như sau :
Lớp
Sĩ số HS giải đúng
HS giải sai
HS không giải được
12C8 40
8(20%)
25(62,5%)
7(17,5%)
12C10 42
35(83,3%)
5(12%)
2(4,7%)
Kết quả cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối
chứng 12C8.
Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng
dạy tôi thấy kết quả đạt được là rất khả quan.

35(83,3%)
6(14,3%)
1(2,4%)
Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e. Tính
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. (Trích
đề thi đại học khối B năm 2007 )
Kết quả thu được như sau :
Lớp
Sĩ số
12C8 40
12C10 42

HS giải đúng
32(80%)
33(78,5%)

HS giải sai
6(15%)
5(12%)

HS không giải được
2(5%)
4(9,5%)

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng.
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân

Người viết

Nguyễn Quý