ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 1 MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT THANH KHÊ
PHẦN I: GIẢI TÍCH
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K
1) f đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈K mà x1

thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

Nói một cách vắn tắt:
a) Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x 0 là điểm cực
đại
b) Nếu khi x đi qua x 0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x 0 là điểm cực
đại
QUI TẮC 1 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các điểm xi ( i= 1,2,3…) tại đó đạo hàm hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm
3. Xét dấu f’(x) dựa vào định lí 2 để kết luận


Định lí 3. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 ; f’(x0) = 0,
f''(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu.
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại.
QUI TẮC 2 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các nghiệm xi ( i= 1,2,3…) của phương trình f’(x)=0
3. Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí 3 để kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)
3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b].
+ Tìm các điểm x1,x2, ..., xn thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo
hàm
+ Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a )và f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M = max f ( x) ; m = min f ( x)
[ a ,b ]

[ a ,b ]

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho một đại lượng theo một đại lượng biến thiên khác:
Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, rồi tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó
ℑ4. ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ
y

Y

y

Y

Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) . Gọi IXY là hệ toạ độ
mới có gốc làrrI và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng
vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì của
mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó:


IXY là:
Y = (X+x0) – y0
B. DẠNG BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường cong trong hệ tạo độ mới
ℑ5. TIỆM CẬN
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận ngang:
Đường thẳng y=y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x ) nếu
lim f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0
x →+∞
x →−∞
2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y = f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x) = +∞

x → x0−

x → x0

lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x) = −∞

x → x0−

x → x0

3) Tiệm cận xiên:
Đuờng thẳng y= ax+b (a ≠ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
y = f (x ) nếu
lim [f ( x) − (ax+b)] = 0

Các bước khảo sát hàm đa thức

Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định

1. Tập xác định

2. Sự biến thiên

2. Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực

- Giới hạn, tiệm cận

- Chiều biến thiên, cực trị

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị

3. Đồ thị

- Điểm uốn


Pt y’ = 0 có
nghiệm kép

2

2

Pt y’ = 0 vô
nghiệm

4

2

2

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
a>0
Pt y’ = 0
có
ba
nghiệm
phân biệt

Pt y’ = 0
có
một
nghiệm

a
Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương
trình hoành độ giao điểm của (C1), (C2): f(x) = g(x) (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)

Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = 0
Đưa phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi
luôn cùng phương với trục Ox.
Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)

Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) ( x − x0 ) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )



3 2 1
x −
2
2

b)

y = x3 − x 2 − x + 1

d)

y = x 4 − 10 x 2 + 9

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất hàm số :
a)

y = x(4 − x )

d)

y=

g)

4
y = 2 sin x − sin 3 x
3

x +1


[1; e ]
3

trên đoạn


Bài 4: Cho hàm số :

y=

m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2) x + 5
3

m là tham số

Tìm m để
a) Hàm số nghịch biến trên R
b) Hàm số đồng biến trên R
c) Hàm số có cực đại ,cực tiểu
d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
II. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
Sự tương giao của hai đường:
Bài 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1

b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4


.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.


b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x.
IV. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
Bài 2: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3 – 3x + m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường
thẳng

y=−

1
x+2
24

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Bài 4: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.

x4
3
− 3x 2 +
2
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
Bài 11: Cho hàm số y =

1 4
x − 2x 2 − 1
4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 12 : Cho hàm số y =

x +1
.
x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
HÀM SỐ, LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1. ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ α

Cơ số a

Lũy thừa

α = n∈ N*

a∈R

a α = a n = a.a......a (n

α =0

a≠0

aα = a 0 = 1

α = −n ( n ∈ N * )

a≠0

a α = a −n =

aα

1

α

β

a .a = a

α +β

;

aα
= a α −β
β
a

α

β

; (a ) = a

a>1:

α .β

α

; (ab) = a .b

aα > a β ⇔ α > β

Đặc biệt:
*

log a

log b c =

1
1
= − log a b ; log a n b = log a b
b
n

log a c
log a b

α

⇒ log a b. log b c = log a c

α

α

aα
a
;   = α
b
b


lim

6. BẢNG ĐẠO HÀM.
(e x )' = e x

(e u )' = u '.e u

(a x )' = a x . ln a

(a u )' = u '.a u . ln a

(ln x )' =

1
x

(log a x )' =

(ln u )' =
1
a ln a

( n x )' =

(log a u )' =

x

( x α )' = α .x α −1


 f ( x) > 0 hay ( g ( x) > 0)
log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ 
 f ( x) = g ( x)

b)

a >1

a f ( x) > a g ( x)

⇔

f ( x ) > g ( x)

log a f ( x) > log a g ( x) ⇔

c)

0 < a a g ( x)

⇔

f ( x) < g ( x)

f ( x) > g ( x) > 0


log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)


x 6 . y 12 −

5

x. y 2

2)

3

4
3

a −1

3)

a+ b
3

4
3

a +a

1
2

a +4 a

3

 1 
− 
 32 

−

3
5

−

2)

0,001

1
3

−2

− (−2) .64 − 8

−0 , 75

− 25

4)


* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)

17 5 3
2 .ax
8

2)

3

3)

2)

41−2 3 .161+

a 5 .4 a

8

b 3 .4 b

4)

14
27.3 a
3

4)


* Đơn giản các biểu thức.
1)
3)

a2
(a

2
2

− b2

3

− b 3 )2

+1

 π1 
( a + b ) −  4 .ab 


π

π

2)

(a 2


5

4


1) log527

2) log515

3) log512

4) log530

* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các
lôgarit.
1)

(

5

3

a b

)

2
3

2
6

2)
4)

1
2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3
3

log 1 (log 3 4. log 2 3)
4

* Tính giá trị các biểu thức.
1)

 14 − 12 log9 4
 log7 2
log125 8
 81
.49
+
25





* Tìm x biết.
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 2) log4x =

1
log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3
3

* Tính.
1)

log(2 + 3 ) 20 + log(2 − 3 ) 20

3)

ln e + ln

1
e

2)

3 log( 2 + 1) + log(5 2 − 7)

4)

ln e −1 + 4 ln(e 2 . e )

* Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.
* Biết log214 = a. Tính log4932 theo a
III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.

log 2 
 1 − 3x 

* Tìm các giới hạn.
e3x − 1
x →0
x

1)

lim

2)

5)

lim log 3 x

6)

lim

8)

lim

ln(1 + 3 x)
x →0
sin 2 x



x →5

ln(3 x + 1) − ln(2 x + 1)
x

ln(1 + 2 x)
x →0
tan x

10)

x +1 −1

x →0

lim(2 x − 3 x )

3)

lim

lim

* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
2

1) y = (x -2x + 2).e
4) y = 2x -


y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ;

y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ex.cosx ;

2y’ – 2y – y’’ = 0

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:
1). (0,2)

x-1

=1

5).

(3 − 2 2 )

8).

x− x2 +4

5

2x


2

10) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52

3 x −1

)

x −1

1
. 
2

=

(

5−2

1− 2 x

=2

)

4

x −1
x +1


2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0

3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27

4) 31+x + 31-x = 10

5) 5x-1 + 53 – x = 26

6) 9x + 6x = 2. 4x

7) 4x – 2. 52x = 10x

8) 27x + 12x = 2. 8x

(2 + 3 ) + (2 − 3 )
x

9)

x

10)

=2

x

x


* Giải các phương trình.
1) log2x(x + 1) = 1

2) log2x + log2(x + 1) = 1

3) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3
5)

log

5

x. log 25 x

log 5 x

2) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

4) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0

= log125 2 x

6) log2(2x+1 – 5) = x

* Giải các phương trình.
1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7
3)

1 + log 3 x 1 + log 27 x
=


3)

1
 
2

6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0

x 2 −5 x + 4

>4

4)

6 2 x +3 < 2 x + 7.33 x −1


7)

log 1 (5 x + 1) < −5

8)

2

log 1 (log 2

10)


2. f(x) =

( x − 1) 2
x

3. f(x) =

6. f(x) = tan 2x

x −1
x2

1

4. f(x) =

7. f(x) = cos 2x

x

−3

2
x

8. f(x) = (tanx –

cotx)2
x



13.

x 2 + 1.xdx
2

+ 1) 7 xdx

3x 2
5 + 2x

∫ cos

3

3

dx

x sin 2 xdx

dx

2.

∫ (3 − 2 x)

6.

∫ (x


11.
15.

3

4.
8.

∫

∫x

2

dx
2x −1
x
dx
+5

ln 3 x
∫ x dx

12.

∫ x.e

∫x



∫ ln xdx


5.

∫ (4 x + 1)sin 2 xdx

6.

∫ x ln xdx

7.

∫ 2 x ln(1 + x)dx

8.

∫ ln( x + 2)dx


PHẦN II: HÌNH HỌC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Hình chóp :
Định nghĩa :

S

A


ngoại
tiếp , nội tiếp )

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Khối chóp :
Khối chóp là khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp, kể cả hình chóp đó . Ta có
khối chóp
n-giác , khối tứ diện , khối chóp n-giác đều ...
Thể tích khối chóp :
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao

1
V = B.h
3


Thể tích khối lăng trụ:

V = B.h

Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp:

V = B.h

Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp chữ nhật:


Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Diện tích mặt cầu:

S = 4π r 2

S xq = 2π rl