HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2015- 2016
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN LỚP 11
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang

ĐỀ DỮ LIỆU

1
un e u
Bài 1. Cho dãy số thực  un  : u1  , un1 
, n 
2
1  eu
n

*

.

n

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, BA  BC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn tâm
K đi qua các điểm O, A, C cắt BA và BC tại M và N tương ứng. Gọi P là điểm đối
xứng với K qua MN; E và F là hình chiếu vuông góc của P trên BA và BC tương ứng.
Chứng minh:
a. P là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BMN;
b. EF song song MN.
Bài 3. Cho đa thức P  x   a0 x n  a1 x n 1  ...  an với hệ số thực. Chứng minh rằng

.
ai 1ai 1 , i  1,2,..., n  1.
ni
i

Bài 4. Cho dãy số  an  : a1 

*

, an 1  an3  2019, n 

*

. Chứng minh có nhiều nhất

1 số hạng của dãy là số chính phương.
Bài 5. Với n là số nguyên dương, một tập con của tập 1, 2,3,...,n được gọi là tốt nếu
sau khi ta sắp xếp thứ tự tăng các phần tử của nó thì thu được các số lẻ, chẵn, lẻ, …
theo thứ tự.
Ví dụ các tập con tốt là 1, 4,5,6 ,3, 4,7 , tập  . Tập 2,3,4,7 không là tập con tốt
do nó bắt đầu bởi số chẵn.
Tính số tập con tốt của tập 1, 2,3,...,n .
HẾT