TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ ĐỀ NGHỊ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi co 01 trang)
Câu 1(4 điểm):
Với mỗi số tự nhiên k, gọi N(k) là số nghiệm của phương trình
2016x + 2017y = k, x  0, y  0.
N(k )
.
k 
k

Tính giới hạn sau L  lim
Câu 2 (4 điểm):

Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC và CA tại
D, E tương ứng. Gọi M là trung điểm của BC và N là điểm đối xứng với D qua IM.
Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt AI tại P. Q là giao điểm thứ hai của AN với
(I). Chứng minh rằng DP  EQ.
Câu 3 (4 điểm):
Cho tam giác ABC. Kí hiệu a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng
sin


2

A
B
sin sin
2
2

a  b  c
3
3abc

3

.

, S là tập tất cả các ước nguyên dương của 2016n. Giả

sử A là một tập con của S thoả mãn: a, b  S, a < b thì b a. Tìm max|A|.
Câu 5 (4 điểm):
Cho tập X = {1 ; 2 ; ... ; 2016}. Với 3 ≤ k ≤ 2016, ta kí hiệu Fk là họ các tập con gồm k
phần tử của X sao cho hai tập bất kì có chung không quá k  2 phần tử. Chứng minh
tồn tại tập con Mk của X sao cho |Mk| ≥ 11 và Mk không chứa tập con nào thuộc Fk.
----HẾT----