SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2016
Môn: Toán – Lớp 11
----------------------------

Bài 1.
a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực ( xn )n0 thỏa mãn

x0  1, 0  xn  1n  1 và (1  xn )2  (1  xn1 )2 

xn  xn1
n  1.
2

b) Với dãy ( xn ) xác định như trên, xét dãy ( yn )n0 xác định bởi yn  x0  x1  ...  xnn  0.
Chứng minh rằng dãy ( yn )n0 có giới hạn hữu hạn khi n   . Hãy tìm giới hạn đó.
Bài 2.Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O1 , O2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác
ABC, ABD tương ứng.Đường thẳng O1O2 cắt đoạn BC, AD tại E , F tương ứng.

a) Chứng minh rằng có đường tròn  tiếp xúc với các đường thẳng BC, AD tại E , F tương
ứng;
b) Chứng minh rằng  cũng tiếp xúc với ( ABCD) .
Bài 3. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a  b  c  2. Chứng minh rằng
a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ca  2.

Bài 4.Tìm tất cả các số nguyên a sao cho tồn tại đa thức P( x) với hệ số nguyên thỏa mãn

P( 3 a 2  3 a )  2 3 a 2  3 3 a .