PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 1.
Câu 1
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10) +128
2. Cho ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( c − a ) 2 = ( a + b − 2c ) 2 + ( b + c − 2a ) 2 + ( c + a − 2b ) 2 .
Chứng minh a = b = c.
3. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a ∈ Z. Từ đó suy ra a5 và a có chữ số tận
cùng giống nhau.
Câu 2
a + b + c = 0

1. Cho các số a,b c thoả mãn điều kiện : 

 a + b + c = 14
2

2

2

Tính a 4 + b 4 + c 4

2. Cho các số a, b, c thoả mãn các hệ thức: a3 - 3a2 +5a -17= 0, b3 -3b2 +5b+11= 0

Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2016, người ta làm như sau lấy ra hai số bất
kì và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng . Có thể
làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Tại sao?
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO
ĐỀ SỐ 2.
Câu 1

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x7 + x2 + 1
2. Cho (x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) = -19
Tính giá trị của biểu thức A = x + 3y
Câu 2
1. Giải phương trình : (x2 +3x +2)( x2 +7x+12) – 24 = 0
2. Chứng minh: a 2 + 5b 2 − (3a + b) ≥ 3ab − 5
3. Cho số tự nhiên a = ( 2 9 )

2009

, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của

b, d là tổng các chữ số của c. Tính d.
Câu 3
1

2. Cho ∆ ABC, Cx là phân giác ngoài của góc C.Trên Cx lấy M( khác C).
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Chứng minh rằng : MA + MB > CA + CB

x2
=3
Câu 5Giải phương trình : x +
( x + 1)2
2

.................................... Hết ......................................
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 3.
Câu 1(4 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a+1)4 + a2( a+ 1)2 + 2a(a+1) +1
2. Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 = 210 . Tính giá
trị của biểu thức A = (a - b) (b - c) (c - a) và H = a − b + b − c + c − a .
Câu 2(5 điểm)
1. Giải phương trình: (6 x + 8)(6 x + 6)(6 x + 7) 2 = 72 .

tr nh nht.
Cõu 5(1 im)
Cho cỏc s dng x, y, z tha món x + y + z = 3 .
1

1

1

3

Chng minh: x 2 + x + y 2 + y + z 2 + z 2 .
.................................... Ht ......................................
PHềNG GD & T YấN DNG
LUYN U NM HSG CP TNH
NM HC 2016-2017
TRNG THCS TH TRN
Mụn: Toỏn - Lp 8
NEO
Thi gian lm bi: 150 phỳt
S 4.
Cõu 1
1. Phõn tớch thnh nhõn t: a8 + a4 +1
2. Chng minh rng vi n N * thỡ n 3 + n + 2 l hp s.
Cõu 2
2
2
2
2
2

ht cho P(-3)
R ca s hc tp thỡ ng Qu ca s hc tp thỡ ngt
Biờn son: Thy giỏo Phm Huy Huõn ST 0982.176.117


3. Giải phương trình:

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
x − 5 x + 6 x − 7 x + 12 x − 9 x + 20 x − 11x + 30 8
2

Câu 4
1. Cho VABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a) Tính số đo các góc VACM
b) Chøng minh AM ⊥ AB
c) Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR VMNP đều.
2. Cho góc nhọn xOy và điểm A trong góc đó. Tìm trên Ox điểm B và trên Oy
điểm C sao cho chu vi ∆ ABC là nhỏ nhất.
Câu 5
1. Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1. CMR:
2. Tìm giá trị lớn nhất của M =
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

2. Cho M = a5 – 5a3 +4a với a ∈ Z. Chứng minh M M120
3. Cho a, b, c thoả mãn:
b
a

c
b

a+b−c
b+c−a
c+a −b
=
=
c
a
b

Tính giá trị M = (1 + )(1 + )(1 +

a
)
c

Câu 2
1. Tìm các số x, y biết 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0
x

2. Tìm giá trị lớn nhất của P = ( x + 10)2
3. Tìm dư trong phép chia x100 cho (x – 1)2.
Câu 3

(AC+BD)
2

b) Đường thẳng CF cắt Ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di
chuyển trên đường trung trực của AB.
Câu 5
a2
b2
c2
a
b
c
+
+
1. Cho a, b, c > 0 Chøng minh 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥
b +c c +a a +b
b+c c+a a +b

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y =

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

4x + 3
x2 + 1

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8

2
2
1 +x
1+y
1 + xy

2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

a 2 + b2
là một số nguyên. Tính giá trị
ab

a 2 + b2
của biểu thức
ab

3. Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn x y + 1 = z .
Ta thấy nếu x lẻ => VT chẵn => z chẵn ko phải số nguyên tố
Vậy x chỉ là số chẵn mà nguyên tố => x= 2
“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Với y=2 => z= 5 thỏa đk đề bài
Nếu y>2 => y lẻ (vì y nguyên tố)
=> y =2k +1
=> 2^(2k+1) +1 = 2.4^k + 1 = 2.(3p+1) + 1 = 3m
Như vậy khi x=2 và y nguyên tố > 2 thì VT luôn chia hết cho 3
=>z chia hết cho 3 không thỏa đk
Vậy x=y=2; z= 5 là duy nhất


(với x ≠ 0, y ≠ 0 )

.................................... Hết ......................................
PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 7.
Câu 1: (4 điểm)
 3x 2 + 3
x −1
1 
x −1
 . 2
− 2
−
3
 x − 1 x + x + 1 x − 1  2x − 5x + 5

1. Cho phân thức: B = 
a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.


82

b) y 2 + 4 x + 2 y − 2 x +1 + 2 = 0

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


2. Tìm các số x, y biết: x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0
Ta có:
x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0
=>x^2+2xy+y^2+y^2+xy-(x+y)=-3
=>(x+y)^2+y(x+y)-(x+y)=-3
=>(x+y)(x+2y-1)=-3
Nên x+y, x+2y-1 là ước của -3 và x+y, x+2y-1 khác dấu
Nếu x+y=-3, x+2y-1=1 =>x+2y-x-y=2+3=5
=> y=5
=>x=-8
Nếu x+y=-1, x+2y-1=3 => y=5, x=-6
Vậy (y,x) là (5,-8);(5,-6)
Câu 3: (4điểm)Chứng minh rằng :
a)

a
b
c
+
+
= 1 biết abc=1
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Câu 5: (1điểm)
Với a,b,c dương thỏa mãn a+b+c = 3.Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ≥ 3

PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


TRNG THCS TH TRN
NEO

NM HC 2016-2017
Mụn: Toỏn - Lp 8
Thi gian lm bi: 150 phỳt

S 8.
Cõu 1
1. Rỳt gn: A = (1-

1. Cho 3 số thực a, b c khác không thoả mãn a+b+c 0 và

1 1 1
1
+ + =
.
a b c a+b+c

Chứng minh rằng trong 3 số a , b c luôn có hai số đối nhau. Từ đó suy ra Với mọi số
nguyên n le thì

1 1 1
1
+ n+ n = n
n
a b c
a + bn + c n

R ca s hc tp thỡ ng Qu ca s hc tp thỡ ngt
Biờn son: Thy giỏo Phm Huy Huõn ST 0982.176.117


1 1 1
1
1 1 1
1
+ + =
⇔ + + −
=0
a b c

VËy trong 3 sè a , b c lu«n cã hai sè đối nhau.
2. Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

1
2
+
2
x +y
xy
2

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

1
2
+
x 2 + y 2 xy

a có: 1/(x² + y²) + 1/2xy ≥ 4/(x + y)² ≥ 4 (Do x + y ≤ 1)
Câu 3
1. Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2 - x2 - 8y2 = 2xy

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn


PHÒNG GD & ĐT YÊN DŨNG
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
NEO

ĐỀ LUYỆN ĐẦU NĂM HSG CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ SỐ 9.
Câu 1:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 + 2011x 2 + 2010 x + 2011
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x 2 + y 2 + 1) – 5 x 2 – 4 y 2 – 5 = 0 .
2

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 dư 7; chia cho x − 2 dư
Vì f(x) chia x + 1 thì dư 7 nên f(x) - 7 chia hết cho x + 1; suy ra f(-1) - 7 = 0; suy ra -1 - a + b - 7 = 0, hay a - b = -8 (1).
Vì f(x) chia cho x - 2 dư 4 nên f(x) - 4 chia hết cho x - 2; suy ra f(2) - 4 = 0; suy ra 8 + 2a + b - 4 = 0, hay 2a + b = -4 (2).
Giải hệ gồm (1) và (2) được kết quả a = -4 và b = 4.

Câu 2:
a) Tính giá trị biểu thức:
2
2
2
A= x + y + 5 + 2 x − 4 y − − ( x + y − 1) + 2 xy với x = 2 2011 ; y = 16 503
x 2 − 2 x + 2011
b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B =
với x > 0.
2



Câu 5
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ 6 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P =

ab
bc
ca
+
+
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b

PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4 điểm)
a/Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức A có giá trị là số nguyên
A=

x 3 − 4 x 2 + 4 x − 10
x −3

3
3

3
ab
bc
ca
Chứng minh a + b + b + c + c + a = 4 + ( a + b ) ( b + c ) + ( b + c ) ( c + a ) + ( c + a ) ( a + b )

Tính giá trị của biểu thức A =

Bài 4: (6 điểm)

“Rễ của sự học tập thì đắng – Quả của sự học tập thì ngọt”
Biên soạn: Thầy giáo Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117


Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB

. Hãy tính P =

Hãy tính P = x 5 +

ac bc ac
+
+
c2 a2 b2

1
x5

a
b
c
+
+
=0
bc ca ba
a
b
c
Chứng minh rằng : (b c)2 + (c a)2 + (b a) 2 = 0

Bài 9: Cho ba số a,b,c khác nhau và :

Bài 10: Cho a,c,b là 3 số khác nhau và a+b+c =0
a
b