ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP
ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
CHƯƠNG III. PT. HPT
CHƯƠNG IV. BĐT. BPT
CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
CHƯƠNG VI. LƯỢNG GIÁC

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
 Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa. Ví dụ
tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c. Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu:
a  A đọc là a thuộc A.
Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay

N* = {1; 2; 3; 4; ...}
Z: tập hợp số nguyên.
Q: Tập hợp số hữu tỷ.
R: Tập hợp số thực.
9

7

5

3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

4

1

2

10

6

8

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

P là điều kiện đủ để có Q;
Q là điều kiện cần để có P.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:
Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q .
Nếu cả hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề
tương đương. Khi đó ta kí hiệu P  Q (đọc P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần
và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q).
Mệnh đề P  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các
trường hợp còn lại.
V- KÍ HIỆU  VÀ  :(được sử dụng trong các mệnh đề chứa biến)
1. Mệnh đề chứa kí hiệu , :
 Kí hiệu:  (đọc là "với mọi").
 Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một)).
 Mệnh đề:
 "Với mọi x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x) "(*)
(*) đúng nếu với bất kì x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng.
(*) sai nếu có một x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai.
 "Tồn tại x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x) "(**)
(**) đúng nếu có ít nhất một x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng.
(**) sai nếu với bất kì x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai.
2. Phủ đònh của mệnh đề chứa các kí hiệu , :


P  Q.

4. Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo PQ. Mệnh đề QP đgl mệnh đề đảo của mệnh đề PQ.
5. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q.
 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q.
 Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P  Q và Q  P đều
đúng.
Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để
có Q.
6. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X
nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
7. Kí hiệu  và 
 "x  X, P(x)"
 "x  X, P(x)"
 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x) ".
 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x) ".
8. Phép chứng minh phản chứng
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B.
Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết
chứng minh B đúng.
Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do
A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.
9. Bổ sung
Cho hai mệnh đề P và Q.
 Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q.
 Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q.

 Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử:
A    x : x  A .
II- TẬP HP CON:
Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói A là tập hợp con
của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B). A  B ta cũng viết B  A (đọc B chứa
A hay B bao hàm A). Như vậy:
A  B  x : x  A  x  B )
A không phải là một tập con của B ta viết A  B .
Ta có:
A  B  x : x  A và x  B
A

B

AB

B
A

AB
Tính chất:
a) A  A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A  B và B  C thì A  C.
c)   A với mọi tập hợp A.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

C
B
A



ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
I- GIAO CỦA HAI TẬP HP:
Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B.
Kí hiệu: C = AB.
 A  B = {x  x A và x  B}.
x  A
x  B

 x A B  

A

B

II- HP CỦA HAI TẬP HP:
Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí
hiệu: C = AB.
 A  B = {x  x A hoặc x  B}.
x  A
x  B

 x A B  

A


§4. CÁC TẬP HỢP SỐ
I- CÁC TẬP HP SỐ ĐÃ HỌC:
1. Tập hợp các số tự nhiên N:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...} = N\{0}.
2. Tập hợp các số nguyên Z:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
3. Tập hợp số hữu tỉ Q:
a
b

Q = {a,b  Z , (b  0)} với

a
b

là phân số tối giản.

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
* Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2...an) = n +

a1 a 2 ...a n
10 n  1

4. Tập hợp các số thực R:
Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại.
-


(
a

(a;   ) = {x  R, a < x}

(
a

)
b

)
b

(  ; b) = {x R, x < b}

R = (  ;   ). Mọi số thực R có thể viết: - < x < +
2. Đoạn:
[a; b] = {x  R, a  x  b}
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

[
a

]
b

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


b

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
Một số tập con của tập hợp số thực

N*  N  Z  Q  R

Khoảng: (a; b)   x  R a  x  b ; (a; )   x  R a  x ; (; b)   x  R x  b
[a; b]   x  R a  x  b

Đoạn:
[a; b)   x  R a  x  b ;
(a; b]   x  R a  x  b ;

Nửa khoảng:
[a; )   x  R a  x ;
(; b]   x  R x  b

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§5. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ.
I- SỐ GẦN ĐÚNG:
Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.

CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Mặt phẳng tọa độ:
y
6
5

 Hãy xác đònh tọa độ các điểm A,
B, C, D, E, F trên hình vẽ.
 Hãy vẽ các điểm P(1; 5), Q(5; -2),
R(-4; -6), S(-2; 5), T(0; 4), S(-5; 0) trên
mặt phẳng tọa độ.

4

A

B

3
2
1

-5

-4

-3



-5
-6

2. Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
 Khi a > 0: Hàm số nghòch biến trên (-; 0), đồng biến trên (0; +).
Bảng biến thiên:
x

-
+

y

y

0

+
+

0

x
O

 Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-; 0), nghòch biến trên (0; +).
Bảng biến thiên:
x


Nếu với mỗi giá trò của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trò tương ứng của
y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác đònh của hàm số.
2. Cách cho hàm số:
a) Hàm số cho bằng bảng:
Ví dụ: Qng đường đi được y (tính bằng km) và thời gian x kể từ lúc xuất
phát (tính bằng giờ) của một xe khách được ghi trong bảng sau:
x
y

1
2

1

3
2

2

5
2

3

7
2

4

Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b), nếu  x1, x2  (a; b)
 x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b).
 x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghòch biến trên (a; b).
2. Bảng biến thiên:
Để diễn tả hàm số nghòch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên đi xuống.
Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên đi lên.
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thò hàm số (đi lên trong
khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
* Nhận xét: Khi x > 0 nhận các giá trò túy ý ta nói x dần tới +, khi x < 0 và x
nhận các giá trò tùy ý ta nói x dần tới -. Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới +.
III- TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Hàm số y = f(x) với tập xác đònh D.
 là hàm số chẵn nếu  x  D thì -x D và f(-x) = f(x).
 là hàm số lẻ nếu  x  D thì -x  D và f(-x) = -f(x).
* Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.
2. Đồ thò của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
 Đồ thò của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Đồ thò của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
y

y

y = x3

y=x

2

x

 Cho bằng công thức y = f(x).
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu
thức f(x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
M  x; f ( x )  trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y
= f(x) là phương trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).
 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x).
Chú ý:
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số



f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1

0

x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

x1, x2  K : x1  x2 

f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1

0

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý:
+ Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.
+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


-

Đồ thò: Đồ thò hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b);
B(

b
;0 )
a
y

y
y = ax

y = ax

O

x

x
O
y = ax + b

y = ax + b

II- HÀM SỐ HẰNG y = b
Đồ thò hàm số y = b là một đường
thẳng song song hoặc trùng với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b).
Đường thẳng này gọi là đường thẳng

trên khoảng (0;+  ).
 Bảng biến thiên:
x -
+
y

0

+
+

0

 Đồ thò:
Trong nửa khoảng [0; +  ) đồ thò của hàm số y = x

y

trùng với đồ thò của hàm số y = x.
Trong khoảng (-  ; 0) đồ thò của hàm số y = x
trùng với đồ thò của hàm số y = -x
* Chú ý: Hàm số y = x là hàm số chẵn, đồ

1
-1

O

1


ta có thể vẽ hai đường thẳng y=ax+ b
và y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số bậc hai cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a  0) có tập xác đònh D = R.
I- ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
1. Nhận xét:
a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a  0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có
trục tung là trục đối xứng (đường thẳng x = 0). Khi đó:
 a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thò và y  0 với mọi x.
 a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thò và y  0 với mọi x.
y

y

O

x

x
O

;
) , có
2a 4a

trục đối xứng là đường thẳng x = 

b
.
2a

Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
3. Cách vẽ parabol y = ax2 + bx + c (a  0):
 Xác đònh tọa độ của đỉnh I (
 Vẽ trục đối xứng x = 

b 
;
).
2a 4a

b
.
2a

 Xác đònh tọa độ các giao điểm của parabol với các trục tọa độ:
Giao với trục tung: x = 0  y = c
Giao với trục hoành: y = 0  ax2+bx+c=0, giải phương trình tìm x (nếu có).
 Vẽ parabol.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


O

2a

4a

a>0

a0
a
b
),
2a

b
),
2a

nghòch biến

b
;+  ).
2a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Nghiệm của đa thức:
Nghiệm của đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + an-1x + an là số x = x0 làm
cho đa thức bằng 0.

§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I- KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn:
 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) trong đó
f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của
phương trình (1).
 Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
một nghiệm của phương trình (1).
 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghóa là tìm tập
nghiệm của nó).
 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình:
Điều kiện xác đònh của phương trình (1) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có
nghóa.
3. Phương trình nhiều ẩn:
Đó là phương trình có dạng F(x, y, z,...) = G(x, y, z, ...), trong đó F(x, y, z,...)
và G(x, y, z, ...) là những biểu thức của nhiều biến.
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x 0 và y = y0
(với x0, y0 là số) thì ta gọi cặp số (x0, y0) là một nghiệm của nó.
Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … cũng được hiểu tương tự.
4. Phương trình chứa tham số:
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò
ẩn số còn có các chữ cái khác được xem như hằng số và được gọi là tham số.
Việc giải phương trình chứa tham số thường được gọi là giải và biện luận
phương trình.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



3. Phương trình hệ quả:
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) đều là nghiệm của phương trình
f1 ( x)  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x)  g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phương
trình f ( x)  g ( x) .
Ta viết: f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình
ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
 x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
P( x )


I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất:
 Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0:
 Khi a  0 phương trình ax+b=0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai:
Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0):
3. Đònh lý Vi-ét:
 Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1, x2 thì
b
a

S = x1  x 2   , P = x 1 x 2 
u  v  S

c
a

 Ngược lại, nếu hai số u, v có 
thì u, v là các nghiệm phương trình:
 uv  P
x2–Sx+P=0.
II- PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối ta có thể dùng đònh nghóa
 A nếu A  0
hoặc
 A nếu A  0

của giá trò tuyệt đối: A  