SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”


PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
I, Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thường xuyên của ngành giáo
dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập
bộ môn Đại số và giải tích.
II, Cơ sở lý luận:
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
III, Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích và
nhất là phần phương trình lượng giác
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I, Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác:
- Phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình: sinx = a
+ Phương trình: cosx = a
+ Phương trình: tanx = a
+ Phương trình: cotx = a
- Một só phương trình lượng giác thường gặp:
+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

1 + tan tan b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b

tan(a − b) =

Công thức nhân đôi:
cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =

2 tga
1 − tg 2 a

Công thức hạ bậc:
cos2a =
sin2a =

1 + cos 2a
2
1 − cos 2a
2

Công thức biến đổi tích thành tổng:
1

cosacosb = 2 [cos(a + b) + cos(a - b)]
1
[cos(a − b) − cos(a + b)]

a+b
a−b
sin
2
2

B, Nội dung:
I, Phương trình lượng giác cơ bản:
Lý thuyết:
Phương trình: sinx = a ⇔ x = α + k2π,
k∈Z
và x = π − α + k2π, k ∈ Z
Hay: sinx = a ⇔ x = arcsinα + k2π,
k∈Z
và x = π − arcsinα + k2π, k ∈ Z
Đặc biệt:
π
2
π
−2

sinx = -1 ⇔ x =

+ k2π, k ∈ Z

sinx = 1 ⇔ x =

+ k2π, k ∈ Z

sinx = 0 ⇔ x = kπ,

d ) tan ( x + 150 ) =

2
2

3
3

Kết quả:

4


π

 x = 6 + kπ
a) 
(k ∈ Z )
 x = π + kπ

3
1 π
π
c) x = − − + k
(k ∈ Z )
2 24
4

 x = −800 + k1800
b) 

−

π
π

2

c ) x = −2 +

π
+ kπ
2

π

 x = 2 + k 2π
d) 
 x = π + k 2π

6
9

(k ∈ Z )

Chú ý: Các câu: b, c, d cần biến đổi về cùng hàm số lượng giác ( dùng công thức 2
góc phụ nhau)
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
5


a ) 2sin x + 2 sin 2 x = 0

b) sin 2 2 x + cos 2 3 x = 1
c) tan 5 x.tan x = 1
2π 

6
2π
4π

 x = 105 + k 21
d) 
(k ∈ Z )
 x = − 18π + k 4π

95
19

c) x =

Chú ý: Cần chọn phương pháp phù hợp để giải phương trình một cách nhanh nhất
Cụ thể câu a: đưa về phương trình tích
Câu d: có thể dùng công thức hạ bậc
II, Một số phương trình lượng giác thường gặp:
Lý thuyết:
1, Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: at + b = 0 (1)
Trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0), t là một trong các hàm số lượng giác
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình
về dạng cơ bản.
2, Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Dạng: at 2 + bt + c = 0
Trong đó a, b, c, là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
3, Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx + bcosx = c (1)
Với a, b, c ∈ R; (a 2 + b 2 ≠ 0)

2

2

( 1) ⇔ cos α sin x + sin α cos x =
⇔ sin ( x + α ) =

c
a 2 + b2

c
a + b2
2

phương trình:
c

a + b2
2

(*)

6


Phương trình trên là phương trình lượng giác cơ bản.
Bài tập:
Bài tập1: Giải các phương trình sau:
a ) 2 cos x − 2 = 0
b) 3 tan 2 x − 3 = 0

π
+ k 2π , ( k ∈ Z )
2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a ) 3sin x + 4 cos x = 5
b) 2sin x − 2 cos x = 2
c) sin 2 x + sin 2 x =

1
2

d ) 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13

Kết quả:
a ) x = α + k 2π

3
4

 sin α = ; cos α = ÷ ,
5
5


5π

 x = 12 + k 2π
b) 
 x = 13π + k 2π

+ kπ
2

12
5

 sin α = − ; cos α = ÷ ,(k∈Z)
13
13 


Chú ý: tuỳ từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập
khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể như câu b,
c).
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
7


a ) 3 ( sin x + cos x ) + 2sin 2 x + 3 = 0
b) sin x − cos x + 4sin x cos x + 1 = 0
c) sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0
d ) sin 3 x + cos3 x = 1

Kết quả:

 x = π + k 2π

π

a )  x = − + k 2π

b) 
, (k ∈ Z )
 x = 3π + k 2π

2

 x = k 2π
d) 
, (k ∈ Z )
 x = π + k 2π

2

Chú ý: Khi giải phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ
đặt: t = sinx + cosx, với t ≤ 2
hay: t = sinx - cosx, với t ≤ 2
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

(

)

a ) 3sin 2 x + 8sin x cos x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0
b) 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4
1
c) sin 2 x + sin 2 x − 2 cos 2 x =
2
2
d ) 2sin x + 3 + 3 sin x cos x + 3 − 1 cos 2 x = − 1


b,

c,
d,


π
 x = + kπ
2

1

, (k ∈ Z )
 x = arcsin 3 + k 2π

1

 x = π − arcsin 3 + k 2π

 x = kπ
 x = arctan( −5) + kπ , ( k ∈ Z )


π

 x = − 6 + kπ
, (k ∈ Z )

 x = − π + kπ


π

 x = − 6 + k 2π
⇔
, (k ∈ Z )
 x = 7π + k 2π

6

2,
π
π

 tan x = ±1
x = 4 + k 2
(2) ⇔  tan x = ± 1 ⇔ , (k ∈ Z ) ⇔ 
 x = ± arctan 1 + kπ , (k ∈ Z )

2

2

3,
3π

sin x = −1
x=
+ k 2π

2


 tan x = 0

 x = kπ
⇔  tan x = 1(lo¹i) ⇔ 

 x = arctan( −3) + kπ ,(k ∈ Z )

 tan x = −3

5,
(5)

⇔ 2 tan 3 x + 2 tan 2 x − tan x − 1
π

 tan x = 1
 x = 4 + kπ
⇔
⇔
, (k ∈ Z )
 tan x = ± 1
 x = ± arctan 1 + kπ

2

2

6,
2 tan x

+ Dùng công thức hạ bậc.
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng tính chất:

A = 0
A2 + B 2 = 0 ⇔ 
B = 0

+ Áp dụng tính chất:

 A ≥ M ( hay A ≤ M )

A = M
 B ≥ N ( hay B ≤ N ) ⇔ 
B = N
A + B = M + N


Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phương trình:
10


1, cosxcos7x = cos3xcos5x

(1)

2, sin2x + sin4x = sin6x

(2)

4

(k∈Z)

2,
( 2 ) ⇔ 2sin 3x cos x = 2sin 3 x cos 3 x
⇔ sin 3x ( cos 3 x − cos x ) = 0
 sin 3 x = 0
⇔
 cos3 x = cos x
π

π

x = k 3
x=k


3
⇔  x = kπ ( k ∈ Z ) ⇔ 
( k∈Z)
π


x=k
π

x = k
2
2

5

x = k π
2


( k ∈Z)

π

x = k 5
⇔
x = k π

2

( k ∈Z)

4,
( 4 ) ⇔ ( sin x + cos x ) ( sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x )
= cos 2 x − sin 2 x

⇔ ( sin x + cos x ) ( 1 − sin x cos x ) = ( sin x + cos x ) ( cos x − sin x )
(a)
sin x + cos x = 0
⇔
sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0 (b)
π
3π


π
+ kπ , x = k 2π , x = − + k 2π
4
2

( k ∈Z)

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a ) cos 5 x cos 4 x = cos 3 x cos 2 x
b) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x
c) sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x = 0
d ) tan x + tan 2 x = tan 3 x

Giải tương tự như bài tập 1
Kết quả:
π

x = k 7
a) 
, (k ∈ Z )
x = k π

2

2π

 x = ± 3 + k 2π
b) 
, (k ∈ Z )
x = π + k π

π

x ≠ 6 + k 3


⇒ Nghiệm:

x=k

π
3

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a ) sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x = 2
3 − cos 6 x
b) sin 4 x + cos 4 x =
4
2
c) 2 cos 4 x + sin10 x = 1

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Kết quả:
π

 x = 2 + kπ

π
π
a)  x = + k , (k ∈ Z )


c) tan x + cot 2 x = 2cot 4 x

Kết quả:
a) Đk:

b) Đk:
c) Đk:

π
x ≠ + kπ
2

. Nghiệm:

3π

 x = 4 + kπ . ( k ∈ Z )

 x = kπ

π

 x ≠ 2 + kπ
π
x=k .

.
Nghiệm:
3
x ≠ π + k π


8
3
a) 
, (k ∈ Z )
x = π − k π

16
2

b) x = kπ , ( k ∈ Z )

3π

x
=
+ k 2π

2
c) 
, (k ∈ Z )
 x = ± π + kπ

6

IV, Áp dụng giải hệ phương trình lượng giác:
Cách giải:
* Cách 1: Giải từng phương trình trong hệ rồi tìm nghiệm chung của các phương
trình đó.
* Cách 2: Giải một phương trình đơn giản nhất của hệ rồi thay nghiệm tìm được vào

Giải:
1,
* Cách 1:
- Giải (1) ta
- Giải (2) ta

π

 x = 4 + k 2π (a )
( k ∈Z)
được:  3π
x =
+ k 2π (b)

4
π
được: x = 4 + lπ ( l ∈ Z ) (c) .

14


Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k.
còn

(b ) ⇔ x =

π 1

+  + 2k  π
4 2

π
+ lπ ( l ∈ Z )
4

Tương tự:
2,

x = k 2π

,

(k ∈ Z )

3,

x = k 4π ,

(k ∈ Z )

4,

x=

π
+ kπ , ( k ∈ Z )
2

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1,
2,

Vì cos2x

≤

1 nên 2cos2x

≤

2.

15


Vì sin2x

≤

0 nên 3sin25x + 2

Do đó (*)

cos 2 x = 1
⇔ 2
sin 5 x = 0

≤

2.

(*.a )

π
+ kπ
2

, (k∈ Z)

5, Vô nghiệm
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN
Đối với các bài toán có liên quan đến phương trình lượng giác trong khi giảng dạy
giáo viên cần:
+ Nhắc lại các công thức biến đổi đã học ở lớp 10.
+ Nêu các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
+ Nêu phương pháp chung để giải từng loại bài tập.
+ Sau khi giải phương trình xong cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của
phương trình.
C. KIẾN NGHỊ:
* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh
* Cần bổ sung bài tập về hệ phương trình.
* Cần bổ sung tài liệu tham khảo cho thầy.

16