Môn Hình Học 7

Sáng kiến kinh nghiệm

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT HƠN PHẦN TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG
TUYẾN CỦA TAM GIÁC TỪ MỘT BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
A ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lí do chọn đề tài:
Trong hoạt động dạy học toán ở trường THCS, ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản
cho học sinh, chúng ta cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán,khả năng phát triển tư duy, suy
luận, và giúp học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết qủa các bài toán từ bài toán gốc.
Nhưng trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên, một phần
do sức ép của chương trình nên giáo viên chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán,
chưa có thói quen khai thác, khắc sâu các bài toán thành một chuỗi các bài toán liên quan.
Nên học sinh khi gặp các dạng toán khác nhau chưa biết bắt đầu từ đâu ,vận dụng kiến
thức để giải, đồng thời chưa phát triển được tư duy, năng lực sáng tạo của mình. Vì vậy
kết quả kiểm tra định kỳ hay thi khảo sát, thi học sinh giỏi kết quả còn thấp.
Trong quá trình dạy học toán tôi nhận thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen
thuộc thành các bài toán mới từ dễ đến khó , hay tìm các cách giải khác nhau cho một bài
toán, từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp dạy học hay và hiệu quả
nhất, đồng thời gây được sự hứng thú, óc sáng tạo,tư duy lo gic, khơi dậy niềm đam mê
yêu thích môn học của học sinh.
Bài tính chất ba đường trung tuyến của tam giác trong chương IV hình học lớp 7 học
kỳ II hiện hành là bài học đầu tiên của chương về các đường đồng quy của tam giác,
chứa đựng các kiến thức cơ bản với những ứng dụng thực tế có tính thực tiễn cao, là
nền tảng cho các bài học tiếp theo.
Tuy vậy kiến thức trang bị cho học sinh thông qua bài học trong sách giáo khoa được
trình bày khá sơ lược và hạn hẹp, phần nào hạn chế việc tiếp thu và gây khó khăn trong
việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập của học sinh, đặc biệt là tính sáng tạo, tư duy phát triển
năng lực của học sinh .

thích môn học, từ đó nâng cao hơn kết quả học tập. Từ một bài tập SGK mà có thể phát
triển thành nhiều bài tập khác giúp học sinh chịu khó tìm tòi , sáng tạo trong quá trình suy
nghĩ để từ đó hình thành phương pháp giải.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài:
Hệ thống bài tập trong chương trình toán lớp 7
4. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này được tôi viết trong quá trình giảng dạy tại trường THCS Quỳnh Lập, một
trường thuộc vùng khó khăn của huyện Quỳnh Lưu . Đối tượng là học sinh lớp 7C, 7E, 7G
trường THCS Quỳnh Lập năm học 2009-2010 và phạm vi áp dụng là bài dạy phần chủ đề
tự chọn môn toán lớp 7.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Bài toán gốc:
bài tập 28 SGK trang 67 hình học 7 tập 2.
Cho ∆DEF cân tại D, với đường trung tuyến DI
a. Chứng minh ∆DEI= ∆DFI
b. Các góc DIE và DIF là những góc gì?
c. Biết DE= DF = 13 cm, EF = 10 cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến DI?
D

E
Giải:

I

F

∆DEI và ∆DFI có:
DE= DF(gt)
DI cạnh chung

HS:

GV: Từ đó em nào có thể rút ra nhận xét gì về đường trung tuyến ứng với cạnh đáy
của tam giác cân?
Nhận xét: Trong tam giác cân đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường
cao, đường trung trực, đường phân giác.
* Câu hỏi 2: Kẻ 2 trung tuyến EN và FM. Hãy chứng minh EN=FM?
( Để chứng minh EN=FM ta cần chứng minh tam giác nào bằng nhau?)
D
M
G
E

N
I

HS:

F
∆DEN và ∆DFM có:
DE= DF (gt);
∠ D chung;
DM= DN=

Hoặc:

Lê Minh Đạt

1
DE ⇒ ∆DEN = ∆DFM (c.g.c)

⇒ ∆EGM = ∆FGN (c.g.c) nên EM = FN (cạnh tương ứng) ⇒ DE = DF
Nên:
∆DEF cân tại D.
GV: Từ đó có thể rút ra được nhận xét gì về một tam giác có hai đường trung tuyến
bằng nhau?
Nhận xét: “ Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân”.
* Câu hỏi 4: Em nào có thể chứng minh được tam giác DIN cân?
HS:

∆DIF vuông (vì ∠ I = 900 ) có IN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ IN= DN = FN =

1
DF ⇒ ∆DIN cân tại N.
2

* Câu hỏi 5: Chứng minh NI song song với DE; MI song song với DF; MN song song
với EF?
( dựa vào các tính chất của tam giác cân)
D
M
G
E

N
I

HS:

Lê Minh Đạt

2

Từ (1) và (2) ta có: ∠ DEF = ∠ DMN
Nên: MN ∥ EF (hai góc đồng vị bằng nhau)
GV: Từ đó em nào có thể rút ra được nhận xét gì về các đoạn thẳng nối trung điểm
2 cạnh của một tam giác cân với cạnh còn lại?
Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác cân thì song song với
cạnh còn lại ”.
Từ đó ta có bài toán tổng quát hơn:
*Câu hỏi 6: Cho tam giác DEF với đường trung tuyến EN,MF. Chứng minh MN
song song với EF? so sánh độ dài MN và EF?
D
N
M
E
HS:

A
F

Vẽ điểm A sao cho N là trung điểm của MA
∆DNM và ∆FNA có:
DN= FN (gt)
∠DNM= ∠FNA(đối đỉnh)
MN= NA (cách dựng)
⇒ ∆DNM= ∆FNA (c.g.c)
⇒
MD= FA(cạnh tương ứng) và ∠D= ∠NFA(góc tương ứng)
⇒
DM ∥ FA(góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Nhận xét: “ Đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của một tam giác thì song song với
cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh ấy ”.
Hướng khai thác thứ 2:
Chủ yếu dùng các tính chất đường trung tuyến của tam giác để chứng minh đường
thẳng đồng quy, song song, so sánh độ dài các trung tuyến với chu vi tam giác...
* Câu hỏi 7: Nếu G là trọng tâm của tam giác cân DEF. Thì tam giác GEF là tam
giác gì? vì sao?
D
M

N
G

E

I

F

Vì G là trọng tâm của ∆DEF nên:

HS:

2
EN
3
( tính chất đường trung tuyến của tam giác)
2
FG = FM
3

3

GF=

Từ (1), (2) ⇒ GD = GE = GF.

2
FM ; (2)
3

GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về trọng tâm của tam giác đều?
Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác đều thì cách đều 3 đỉnh của tam giác đó”.
*Câu hỏi 9: Gọi K là trung điểm của DG, H là trung điểm của FG. Chứng minh:
GN, FK, DH đồng quy?
D
K
M

HS: GN, FK, DH là các đường trung tuyến của ∆DGF
⇒ GN, FK, DH đồng qui tại một điểm.

N
G
H

E

I

F


N
7

Trường THCS Quỳnh Lập


Môn Hình Học 7

Sáng kiến kinh nghiệm
E

I

HS:

F

Trên tia đối của NE vẽ điểm K sao cho NK = NE
Ta có: ∆DNE = ∆FNK (c.g.c) ⇒ DE= FK (cạnh tương ứng)
Trong ∆EFK có: EF + FK > EK (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ EF + DE > 2EN
⇒
Tương tự ta có:

FE + DE
> EN (1)
2
FD + DE
> DI (2)

2

Vậy: chu vi của ∆MIN bằng một nửa chu vi ∆DEF
GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về chu vi của tam MIN với chu vi tam
giác DEF khi M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF?
Nhận xét: “Nếu M, I, N lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác DEF thì chu vi
tam giác MIN bằng nửa chu vi tam giác DEF”.
*Câu hỏi 13: Trên tia DG lấy điểm K sao cho G là trung điểm của DK. So sánh độ
dài các cạnh của tam giác EGK với các trung tuyến của tam giác DEF ?

Lê Minh Đạt

8

Trường THCS Quỳnh Lập


Môn Hình Học 7

Sáng kiến kinh nghiệm

D
M

G

N

S
E


2
MF
3

GV: Từ đó ta có thể rút ra được nhận xét gì về các cạnh của tam giác EGK với các
trung tuyến của tam giác DEF?
Nhận xét: Nếu G là trung điểm của DK thì các cạnh của tam giác EGK lần lượt bằng
2
các trung tuyến của tam giác DEF
3

*Câu hỏi 14: Chứng minh các đường trung tuyến của tam giác EGK lần lượt bằng
một nửa các cạnh của tam giác DEF ?
HS:

ta có: EI =

1
EF (gt)
2

Gọi Q là trung điểm của EK, S là trung điểm của EG
∆SGK = ∆NGD (c.g.c)

Lê Minh Đạt

⇒ SK= ND=
9



Vậy: Ba đường trung tuyến của tam giác EGK lần lượt bằng một nửa các cạnh của tam
giác DEF.
*Câu hỏi 15: Từ M kẻ đường thẳng song song với DI cắt NI tại K . Chứng minh KF
song song với EN?
D
M

N
G

E

I

F

K
HS:

ta có: IN ∥ MD và IN = MD (cmt) ; KM ∥ DI (gt); MI chung (1)
∆DMI = ∆KIM (g.c.g)
⇒ IK = DM ( cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2)
⇒ IN = IK .
⇒ ∆EIN = ∆FIK (c.g.c) ⇒ ∠NEF =∠KFE (góc tương ứng)
⇒ EN ∥ KF (hai góc so le trong bằng nhau)

*Câu hỏi 16: Hãy so sánh độ dài các cạnh của tam giác KFM và các trung tuyến của
tam giác DEF?


M

N
G

E

I

F

1
EH.DN
2
1
S ∆EFN = EH.FN
2

S ∆EDN =

Mà DN = NF (gt)
⇒ S ∆EDN = S ∆EFN
GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về diện tích hai tam giác mà đường trung tuyến tạo ra?
Nhận xét: Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành 2 tam giác nhỏ
có diện tích bằng nhau.
*Câu hỏi 19: Hãy so sánh diện tích các tam giác DEG , tam giác DGF và tam giác
EGF?

Lê Minh Đạt

S ∆EGF =

HS:

Vậy:
S ∆EGD = S ∆FGD = S ∆EGF
GV: Từ đó rút ra nhận xét gì về các diện tích tam giác mà trọng tâm của tam giác đó
tạo ra?
Nhận xét: “ Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích
bằng nhau và bằng

1
diện tích tam giác đó”.
3

*Câu hỏi 20: So sánh diện tích của các ∆DGM , ∆DGN , ∆FGN , ∆FGI , ∆EGI ,
∆EMG?
HS:

1
EK.MG
2
1
S ∆EFM = EK.MF
2
1
Mà MG = MF (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
3
1
1

Môn Hình Học 7
Nhìn chung kết quả là rất đáng ghi nhận, hầu hết học sinh có sự tiếp thu tốt hơn, hiểu bài
hơn, hứng thú hơn trong tiết học. Có những bài tập củng cố kiến thức cũ, rèn kĩ năng và
biết vận dụng để giải bài tập về chứng minh tam giác bằng nhau, chứng minh đoạn thẳng
song song và bằng nhau, sử dụng định lí Pi Ta Go để tính độ dài đoạn thẳng, tam giác cân ,
tam giác đều, bất đẳng thức tam giác so sánh độ dài đoạn thẳng, chu vi tam giác, diện tích
tam giác.....
Một yếu tố để làm cho bài học hấp dẫn hơn là trong các bài tập phát triển thêm đều có
tính thực tiễn, rất thiết thực, dễ hiểu. Nó phát triển tư duy, tính sáng tạo, logic, trí thông
minh và năng lực, tính suy nghĩ độc lập , khơi dậy sự hứng thú, yêu thích môn học cho học
sinh .
Sau khi học xong phần này, đại đa số học sinh đều giải được các bài tập liên quan đến
tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, chứng minh tam giác bằng nhau, đoạn thẳng,
góc bằng nhau, so sánh đoạn thẳng, chứng minh đoạn thẳng song song, so sánh chu vi,
diện tích tam giác... mà lâu nay học sinh chưa thành thạo hướng tư duy để tìm ra phương
pháp giải.
Qua việc theo dõi kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh thông qua kiểm tra 15 phút, vở
bài tập, kiểm tra một tiết. Kết quả 3 lớp 7C , 7E, 7G với 102 học sinh, kết quả cụ thể như
sau:
a. Khi chưa áp dụng cách dạy trên kết quả là:
sĩ
số
102

Giỏi
SL
10

%
9,8

số
102

Giỏi
SL
12

%
11,8

Khá
SL
21

%
20,6

TB
SL
57

Yếu
%
55,8

SL
11

%
10,8

nghiệp, và phải xây dựng được mối quan hệ tốt, gần gũi thân thiện với học sinh, là chỗ
dựa, là tấm gương để các em noi theo.
D. PHẦN KẾT:
Sau một thời gian nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo, không ngừng nỗ lực cố gắng để sao cho
bài dạy có hiệu quả cao nhất, tôi đã hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Giúp học
sinh học tốt hơn phần tính chất ba đường trung tuyến của tam giác từ một bài tập trong
SGK”.
Do tuổi nghề còn trẻ, năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót, rất mong các
đồng chí, đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài này có ích hơn, thiết thực hơn và hiệu quả
hơn .
Xin chân thành cám ơn.
Quỳnh Lập, ngày 20 tháng 04 năm 2010
Người viết

Lê Minh Đạt

Lê Minh Đạt

14

Trường THCS Quỳnh Lập