i

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

VŨ THỊ PHƯƠNG DUNG
BÙI KIM TÙNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM VÀ
ỨNG DỤNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CHO HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. PHẠM SỸ NAM

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016


ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.

TP.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 5 năm 2016
TÁC GIẢ LUẬN VĂN
Vũ Thị Phương Dung
Bùi Kim Tùng

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa ................................................................................................................. i
Lời cam đoan ................................................................................................................. ii
Lời cảm ơn .................................................................................................................... iii
Mục lục ........................................................................................................................... 1
Danh mục các cụm từ viết tắt....................................................................................... 3
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 4
II. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................................ 5
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................................................. 5
IV. Đóng góp của luận văn ........................................................................................... 5
Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm ........................................................... 6
1.1. Định nghĩa ....................................................................................................... 6
1.2. Ý nghĩa ............................................................................................................ 7
1.3. Vai trò của đạo hàm trong chƣơng trình Toán phổ thông ............................... 9
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống .............................................................. 9
2. Các khái niệm và phân loại cấp độ nhận thức ..................................................... 10
2.1. Khái niệm năng lực ....................................................................................... 10
2.2. Các cấp độ nhận thức .................................................................................... 11
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh ............................................................................... 12
3.2. Về giảng dạy của giáo viên ........................................................................... 13
3.3. Biện pháp ....................................................................................................... 13



 : Tồn tại ít nhất.

 : Suy ra.

 : Vô cùng.

 ;  : Khoảng.
 ; , ; 

: Nửa khoảng.

 ;  : Đoạn.
VT: Vế trái.
VP: Vế phải.
PT: Phƣơng trình.
THPT: Trung học phổ thông.
GV: Giáo viên.
HS: Học sinh.
SGK: Sách giáo khoa.
HD: Hƣớng dẫn.
PPDH: Phƣơng pháp dạy học.


4

MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài


Mục tiêu của khóa luận là phân loại các dạng bài tập về đạo hàm và xây dựng hệ
thống bài tập phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển năng lực
trong học Toán.
III.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:
+ Hệ thống các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
+ Xây dựng hệ thống bài tập đạo hàm và ứng dụng nhằm phát triển năng lực cho HS.
IV.

Đóng góp của luận văn

Về mặt lý luận, tổng hợp các kiến thức về năng lực, cấp độ nhận thức và phân
tích ý nghĩa của kiến thức đạo hàm trong chƣơng trình phổ thông.
Về mặt thực tiễn, khóa luận là tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy
và học tập về khái niệm đạo hàm và ứng dụng.


6

Chương I
KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa, vai trò và ý nghĩa của đạo hàm.
1.1. Định nghĩa.
1.1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
1.1.1.1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a, b) và x0  (a, b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)


Bƣớc 4: Kết luận.
[9]

y
.
x


7

1.1.2. Định nghĩa đạo hàm cấp cao.
Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm tại mỗi điểm x   a; b  . Khi đó, hệ thức
y '  f '  x  xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm y '  f '  x  lại có đạo

hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y ' là đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x  tại x và kí
hiệu là y '' hoặc f ''( x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y  f  x  đƣợc định nghĩa tƣơng tự và kí hiệu là y ''' hoặc

f '''( x) hoặc f 3  x  .
+ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  1 , kí hiệu là f  n1  x   n  , n  4  .
Nếu f  n1  x  có đạo hàm thì đạo hàm của nó đƣợc gọi là đạo hàm cấp n của f ( x) , kí
hiệu là y   hoặc f  n  x  .
n

f

n


Đạo hàm cấp hai f ''(t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s  f (t ) tại thời điểm t.
Xét chuyển động xác định bởi phƣơng trình s  f (t ) , trong đó s  s(t ) là một hàm số có
đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v  t   f '  t  . Lấy số gia
t tại t thì v(t ) có số gia tƣơng ứng là v . Tỷ số

v
đƣợc gọi là gia tốc trung bình của
t

chuyển động trong khoảng thời gian t . Nếu tồn tại v '(t )  lim

t 0

v
  (t ), ta gọi v '(t )   (t )
t

là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t. Vì v '(t )   (t ) nên  (t )  f ''(t ).


9

1.3. Vai trò của đạo hàm trong chương trình Toán phổ thông.
Trong chƣơng trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ
vai trò chủ đạo. Đạo hàm là công cụ mạnh giúp chúng ta nghiên cứu nhiều tính chất
của hàm số nhƣ tính đồng biến, nghịch biến, cực trị, lồi lõm, điểm uốn…
Phƣơng pháp đạo hàm giúp chúng ta giải nhiều bài toán đại số nhƣ: giải phƣơng trình,
bất phƣơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1.4. Vai trò của đạo hàm trong cuộc sống.
Khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng trong điện từ học, động lực học, kinh tế

Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

 Trong hoá học:
Trong Hóa học, chúng ta có các bài toán liên quan đến khái niệm đạo hàm đó là: bài
toán về tốc độ phản ứng.
 Các bài toán kinh tế :
Qua số liệu thông kê, ngƣời ta nhận định rằng, doanh thu của công ty FPT sau t năm
tính từ đầu năm 2010 là: R(t )  5t 2  7t  90 tỷ đồng. Hãy tính tốc độ thay đổi phần trăm
doanh thu của công ty vào đầu năm 2016 ?
 Trong xây dựng:
Bài toán cực tiểu của Bác Thợ Xây (ứng dụng đạo hàm tìm cực đại, cực tiểu)
Bạn muốn xây dựng một bình chứa nƣớc hình trụ thể tích 160 m3 . Đáy bằng bê tông giá
250.000 VND/m2 , thành bằng tôn, giá 100.000 VND/m2 , bề mặt bằng nhôm không han

giá 150.000 VND/m2 . Vậy kích thƣớc của bình chứa nƣớc nhƣ thế nào để số tiền xây
dựng nó là ít nhất ?
Nhƣ vậy: Đạo hàm cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn
đề trong thực tế. Do vậy, trong dạy học khái niệm đạo hàm thông qua các bài tập cần
giúp học sinh thấy rõ ứng dụng này.
2. Các khái niệm và phân loại mức độ nhận thức.
2.1. Khái niệm năng lực.
Các nhà tâm lí học cho rằng năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lí
của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo
cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.


11

Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng lực chuyên môn,

Đạt đƣợc cấp độ nhận thức cao nhất này ngƣời học có khả năng tạo ra cái mới,
xác lập thông tin, sự vật mới trên cơ sở những thông tin, sự vật đã có.
Từ khóa: Thiết lập, tổng hợp, xây dựng, thiết kế, đề xuất….
Dựa vào các mức độ nhận thức, trong dạy học toán, nhằm giúp học sinh phát triển năng
lực, chúng tôi thiết kế các bài tập theo các cấp độ nhận thức trên [2].
3. Thực trạng việc dạy học giải bài tập đạo hàm và ứng dụng ở các trường THPT
3.1. Về việc học của học sinh:
Mặc dù đa số HS đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất
lƣợng học tập môn Toán chƣa thật sự cao, vẫn chƣa đồng đều. Chất lƣợng chỉ tƣơng
đối ổn định ở lớp chọn và lớp nâng cao. Còn đa số các lớp thuộc chƣơng trình chuẩn
chất lƣợng thƣờng rất thấp. Theo suy nghĩ của chúng tôi, có những nguyên nhân sau:
+ Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều, trong khi đó các bài tập trên
lớp và trong sách giáo khoa chƣa thực sự phù hợp với các đối tƣợng học sinh.
+ HS thƣờng mắc phải những sai sót rất cơ bản trong quá trình học tập, chẳng hạn làm
sai từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cơ bản…
+ Có nhiều lỗ hỏng kiến thức vì vậy HS dễ chán nản và không thích học Toán. Khả
năng tiếp thu của HS còn hạn chế và chƣa linh động trong việc xử lý các tình huống
Toán học đơn giản nên kết quả học tập còn rất hạn chế.
+ Đa phần HS chƣa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, không thể hiện đƣợc ý
thức phấn đấu, vƣơn lên.
+ Chƣa thấy đƣợc ý nghĩa của việc học toán, khả năng liên hệ đến thực tiễn rất hạn chế,
đặc biệt khi học về đạo hàm, HS chƣa biết đƣợc đạo hàm đƣợc ứng dụng vào việc gì.
[2]


13

3.2. Về giảng dạy của giáo viên:
+ GV chƣa có các bài tập phù hợp để giúp HS yếu, kém hiểu hơn về khái niệm đƣợc
học. Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ

B. f (3)  0

D. f (3)  6

Đáp án: B.
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) . Số gia của đối số tại x0 là?
A. x0  x0  x

C. y0  y0  y

B. x  x  x0

D. y  y  y0

Đáp án: B.
Câu 3: Cho hàm số y  f ( x) . Số gia hàm số tại x0 là?
A. y  f  x0  x   f  x0 

C. y  f  x  x   f  x 

B. y  f  x   f  x0 

D. y  f  x0  x   f  x0 

Đáp án: A.
Câu 4: Cho hàm số y  f ( x) xác định tại x0 . Đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại x0 là?
A. f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
B.
x  x0


Đáp án: f '(3)  lim
x 3

y
=......?
x

y
3x   2 x
 lim
 lim(3  x)  0
x 3
x x3
x

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  1 tại x0  1 bằng định nghĩa?
Bài giải: Hàm số f  x   x 2  2 x  1 xác định trong một lân cận của x0  1 . Ta có:
f (1)  0
...(1)...

x
 lim

2

 2 x  1  0

x 1


x

0
x
x

Vậy f '(0)  1.


16

Đáp án:
(1): số gia của đối số
2
(2) : f  0  x   f  0    x    x    0=x.(x  1)


x.(x  1)
(3) :
 x  1
x
(4) : lim  x  1  1
x 0

1.3. Bài tập vận dụng.
1.3.1. Dạng toán 1:
Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 bằng định nghĩa.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện một trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc:


2

2

2

y 2  x 

 2x
x
x
2

y
 lim  2x   0
x 0 x
x 0
lim

Vậy f '(1)  0.
Cách 2:
Hàm số f  x   2 x 2  4 x  1 xác định trong một lân cận của x0  1 . Ta có:
f (1)  1
2 x 2  4 x  1  (1)

f ( x)  f (1)
2( x  1) 2
lim
= lim

 lim 

x 0 x
x 0 5  x

 5
lim

1
5

Vậy f '(2)  .

4  2  x   7
15  4x
x
 (3) 
3
3   2  x 
5  x
5  x


18

Cách 2:
Hàm số f  x  

4x  7
xác định trong một lân cận của x0  2 . Ta có:

Bài tập 3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số f  x  

x2  x  1
tại x0  3.
x 1

HD:
Cách 1:
Giả sử x là số gia của đối số tại x0  3 . Ta có:
f (3) 

13
4

 3  x    3  x   1  13  4  x   15x
f  3  x   f  3 
4
4x  16
 3  x   1
2

y 

2

y 4  x   15x

x x.(4x  16)
2


13
4

x 2  x  1 13

2
f ( x)  f (3)
x

1
4  lim 4 x  9 x  9  lim 4 x  3  15
lim
 lim
x 3
x 3
x 3 4  x  1 x  3 
x 2 4( x  1)
x 3
x 3
16

Vậy f '(3) 

15
.
16

1.3.2. Dạng toán 2:
 f1 ( x)
Cho hàm số f ( x)  

 x  1

x 1
x 1

tại x0  1.

HD:
f (1)  2
f '(1 )  lim
x 1

f ( x)  f (1)
 x  1  (2)
( x  1)
 lim
 lim
 lim(
1)  1
x

1
x

1
x 1
x 1
x 1
x 1


x0

HD:
f (0)  0
f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
sin x  0
sin x
 lim
 lim
1
x 0
x 0
x0
x
x

f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
tan x  0
tan x
 lim
 lim
1
x

0
x

HD:
1
f  a
2

 2 x  1 x  3  lim x  3   5
2 x2  7 x  3
 lim


1
1
1
2x 1
2x 1
2
x
x
x

lim f ( x)  lim
x

1
2

2

2




21

 x2
; x 1
y

f
(
x
)

.
Bài tập 4: Cho hàm số

ax

b
;
x

1

Tìm a, b để f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1.
HD:
f (1)  lim f ( x)  1
x 1

lim f ( x)  a  b

 lim
a
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

x 1

x 1

Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1  f '(1 )  f ' 1   a  2
Thay a  2 vào b  1  a ta đƣợc b  1
Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x0  1 khi và chỉ khi a  2, b  1.
1.3.3. Dạng toán 3:
Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x) trên khoảng  a, b  bằng định nghĩa.
PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bƣớc sau:
Bƣớc 1: Tính y  f  x  x   f  x  .
Bƣớc 2: Lập tỉ số

y
.
x

y
.

x 0 x
x 0 
lim

Vậy hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  ,   và f '( x)  3x 2 .
Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y  f ( x)  x3  5x2  2 x  3 trên khoảng  0,   bằng
định nghĩa.
HD:
Với mọi x thuộc khoảng  0,   , ta có:
y  f  x  x   f  x 
3
2
  x  x   5  x  x   2  x  x   3   x3  5 x 2  2 x  3


2
2
 x. 3 x  3 x.x   x   10 x  5x  2 



y
2
 3x 2  3x.x   x   10 x  5x  2
x
lim

x 0

y