i

Y BAN NHÂN DÂN TP. H CHÍ MINH
TR

NGă

IăH CăSÀI GÒN

V ăTH ăPH
NGăDUNG
BÙI KIM TÙNG

XỂYăD NGăH ăTH NG BÀIăT Pă OăHÀMăVÀă
NGăD NG NH MăPHÁTăTRI NăN NGăL Că
CHOăH CăSINH

KHÓAăLU NăT TăNGHI P
NGÀNH: S ăPH MăTOÁN
TRÌNHă

NG

IH

ă ÀOăT O:ă

IăH C

NG D N: TS. PH M S NAM



giúp đ t n tình c a Quý th y, cô, gia đình vƠ b n bè. Nhơn đơy chúng tôi xin đ

cg i

l i c m n chơn thƠnh nh t.
u tiên, chúng tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n Quý th y, cô trong Khoa
Toán –

ng d ng tr

chúng tôi có đ

ng

i h c SƠi Gòn đƣ t n tình gi ng d y su t b n n m h c đ

c n n t ng tri th c c ng nh kinh nghi m cu c s ng quý báu làm hành

trng cho chúng tôi sau này.
c bi t, chúng tôi xin chân thành c m n TS. Ph m S Nam. Th y lƠ ng

i đƣ

gi ng d y nh ng ki n th c n n t ng, t n tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa lu n m t
cách t t nh t. Ti p xúc v i th y chúng tôi h c h i đ

c cách th c làm vi c khoa h c, s

nhi t tình, tính c n th n trong nghiên c u và nh ng bài h c b ích trong cu c s ng.

M căl c ........................................................................................................................... 1
Danhăm căcácăc măt ăvi tăt t....................................................................................... 3
M ă

U

I.ăLýădoăch năđ ătài ........................................................................................................ 4
II.ăM cătiêuănghiênăc u ................................................................................................ 5
III.ăNhi măv ănghiênăc u.............................................................................................. 5
IV.ă óngăgópăc aălu năv n ........................................................................................... 5
Ch

ngăI

KI NăTH CăCHUNG
1.ă nhăngh a,ăvaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm ........................................................... 6
1.1.

nh ngh a ....................................................................................................... 6

1.2. Ý ngh a ............................................................................................................ 7
1.3. Vai trò c a đ o hƠm trong ch

ng trình Toán ph thông ............................... 9

1.4. Vai trò c a đ o hƠm trong cu c s ng .............................................................. 9
2.ăCácăkháiăni măvàăphânălo iăc păđ ănh năth c ..................................................... 10
2.1. Khái ni m n ng l c ....................................................................................... 10
2.2. Các c p đ nh n th c .................................................................................... 11
3.ăTh cătr ngăvi căd yăh căgi iăbàiăt păđ oăhàmăvàă ngăd ngă ăcácătr


2.4.

ng d ng đ o hƠm gi i ph

2.5.

ng d ng đ o hƠm gi i b t ph

ng trình ..................................................... 49

2.6.

ng d ng đ o hƠm gi i h ph

ng trình....................................................... 54

2.7.

ng d ng đ o hƠm tìm tham s đ ph
ph

ng trình có nghi m ............................ 39

ng trình ........................................................... 43

ng trình, b t ph

ng trình, h



 : T n t i ít nh t.

 : Suy ra.

 : Vô cùng.

 ;  : Kho
 ; , ; 

 ; :

ng.

: N a kho ng.

o n.

VT: V trái.
VP: V ph i.
PT: Ph

ng trình.

THPT: Trung h c ph thông.
GV: Giáo viên.
HS: H c sinh.
SGK: Sách giáo khoa.
HD: H



ng ki n th c vƠ th i gian c a ch

ng trình môn

Toán, ki n th c v đ o hƠm chi m t tr ng khá l n trong các đ thi THPT qu c gia vƠ
đ thi tuy n sinh vƠo các tr

ng

i h c, Cao đ ng vƠ Trung c p chuyên nghi p. B i

v y, vi c s d ng đ o hƠm c a hƠm s đ gi i toán lƠ m t n i dung r t c n thi t vƠ h u
ích đ i v i các em HS l p 12.
o hƠm lƠ n i dung c b n trong ch
phép tính c b n c a gi i tích.

ng trình toán ph thông, lƠ m t trong hai

o hƠm lƠ công c giúp chúng ta nghiên c u các tính

ch t c a hƠm s nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, tính l i lõm, c c tr , các đi m t i h n
c a hƠm s . V n d ng tính ch t c a đ o hƠm còn giúp HS gi i đ
nh : gi i ph

ng trình, b t ph

c các bƠi toán

is


Khóa lu n nghiên c u vƠ trình bƠy các n i dung sau:
+ H th ng các ki n th c c b n v đ o hƠm.
+ Xơy d ng h th ng bƠi t p đ o hƠm vƠ ng d ng nh m phát tri n n ng l c cho HS.
IV.

óngăgópăc aălu năv n

V m t lý lu n, t ng h p các ki n th c v n ng l c, c p đ nh n th c vƠ phơn
tích ý ngh a c a ki n th c đ o hƠm trong ch

ng trình ph thông.

V m t th c ti n, khóa lu n lƠ tƠi li u tham kh o cho GV vƠ HS trong gi ng d y
vƠ h c t p v khái ni m đ o hƠm vƠ ng d ng.


6

Ch

ngăI

KI NăTH CăCHUNG
1.

nhăngh a, vaiătròăvàăýăngh aăc aăđ oăhàm.
1.1.ă nhăngh a.
1.1.1.ă nhăngh aăđ oăhàmăt iăm tăđi m.
1.1.1.1. Khái ni m đ o hàm c a hàm s t i m t đi m.


B

c 1: Cho x0 s gia x, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 )

B

c 2: L p t s

B

c 3: Tính f '( x0 )  lim

B

c 4: K t lu n.

x
y
x x0

y
.
x

c:


7


1.2. Ý ngh a.
1.2.1.ăụăngh aăhìnhăh c.
1.2.1.1. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm:
Cho hƠm s y  f ( x) xác đ nh trên (a;b) và có đ o hƠm t i x0  (a , b). G i (C ) lƠ đ
th c a hƠm s đó.
o hƠm c a hƠm s y  f ( x) t i đi m x0 lƠ h s góc c a ti p tuy n M0T c a (C )
t i đi m M0  x0 ; f  x0   . [9]


8

1.2.1.2. Bài t p liên quan:
Lo i 1: Ph

ng trình ti p tuy n t i ti p đi m M  x0 ; y0  .

Lo i 2: Ph

ng trình ti p tuy n khi bi t h s góc.

Lo i 3: Ti p tuy n đi qua đi m A cho tr

c.

1.2.2.ăụăngh aăv tălý.
1.2.2.1.V n t c t c th i.
V n t c t c th i là đ o hàm c a v trí theo th i gian.
Xét chuy n đ ng th ng xác đ nh b i ph

ng trình s  s(t ) , v i s  s(t ) lƠ m t hƠm s có

t

c g i lƠ gia t c trung bình c a

chuy n đ ng trong kho ng th i gian t . N u t n t i v '(t )  lim

t 0

v
  (t ), ta g i v '(t )   (t )
t

lƠ gia t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t. Vì v '(t )   (t ) nên  (t )  f ''(t ).


9

1.3.ăVaiătròăc aăđ oăhàmătrongăch
Trong ch
vai trò ch đ o.
c a hƠm s
Ph

ngătrìnhăToánăph ăthông.

ng trình Gi i tích THPT, đ o hƠm vƠ ng d ng c a đ o hƠm gi
o hƠm lƠ công c m nh giúp chúng ta nghiên c u nhi u tính ch t

nh tính đ ng bi n, ngh ch bi n, c c tr , l i lõm, đi m u n…


ng đ dòng đi n ch y qua đo n dơy đó.

D th y, khi xét kho ng th i gian gi a hai th i đi m t1, t2 b t kì, l
qua ti t di n c a đo n dơy lƠ: Q(t 2)  Q(t1 )

ng đi n tích ch y


10

Khi đó, c

ng đ dòng đi n trung bình (t c lƠ, l

gian) trong kho ng th i gian nƠy đ
C

c đ nh ngh a nh sau: I tb 

ng đ dòng đi n t c th i I(t)

sau: I  lim
t1 t2

ng đi n tích trên m t đ n v th i
Q(t 2)  Q(t1 )
t2  t1

m t th i đi m t1 b t kì có th đ


c nh th nƠo đ s ti n xơy

d ng nó lƠ ít nh t ?
Nh v y:

o hƠm cung c p cho chúng ta m t công c m nh đ nghiên c u nhi u v n

đ trong th c t . Do v y, trong d y h c khái ni m đ o hƠm thông qua các bƠi t p c n
giúp h c sinh th y rõ ng d ng nƠy.
2. Cácăkháiăni măvàăphânălo iăm căđ ănh năth c.
2.1.ăKháiăni măn ngăl c.
Các nhƠ tơm lí h c cho r ng n ng l c lƠ t ng h p các đ c đi m, thu c tính tơm lí
c a cá nhơn phù h p v i yêu c u đ c tr ng c a m t ho t đ ng nh t đ nh nh m đ m b o
cho ho t đ ng đó đ t hi u qu cao.


11

Ng

i ta chia n ng l c thƠnh n ng l c chung, c t lõi vƠ n ng l c chuyên môn,

trong đó n ng l c chung c t lõi lƠ n ng l c c b n c n thi t lƠm n n t ng đ phát tri n
n ng l c chuyên môn. N ng l c chuyên môn lƠ n ng l c đ c tr ng

m t l nh v c nh t

đ nh, ví d nh n ng l c toán h c, n ng l c ngôn ng [1].
Tuy nhiên, n ng l c chung c t lõi vƠ n ng l c chuyên môn không tách r i quan
h ch t ch v i nhau.


i h c có kh n ng áp d ng thông tin đƣ bi t vƠo tình hu ng, đi u ki n m i.

T khóa đánh giá: V n d ng, áp d ng, tính toán, ch ng minh, gi i thích, xơy d ng…
Ng

i h c có kh n ng chia các n i dung, các thông tin thƠnh nh ng ph n nh

đ có th ch ra các y u t , các m i liên h , các nguyên t c c u trúc c a chúng.
T khóa: Phơn tích, lý gi i, so sánh, l p bi u đ , phơn bi t, h th ng hóa…
2.2.3.2. M c đ cao
Ng

i h c có kh n ng đ a ra nh n đ nh, phán quy t c a b n thơn đ i v i m t

v n đ d a trên các chu n m c, các tiêu chí đƣ có.


12

T khóa: ánh giá, cho ý ki n, bình lu n, t ng h p, so sánh…
tđ

c c p đ nh n th c cao nh t nƠy ng

i h c có kh n ng t o ra cái m i,

xác l p thông tin, s v t m i trên c s nh ng thông tin, s v t đƣ có.
T khóa: Thi t l p, t ng h p, xơy d ng, thi t k , đ xu t….
D a vƠo các m c đ nh n th c, trong d y h c toán, nh m giúp h c sinh phát tri n n ng

phù h p v i các đ i t

ng h c sinh.

ng m c ph i nh ng sai sót r t c b n trong quá trình h c t p, ch ng h n lƠm

sai t các phép bi n đ i đ n gi n, cách gi i ph

ng trình, b t ph

ng trình c b n…

+ Có nhi u l h ng ki n th c vì v y HS d chán n n vƠ không thích h c Toán. Kh
n ng ti p thu c a HS còn h n ch vƠ ch a linh đ ng trong vi c x lý các tình hu ng
Toán h c đ n gi n nên k t qu h c t p còn r t h n ch .
+ a ph n HS ch a xác đ nh đúng đ ng c vƠ m c đích h c t p, không th hi n đ
th c ph n đ u, v
+ Ch a th y đ

n lên.
c ý ngh a c a vi c h c toán, kh n ng liên h đ n th c ti n r t h n ch ,

đ c bi t khi h c v đ o hƠm, HS ch a bi t đ
[2]

cý

c đ o hƠm đ

c ng d ng vƠo vi c gì.

c ni m say mê vƠ h ng thú h c t p. Ch a góp ph n tích c c vƠo vi c xác

l p đ ng c h c t p đúng đ n cho HS. [2]
3.3.ăBi năpháp:
Nh m kh c ph c đ

c h n ch trên, chúng tôi cho r ng, trong d y h c GV nên

thi t k bƠi t p minh h a trên l p vƠ bƠi t p v nhƠ theo các m c đ nh n th c: nh n
bi t, thông hi u, v n d ng th p, v n d ng cao. S d c n lƠm đi u nƠy b i đi u nƠy
giúp HS hi u rõ n i dung ki n th c. HS y u, kém cho đ n HS khá, gi i đ u hi u khái
ni m c n b n vƠ t t c đ i t

ng đ u có c h i đ h c t p trong m t ti t h c.


14

Ch
XỂYăD NGăH ăTH NGăBÀIăT Pă

ngăII
OăHÀMăVÀă NGăD NGăNH MăPHÁTă

TRI NăN NGăL CăCHOăH CăSINH
1.ăBàiăt păliênăquanăđ năkháiăni măđ oăhàm.
1.1.ăBàiăt pănh năbi t.
HoƠn thƠnh bƠi tr c nghi m v đ nh ngh a đ o hƠm qua các cơu h i sau đơy:
Câu 1: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x . Giá tr c a hƠm s t i x0  3 là?
A. f (3)  6

f ( x)  f ( x0 )
B.
x  x0

o hƠm c a hƠm s y  f ( x) t i x0 là?
C. lim

f ( x)  f ( x0 )
(n u t n t i gi i h n).
x  x0

D. lim

f ( x)  f ( x0 )
(n u t n t i gi i h n)
x  x0

x0

x x0

áp án: D.


15

1.2.ăBàiăt păthôngăhi u.
Hoàn thành các câu sau b ng cách đi n vƠo ch tr ng.
Câu 1: Cho hƠm s y  f ( x)  x2  3x . S gia c a đ i s t i x0  3 lƠ ……………?
áp án: x  x  3

2

...(1)...

 2 x  1  0

x1

x 1

( x  1)2
 lim( x  1)  0
x1
x1
x 1

 lim

V y ...(2)...  0 .
áp án: (1) : lim
x1

f ( x)  f (1)
;
x 1

Câu 5: Tính đ o hƠm c a hƠm s

(2): f '(1)


(3) :
x
(4) : lim  x  1  1
x0

1.3.ăBàiăt păv năd ng.
1.3.1. D ng toán 1:
Tínhăđ oăhàmăc aăhàmăs y  f ( x) t iăđi m x0 b ngăđ nhăngh a.
PH

NG PHÁP CHUNG

Ta th c hi n m t trong hai cách sau:
Cách 1: Th c hi n theo các b

c:

B

c 1: Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0 . Tính y  f  x0  x  f  x0  .

B

c 2: L p t s

B

c 3: Tìm lim

B

2

2

y 2  x

 2x
x
x
2

y
 lim  2x  0
x0 x
x0
lim

V y f '(1)  0.
Cách 2:
HƠm s f  x  2 x2  4 x  1 xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  1 . Ta có:
f (1)  1
2 x2  4 x  1  (1)

f ( x)  f (1)
2( x  1) 2
lim
= lim
= lim
 lim  2  x  1   0
x1

x0 5  x

 5
lim

1
5

V y f '(2)  .

4  2  x  7
15  4x
x
 (3) 
3
3   2  x
5  x
5  x


18

Cách 2:
HƠm s f  x 

4x  7
xác đ nh trong m t lơn c n c a x0  2 . Ta có:
3 x

f (2)  3


x2  x  1
t i x0  3.
x 1

HD:
Cách 1:
Gi s x lƠ s gia c a đ i s t i x0  3 . Ta có:
f (3) 

13
4

 3  x   3  x  1  13  4  x  15x
f  3  x  f  3 
4
4x  16
 3  x  1
2

y 

2

y 4  x  15x

x x.(4x  16)
2

 4  x2  15x 

4

x2  x  1 13

2
f ( x)  f (3)

x
1
4  lim 4 x  9 x  9  lim 4 x  3  15
 lim
lim
x3
x3
x3 4  x  1 x  3 
x2 4( x  1)
x3
x3
16

V y f '(3) 

15
.
16

1.3.2. D ng toán 2:
 f1 ( x)
Choăhàmăs ă f ( x)  
 f2 ( x)


x x0

x x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0

 x2  3x
BƠi t p 1: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x  
 x  1

x 1
x 1

t i x0  1.

HD:
f (1)  2
f '(1 )  lim
x1

 x  1  (2)
( x  1)
f ( x)  f (1)



Vì f '(1 )  f '(1 )  1 nên hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0  1 và f '(1)  1 .


20

sin x

BƠi t p 2: Dùng đ nh ngh a tính đ o hƠm c a hƠm s f  x  0
 tan x


x0
x  0 t i x0  0.
x0

HD:
f (0)  0
f '(0 )  lim

f ( x)  f (0)
sin x  0
sin x
 lim
 lim
1
x0
x0
x0

 2 x2  7 x  3

BƠi t p 3: Cho hƠm s f  x   2 x  1
a


1
2.
1
x
2

x

1
2

Xác đ nh a đ hƠm s trên có đ o hƠm t i x0  . Tính đ o hƠm t i đi m đó.
HD:
1
f a
2

 2 x  1 x  3  lim x  3   5
2 x2  7 x  3
 lim


1
1

5

t c t i đi m x0  , do đó: f    lim1 f ( x)  a  
2
2
2
x

2

HƠm s y  f ( x) có đ o hƠm t i đi m x0 

5
1
1
và f '    lim1 f ( x)   .
2
2
 2  x 2


21

BƠi t p 4: Cho hƠm s

 x2
; x 1
y  f ( x)  
.


x2  1
 lim
 lim
x1 x  1
x1
x1
x 1
x 1

f '(1 )  lim

f ( x)  f (1)
ax  b  1
ax  1  a  1
a( x  1)
 lim
 lim
 lim
a
x1
x1
x1
x 1
x 1
x 1
x 1

x1

x1


c 4: K t lu n.

y
.
x

y
.
x0 x

L uăý: Trong phép tính nƠy đi m x coi nh c đ nh còn x thì ti n v 0.


22

BƠi t p 1: Tính đ o hƠm c a hƠm s y  f ( x)  x3 trên kho ng  ,   b ng đ nh ngh a.
HD:
V i m i x thu c kho ng  ,   , ta có:
y  f  x  x  f  x
  x  x  x3
3

2
 x 3x2  3xx   x 



y
2

x
lim

x0

y
2
 lim 3x2  3x.x   x  10 x  5x  2  3x2  10 x  2



x

0
x

V y hƠm s y  f ( x) có đ o hƠm trên kho ng  0,   và f '( x)  3x2  10 x  2.