Đặng Thị Linh Chi

HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
I. Lý thuyết
1. Hai quy tắc đếm cơ bản
1.1. Quy tắc cộng
- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành theo n phương án
+ Phương án 1: Có m1 cách thực hiện
+ Phương án 2: Có m2 cách thực hiện
.....
+ Phương án n: Có mn cách thực hiện
Mỗi cách thực hiện trong từng phương án này không trùng với cách thực hiện trong
phương án khác thì có tất cả m1 + m2 +....+ mn cách thực hiện công việc.
- Ví dụ: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà các chữ số
trong mỗi số tự nhiên đó là khác nhau ( Số tự nhiên đó không có quá 2 chữ số)
Giải
TH1 : Số đó có 1 chữ số
Ta có tập hợp các số thỏa mãn { 1; 2; 3; 4} => có 4 số
TH2 : Số đó có 2 chữ số.
Ta có tập hợp các số thỏa mãn {12; 13; 14; 23; 24; 21; 31; 32; 34; 41;42; 43}
=> có 12 số
Theo quy tắc của phép cộng ta có 4 + 12 = 16 số.
1.2. Quy tắc nhân
- Định nghĩa: Một công việc sẽ được hoàn thành nếu phải thực hiện qua n giai đoạn
+ Giai đoạn 1: Có m1 cách thực hiện
+ Giai đoạn 2: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 1 có m2 cách thực
hiện giai đoạn 2
....
+ Giai đoạn n: Ứng với mỗi cách thực hiện giai đoạn 12...(n-1) có mn
cách thực hiện giai đoạn n.
Vậy sẽ có m1.m2...mn cách thực hiện công việc.

- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
k
+ KH: An : số chỉnh hợp chập k của n phần tử
+ Định lý

k

A

n

 nn  1...n  k  1 

n!
1  k  n
(n  k )!

+ Quy ước: An  1
2.3. Tổ hợp:
- Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử n  1. Mỗi tập con k phần tử 0  k  n
trong số n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
- Số tổ hợp chập k của n phần tử:
k
+KH: C n - số tổ hợp chập k của n phần tử.
0

+ Định lý:

C



1

n

n

n

Chứng minh
VP  C n 
k

n!
n!
k

 C n  VT
n  k !(n  (n  k ))! (n  k )!k!

+ Công thức Pa-xcan:

C

k 1
n 1

 C n1  C n 0  k  n 
k


Chứng minh

k 1

VP  n C n 1  n.


(n  1)!
n.(n  1)!

.k
(n  k )! (k  1)! (n  k )! (k  1)!.k

n!
k
.k  k C n  VT
(n  k )!.k!

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

2


Đặng Thị Linh Chi

+

1
1

1. Bài tập về hai phép đếm cơ bản
Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự
luận và trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận
và một trắc nghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi
học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Giải
- Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách
- Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề
thi
Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}
1. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau
2. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một
khác nhau
Giải
1. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: n = abcd
Để có số n ta phải chọn các chữ số a, b, c, d
+ a có 6 cách chọn
+ b có 5 cách chọn
+ c có 4 các chọn
+ d có 3 cách chọn
Theo quy tắc phép nhân thì có 6.5.4.3 = 360 số
2. Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số là n  abcde
+ Vì n chẵn nên e  2 => e có 1 cách chọn
+ a có 5 cách chọn
+ b có 4 cách chọn
+ c có 3 cách chọn
+ d có 2 cách chọn
Theo quy tắc phép nhân thì có 1.5.4.3.2 = 120 số

+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có tât cả 1.7.7.6.5 = 1470 số
2. Gọi số cần tìm là n  abcde
Vì số cuối cùng chia hết cho 4 nên e  {0;4;8}
TH1: e  0 => có một cách chọn e
+ a có 8 cách chọn
+ b có 7 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1. 8.7.6.5 = 1680 số
TH2: e  0 => e có 2 cách chọn
+ a có 7 cách chọn
+ b có 7 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 2.7.7.6.5 = 2940 số
Vậy, theo quy tắc cộng ta có tất cả 1680 + 2940 = 4620 số
Bài 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
và lớn hơn 54000
Giải
1. Gọi số tự nhiên 5 chữ số cần tìm là n  abcde
Vì n  54000 nên a  {5;6;7;8;9}
TH1: a = 5 => a có một cách chọn
Khi đó b  {6;7;8;9} => b có 4 cách chọn
+ c có 6 cách chọn
+ d có 5 cách chọn
+ e có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1.4.5.6.4 = 480 số
TH2: a  5 => a có 4 cách chọn

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này
chia hết cho 5
Giải
Gọi số cần tìm là n  abcdef
Vì n chia hết cho 5 nên f  {0;5}
TH1: f  5 => f có một cách chọn
+ a có 8 cách chọn
+ b có 8 cách chọn
+ c có 7 cách chọn
+ d có 6 cách chọn
+ e có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1.8.8.7.6.5 = 13440 số
TH2: f  0 => f có một cách chọn
+ a có 9 cách chọn
+ b có 8 cách chọn
+ c có 7 cách chọn
+ d có 6 cách chọn
+ e có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có 1. 9.8.7.6.5 = 15120 số
Vậy, theo quy tắc cộng ta có 13440 + 15120 = 28560 số
Bài 8: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 ; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 125
Giải
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

5


Đặng Thị Linh Chi

Giải
Chọn cầu thủ sút quả số 1 có 11 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 2 có 10 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 3 có 9 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 4 có 8 cách chọn
Chọn cầu thủ sút quả số 5 có 7 cách chọn
Theo quy tắc nhân có 11.10.9.8.7 = 55440 cách chọn
2. Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Bài 1: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách
Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất
cả các cuốn sách trên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp
kề nhau?
Giải

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

6


Đặng Thị Linh Chi
Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài có 3! cách.
Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán có 2! cách.
Nhóm sách Văn có 4! cách.
Nhóm sách Anh có 6! cách.
Vậy có 3!. 2!. 4!. 6! = 207360 cách xếp thỏa điều kiện bài toán
Bài 2: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một
người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a) Hai người đó là vợ chồng.

+ d có 2 cách chọn
3
+ 3 số còn lại có A4 cách chọn
3

Theo quy tắc nhân có 2. A4 = 48 số
Vậy có tất cả 60 + 48 + 48 = 156 số
Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau chia hết cho 9
Giải
Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9
Ta có các bộ số sau 0;4;5; 1;3;5; 2;3;4 là các bộ số có tổng các chữ số trong bộ số
chia hết cho 9 tạo bởi các chữ số đã cho
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

7


Đặng Thị Linh Chi
Gọi số tự nhiên cần tìm là abc
+TH1: (0; 4; 5)
a có 2 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 1 cách chọn
=> có 2.2 = 4 số
+ TH2: ( 1; 3; 5)
Mỗi số là một hoán vị của 3 số nên có P3 = 3! = 6 số
+ TH3: (2; 3; 4)
Tương tự TH2 ta có 6 số

1

Theo quy tắc nhân ta có C 4 .C 5 .C 6 = 180 cách
TH2: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng, 1 viên bi xanh
1
2
1
Tương tự như TH1 ta có C 4 .C 5 .C 6  240 cách
TH3: 4 viên bi có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi xanh
1
1
2
Có C 4 .C 5 .C 6  300 cách
Vậy số cách chọn mà 4 viên bi không đủ cả 3 màu là
4
C15  180  240  300  645 cách chọn
Bài 5: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau bé hơn 345.
Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abc
Vì n < 345 nên a  {1;2;3}
+ TH1: a  3 => a có 2 cách chọn
2
2 số còn lại có A5 cách chọn
2

=> có 2. A5 = 40 số
+ TH2: a = 3 => a có 1 cách chọn
Khi đó b  4  b  {0;1;2;4}
* b = 4 => b có 1 cách chọn

Giải
1. Gọi số có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ A là n  abcde
Năm chữ số này được chọn từ A,đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự
nhất định nên số cần tìm là chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử
5
=> có tất cả A7  2520 số
2. Gọi số cần tìm là n  abcdef
Vì n là số tự nhiên chẵn nên f có 3 cách chọn
Các số còn lại có
=> có 3.

5

A

6

cách chọn

5

A = 2160 số
6

3. Gọi số tự nhiên cần tìm là n  abcdef
Vì tổng hai chữ số đầu và số cuối chia hết cho 10 tức là a  f  chia hết cho 10
=> a; f   {3;7; 4;6 }
Khi đó ứng với mỗi bộ a có 2 cách chọn, ứng với mỗi cách chọn a có 1 cách
chọn f
Chọn 4 chữ số còn lại có


Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

9


Đặng Thị Linh Chi
Chọn được 3 chữ số lẻ trong tổng số 5 chữ số lẻ của tập A có
Theo quy tắc nhân có

3

3

4

5

3

A cách chọn
5

A . A = 1440 số

Bài 9: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu
cách chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
Giải

a) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu có số chẵn luôn ở cạnh nhau?
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẽ riêng biệt
(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Giải
a. + Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2!
cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là 3! cách.
=> có 2.6 = 12(cách).
+ tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải và nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy có 12 + 12 = 24 cách
b. + Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! cách.
+ Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy có: 2.24 = 48 (cách)
Bài 11: Giải phương trình sau

1
a.

x



1
x



1

2



x 1

 C x  7  3.P4
1

6

3

x 1

Ax .C x  48

C

2

3
x

 5C x
1

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

10



C

12
x

 C x 1
2

3

A

 Cx
8

Giải

1
a.

x



1

C C
4



( x  1)( x  2)( x  3)! x( x  1)!


 7  72
( x  3)!
( x  1)!
 ( x  1)( x  2)  x  7  72
pt 

 x 2  3 x  2  x  7  72
 x 2  4 x  77  0
 x  11

 x  7

Kết hợp điều kiện ta được x  11
Vậy phương trình có nghiệm x  11
c.

C

x 1
x4

 C x 3  7x  3
x

ĐKXĐ: x  0 , x  Z
( x  4)! ( x  3)!


d.

2

x 1

x

x

A .C

 48

ĐKXĐ: x  2 , x  Z
x!
x!
.
 48
( x  2)! ( x  1)!.1!
x.( x  1)( x  2)! x( x  1)!

.
 48
( x  2)!
( x  1)!
pt 

 x( x  1).x  48  x 3  x 2  48  0
 x  4(t. / m)


 (17). x  3 x( x  1)  2.x( x  1)( x  2)  9 x 2  14
 (17). x  3 x 2  3 x  2 x 3  6 x 2  4 x  9 x 2  14  0
 2 x 3  12 x 2  16 x  14  0
 x 3  6 x 2  8x  7  0
 ( x  7)( x 2  x  1)  0


x7

1 5
 x 
2


1 5
x 
2


Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 7
Vậy phương trình có nghiệm x = 7.
f.

C

3
x

 5C x

 x7

 x  4

Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 7
Vậy phương trình có nghiệm x = 7
g.

C

3
2x

 20.C x

2

ĐKXĐ: x  2 , x  Z
(2 x)!
x!
 20.
3!(2 x  3)!
2!( x  2)!
2 x.(2 x  1).( 2 x  2).( 2 x  3)!
x( x  1)( x  2)!

 20.
6.(2 x  3)!
2( x  2)!
x(2 x  1)( 2 x  2)

( x  5)!
( x  3)!.2
 2.( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)
 2.( x  3)( x  4)  x  1 (vì x  5 )
pt 

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

13


Đặng Thị Linh Chi
 2( x 2  7 x  12)  x  1  0
 2 x 2  15 x  25  0
x  5
5

 x  2

Kết hợp điều kiện xác định ta có x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
i. 5.

C

x 1
x

 Cx

 Cx
8

ĐKXĐ: x  12 , x  Z
x!
x!

( x  12)!.12! 8!( x  8)!
( x  8)! 12!


( x  12)! 8!
( x  8)( x  9)( x  10)( x  11)( x  12)!

 11880
( x  12)!
 ( x  8)( x  9)( x  10)( x  11)  11880
pt 

 ( x 2  17 x  72).( x 2  21x  110)  11880
 x 4  38 x 3  539 x 2  3382 x  3960  0
 ( x  20)( x 3  18 x 2  179 x  198)  0
 ( x  20)( x  1)( x 2  19 x  198)  0
 x  20 ( vì x  12)

Vậy phương trình có nghiệm x = 20
Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

14


n 1

n

4

n 1
n 3

3

n 1

Giải
5
a. C n 1  C n 1 
4
4

3

2

A

n2

0


bpt 

 n 2  5n  4  4n  4  30  0
 n 2  9n  22  0
 2  n  11

Kết hợp điều kiện xác định ta có n  {5;6;7;8;9;10}
b.

An  2.C n1  P2
3

3

ĐKXĐ: n  4 , n  Z

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

15


Đặng Thị Linh Chi
n!
(n  1)!
 2.
 2!
(n  3)!
3!.(n  4)!
n(n  1)( n  2)( n  3)!


2

ĐKXĐ: n  2 , n  Z
(n  1)!
n!
 3.
 20
2!.(n  1)!
(n  2)!
(n  1).n.(n  1)!
n(n  1)( n  2)!
 2.
 3.
 20
2.(n  1)!
(n  2)!
 n(n  1)  3.n.(n  1)  20

bpt  2.

 n 2  n  3n 2  3n  20  0
 4n 2  2n  20  0
 2  n 

5
2

Kết hợp với điều kiện ta có n = 2
Vậy bất phương trình có nghiệm n = 2


Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

16


Đặng Thị Linh Chi
 7  n  6

Kết hợp điều kiện ta có n  {3;4;5}
Bài 13: Giải các hệ phương trình sau

 m  m 2
Cn 2 Cn
a. 
 C n  153

 x  x 1
Cy Cy
b.  2
 Ay  20

Giải

 m  m 2
Cn 2 Cn
a. 
 C n  153
m  0, m  Z


  (n  m)( n  m  1) (m  2)( m  1)

n(n  1)  306
(n  m)( n  m  1)  (m  2)( m  1)

n 2  n  306  0

(n  m)( n  m  1)  (m  2)( m  1)

 n  18(t / m)

n  17(loai )



n  18


(18  m)(17  m)  (m  2)( m  1)
n  18


2
2
306  35m  m  m  3m  2
n  18

m  8
Vậy m; n  8;18 là nghiệm của hệ phương trình


 x!.( y  x)( y  x  1)!  ( x  1) x!.( y  x  1)!

y ( y  1)( y  2)!

 20

( y  2)!
 2x  y  1
 x 1  y  x
 2x  y  1


 2
  y  5(t / m)
 y ( y  1)  20
 y  y  20  0
 y  4(loai )

x  2

y  5
Vậy x; y   2;5 là nghiệm của hệ phương trình

Study while others are sleeping, work while others are loafing, prepare while others are
playing, and dream while others are wishing

18