Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Đƣờng bậc hai tổng quát vẫn còn là xa lạ với học sinh THPT. Vì
vậy các vấn đề liên quan vẫn còn mới lạ và khó hiểu vơí nhiều học sinh,
Phƣơng trình tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai không là ngoại lệ.
Nguyên nhân là do thiết kế chƣơng trình, học sinh học lên lớp 12 mới
đƣợc tìm hiểu và tiếp xúc với một số đƣờng bậc hai. Mặt khác khi xây
dựng các đƣờng bậc hai sách giáo khoa giới thiệu các đƣờng bậc hai
không trong một tổng thể, mà chia ra từng loại cụ thể. Nên dẫn đến mỗi
bài tƣơng ứng với mỗi đƣờng ta đều phải xây dựng toàn bộ lý thuyết về
các đƣờng đó và các vấn đề liên quan, việc xuất hiện nhiều khái niệm
mới và nhiều tính chất mới của các đƣờng lại càng làm cho học sinh
thêm bối rối và khó tiếp nhận vấn đề hơn. Ngoài ra mỗi đƣờng bậc hai lại
có những đặc điểm những tính chất khác nhau, nên việc nghiên cứu về
chúng có nhiều điểm khác nhau, phƣơng pháp nghiên cứu và xây dựng
cũng khác lại càng tạo cho các em học sinh khó khăn hơn trong việc phân
định rõ ràng tính chất và bản chất từng loại.
Với mục tiêu không để đƣờng bậc hai còn xa lạ, đặc biệt là vấn đề
tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai không còn là khó khăn với các em học
sinh. Bài viết này xin trình bày hai phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình
tiếp tuyến với các đƣờng bậc hai tổng quát. Trên cơ sở đó triển khai cho
các đƣờng bậc hai trong chƣơng trình THPT, nhằm rút ngắn khoảng cách
cho các em học sinh với các đƣờng bậc hai và những vấn đề liên quan
đến đƣờng bậc hai.
II. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1.MỤC TIÊU:
Giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan về các đƣờng bậc hai nói

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dựa Trên cơ sở của phƣơng pháp nghiên cứu về các ứng dụng của
Đại số và Giải tích vào Hình học ở bậc THPT
Trên cơ sở của việc tổng hợp những tra cứu, nhận định của bản
thân, những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp cho vấn đề phƣơng trình
tiếp tuyến của đƣờng bậc hai. Tác giả đã phân tích vấn đề một cách
nghiêm túc, để tổng hợp lại thành bài viết này.
V. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Dựa trên cơ sở lí thuyết về ứng dụng của Đại số, Giải tích vào
Hình học sơ cấp nói chung và đƣờng bậc hai nói riêng.
Dựa vào khả năng tìm hiểu, nghiên cứu và sử lý vấn đề của đối
tƣợng nghiên cứu.
Bài viết đƣợc chia làm hai phần:
Phần I: Sử dụng phƣơng pháp Giải tích xây dựng phƣơng trình tiếp
tuyến của đƣờng bậc hai trong trƣờng hợp tổng quát
Phần II: Sử dụng phƣơng pháp Đại số xây dựng phƣơng trình tiếp
tuyến của đƣờng bậc hai trong trƣờng hợp tổng quát
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

VI. NỘI DUNG

PHẦN I
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH XÂY DỰNG
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

các đƣờng bậc hai nói trên. ứng với mỗi giá trị của các số A, B, C, D, E,
F thì S sẽ là các đƣờng Elíp hoặc Hypebol hoặc Parabol hoặc Đƣờng

Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
tròn ở dạng tổng quát hoặc một số đƣờng bậc hai khác trong chƣơng trình
THPT không đề cập đến.
Cụ thể: Ta có (S)  A x 


2

2

D
E
D2 E 2


C
y



F




      F  0
 A   C 

B0


A0

thì (S) là một

C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

Elíp (E) có phƣơng trình: Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0


B0

- Nếu ta có 
thì (S) là một Hypebol (H) có phƣơng
A.C  0
2
2
 D   E 
      F  0
 A   C 

trình Ax2 + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0

- Phƣơng trình F(x;y) = 0 xác định y là hàm ẩn của x ( xem là hàm khả
vi) Lấy đạo hàm hai vế của phƣơng trình F(x;y) = 0 theo x ta đƣợc
phƣơngtrình bậc nhất đối với y’ . Từ phƣơng trình này ta tìm đƣợc y’ (
tức là đạo hàm của hàm ẩn).
- Chúng ta có thể hiểu vấn đề này một cách đơn giản hơn nhƣ sau:
. Từ F(x;y) = 0 ta xem y là một hàm hợp của biến x. Đạo hàm hai vế của
phƣơng trình cho ta phƣơng trình bậc nhất đối với y’, giải phƣơng trình
bậc nhất tìm ra y’
( Do mục tiêu của ta trong bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến nhƣ đã
giới thiệu ban đầu là đi xác định f’ (x0 ), nên yêu cầu ta cần xác định y ‘
= f’ (x ) của đƣờng bậc hai tai điểm M(x0; y0))
. Ta có thể lấy một ví dụ minh hoạ yêu cầu trên.
VD1: Tìm y ‘ của đƣờng bậc hai có phƣơng trình
F(x;y) = x2 + y2 – 2x - 2y + 3 = 0
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phƣơng trình theo x ta
đƣợc. 2x – 2 + 2y. y ‘ - 2 y ‘ = 0  y ‘ = 

2x  1
;y 1
2y  2

x2 y2
VD2: Tìm y của đƣờng bậc hai có phƣơng trình 2  2  1
a
b
‘

Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế của phƣơng trình theo x ta
2 x 2 yy 
2 yy 

B .BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
4. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG BẬC HAI

(Trong trƣờng hợp tổng quát)
Bài toán:

Cho đƣờng bậc hai : F(x;y) = 0 (S) với
F(x;y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+2Ey + F
(A, B, C không đồng thời bằng 0 )

Điểm M(x0; y0)  (S ) , viết phƣơng trình tiếp tuyến với (S) tại M
Lời giải:
Xem y là một hàm hợp của x, đạo hàm hai vế (1) ta đƣợc:
F’(x;y)=0
 y(2 Bx  2Cy  2 E )  2 Ax  2 By  2 D  0
 y  

2 Ax  2By  2By   2Cyy   2D  2Ey   0

2 Ax0  2 By0  2 D
2 Ax  2 By  2 D
 y( x0 )  
2 Bx  2Cy  2 E
2 Bx0  2Cy0  2 E

Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S) là
y  y 0  y ( x 0 )( x  x 0 )
 y  y0  

2 Ax 0  2 By0  2 D

5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI
(Trong chƣơng trình THPT)
5.1 PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN
a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Cho đƣờng tròn (C)và điểm M(x0; y0) nằm trên (C) vận dụng kết quả của
bài toán tổng quát trên viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại M
Xét phƣơng trình đƣờng tròn cho ở hai dạng:
Dạng1: Đƣờng tròn (C) có phƣơng trình
2

2

Ax + Ay + 2Dx +2Ey + F = 0

A0

2
2

ĐK:  D    E   F  0
 A   C 

Phƣơng trình tiếp tuyến của (C) là ( Sử dụng "Công thức phân đôi toạ
độ" )

Ax 0 x  Ay 0 y  D( x  x0 )  E( y  y0 )  F  0

Dạng 2: Đƣờng tròn (C) có phƣơng trình (x - a)2+ (y - b)2 = R2
Dùng "Công thức phân đôi toạ độ " cho ta phƣơng trình tiếp tuyến là:
(x0 - a )( x - a ) + (y0 - b )( y - b) = R2

ĐK: 
hoặc
C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

B0


A0


C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

áp dụng Công thức phân đôi toạ độ :
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm M trên Elíp là:
Ax 0 x  Cy0 y  D( x  x0 )  E( y  y 0 )  F  0

Dạng 2: Phƣơng trình

( x  m) 2 ( y  n) 2

 1 Phƣơng trình tiếp tuyến với
a2
b2


x0 x y 0 y
 2 1
a2
b

Khi đó để (l ) cũng là tiếp tuyến với E tại M(x0; y0) điều kiện cần và đủ là

A1 a 2
x

 0
x0
y0
1

C1




2 thay vào Phƣơng trình (E) cho ta điều kiện cần
2
2
B
b
C1
A1 a
B1b
1
y 

B0


A0

ĐK: 
hoặc
C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

B0


A0

Để tìm điều kiện cần

C0
 D  2  E  2
      F  0
 A   C 

và đủ cho đƣờng thẳng A1x + B1y + C1 = 0 là tiếp tuyến ta sẽ chuyển (E)
về dạng tổng quát

( x  m) 2 ( y  n) 2

 1 và vận dụng công thức đã xây dựng


1
a2
b2

áp công thức phân đôi toạ độ, phƣơng trình tiếp tuyến với Elíp tại điểm
M thuộc Elíp là

( x0  m)( x  m) ( y 0  n)( y  n)

1
a2
b2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Hypebol
Tƣơng tự nhƣ phần 5.2. Ta chỉ cần xét trong trƣờng hợp (H ) ở dạng
chính tắc các trƣờng hợp còn lại sử dụng Công thức đổi trục toạ độ đƣa
Hypebol về dạng chính tắc sẽ đơn giản hơn nhiều
Cho Hypebol (H) có phƣơng trình:

x2 y2

1
a2 b2

Đƣờng thẳng (l ) có phƣơng trình A1x + B1y + C1 = 0
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" cho ta phƣơng trình tiếp tuyến
với Hypebol tại điểm M(x0; y0) là

x0 x y 0 y

Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

kiện cần và đủ là: A12 a 2  B12b 2  C12 ( Kết quả này đã đƣợc trình bày trong
sách giáo khoa hình giải tích 12)
- Ta sẽ mở rộng cho đƣờng Hypebol có phƣơng trình tổng quát
( x  m) 2 ( y  n) 2

1
a2
b2

X  x  m
X2 Y2
 (E) : 2  2  1
a
b
Y  y  n

. Bƣớc 1: Đặt 

Đƣờng thẳng (l) có phƣơng trình A1x + B1y +A1m+ B1n+ C1= 0
(Trong hệ toạ độ XIY thì (H) ở dạng chính tắc, nên ta có quyền áp dụng
điều kiện đã xây dựng ở trên )
. Bƣớc 2: áp dụng điều kiện để đƣờng thẳng (l) là tiếp tuyến của E là
A12 a 2  B12 b 2  ( A1m  B1n  C1 ) 2

Chú ý : Đối với (H) có phƣơng trình dạng



( với p > 0)

Điểm M(x0 ; y0) trên (P), phƣơng trình tiếp tuyến của (P) tại M là
Ngày 15 tháng 5 năm 2006

(P)


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
áp dụng "Công thức phân đôi toạ độ" ta đƣợc y0 y = p (x + x0)
Tƣơng tự cho các dạng còn lại ta áp dụng Công thức phân đôi toạ độ rất
thuận lợi sẽ cho ta các kết quả
VD1: (P) có dạng Cy2 + 2Ey + 2Dx + F = 0 ĐK: CD  0)
M(x0 ; y0) trên (P). Phƣơng trình tiếp tuyến tại M là:
Cy0y + E(y0 + y ) + D(x + x0) + F=0
VD2: (P) có dạng y = ax2 + bx + c (a  0) Điểm M(x0 ; y0) trên (P)
Phƣơng trình tiếp tuyến tại M là:

y  y0
2

= ax0x  x0  x   c
b
2

b) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng là tiếp tuyến của Parabol
Phƣơng pháp xây dựng điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng là tiếp tuyến
của Parabol tƣơng tự nhƣ phần xây dựng điều kiện cần và đủ để đƣờng
thẳng là tiếp tuyến của Elíp cho ta các kết quả sau:

Để tìm điều kiện cần và đủ để đƣờng thẳng (l) là tiếp tuyến của (P)
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Trƣờng THPT Lƣu Đình Chất

Giáo viên: Lê Văn Chí

ta sẽ làm nhƣ sau:
Bước1: Chuyển phƣơng trình Parabol về dạng
2

E
E2

;
 C y    - 2Dx - F 
C
C


2

D
D2

A
x



thể đã xét trong chƣơng trình THPT.
PHẦN II.
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VỚI ĐƢỜNG BẬC HAI TRONG TRƢỜNG HỢP TỔNG QUÁT

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1.ĐƢỜNG BẬC HAI:
F(x; y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F = 0 (S).
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
2. PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI.
§Þnh nghÜa:

Đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai (S). Nếu d cát (S) tai hai
điểm trùng nhau hoặc d nằm trọn vện trên đƣờng (S),
(Điểm trùng nhau nói đến trong định nghĩa đƣợc gọi là tiếp điểm)
Trên cở sở của định nghĩa trên ta sẽ đi xây dựng phƣơng trình tiếp tuyến
của đƣờng bậc hai (S) tại một điểm nằm trên (S).
3. PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾT CỦA ĐƢỜNG BẬC HAI
Cho đƣờng bậc hai (S): F(x; y) =Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey + F =0
 x  x0  at
 y  y 0  bt

Điểm M(x0;yy0) trên (S) và đƣờng thẳng d có phƣơng trình 
(trong đó a,b không đồng thời bằng 0)
Xác định a,b để đƣờng thẳng d là tiếp tuyến của (S)
Xét phƣơng trình giao điểm của (S) và d



Giáo viên: Lê Văn Chí

(Ax0 + B y0 + D)a + (Bx0 + C y0 + E)b = 0 (3)
Từ (3)
 Ax 0  By0  D  0
thì ta chọn a, b tuỳ ý.

 Bx0  Cy0  E  0

- Nếu

"Đối với các đƣờng bậc hai trong chƣơng trình THPT thì trƣờng hợp này
không xảy ra. vì đây là trƣờng hợp hàm bậc hai suy biến"
- Nếu

 Ax 0  By0  D  0
 Bx  Cy  E  0 thì ta chọn
0
 0

 b  Ax 0  By0  D

 a  ( Bx0  Cy0  E )

Khi đó phƣơng trình đƣờng thẳng d có dạng
(Ax0 + By0 + D)(x - x0) + (Bx0 + C y0 + E)(y- y0)= 0

(4)


Ta có: Fx(x0; y0) = Ax0 + 0 y0 + D và Fy(x0; y0) = 0x0 + Ay0 + E
áp dụng phƣơng trình (5) cho ta phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tai M là:
Fx(x0; y0) (x - x0) + Fy(x0; y0) (y- y0) = 0
Ngày 15 tháng 5 năm 2006


Hai phƣơng pháp viết phƣơng trình tiếp tuyến của Đƣờng bậc hai
 (Ax0 + D) (x - x0)+ (Ay0 + E) (y- y0) = 0
 Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0

Vậy phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn (C) là:
Ax0x+ Ay0y + D(x0 + x) + E(y0 + y) + F = 0
Tƣơng tự cho đƣờng tròn có phƣơng trình
(C): (x - a)2 + (y - b2 ) = R2 Điểm M(x0; y0)  (C)
Phƣơng trinhg tiếp tuyến với (C) tại M là :
(x0 - a)( x - a) + (y0 - b)(y - b) = R2
* Đối với các đƣờng Elíp, Hypebol và Parabol ta để viết phƣơng trình
tiếp tuyến với các đƣờng ta cũng thực hiện hoàn toàn tƣơng tự nhƣ
phƣơng trình đƣờng tròn. Tức là bằng cách áp dụng phƣơng trình (5)
hoặc phƣơng trình (6) sẽ cho ta kết quả ngắn gọn.
* Giống nhƣ Phần I việc xây dựng điều kiện cần và đủ để một đƣờng
thẳng là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai. Kết quả cho ta hoàn toàn nhƣ kết
quả đã xây dựng trong Phần I.
Kết luận 2: Trên cở sở sử dụng phƣơng pháp đại số ta cũng xây dựng
đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng bậc hai tại một điểm nằm trên
nó trong trƣờng hợp tổng quát và thiết lập đƣợc điều kiện cần và đủ để
một đƣờng thẳng là tiếp tuyến của đƣờng bậc hai
VII. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

- Trên cở sở giải tích, đại số ( cổ điển) ta xây đựng đƣợc phƣơng trình


Ngày 15 tháng 5 năm 2006